Свойства полного факторного эксперимента

Матрица планирования ПФЭ обладает рядом свойств:

1) симметричность плана относительно центра эксперимента –

то есть сумма значений уровней любого фактора (столбца) равна 0;

2) нормировка плана –

,

сумма квадратов значений уровней любого фактора равна N (числу строк матрицы планирования ПФЭ);

3) ортогональность плана –

,

сумма по парных произведений значений уровней любых 2 факторов (кроме j=u) равна 0;

4) рототабельность плана – точность предсказания значений функции отклика одинакова на равном расстоянии от центра и не зависит от направления обхода.

 

Свойства ортогональности и рототабельности взаимоисключающие.

Дробный факторный эксперимент

В некоторых случаях нет необходимости использовать полный факторный эксперимент. В таких случаях усекают количество строк матрицы ПФЭ до количества коэффициентов регрессионной модели. Это производится в случаях линейной регрессионной модели. Дробный факторный эксперимент удовлетворяет всем свойствам полного факторного эксперимента.

 

Определение коэффициентов уравнения регрессии

 

После проведения опытов во всех точках факторного пространства необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов.

;

, поскольку ,

то после дифференцирования получим 

 

Для линейной регрессии при k=2:

;

 

продифференцировав по коэффициентам, получим:

 

 

Запишем уравнения в полной форме:

 

Отсюда, принимая в расчет свойства матрицы планирования, получим следующие формулы для вычисления коэффициентов

 

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

1. Используя программу генерации случайных чисел провести трехфакторный эксперимент в восьми точках (то есть сформировать три столбца и восемь строк в матрице планирования – заполнить ее случайным образом). Желательно взять ограничение до 20 при генерации случайных чисел, но учесть возможность его изменения по требованию преподавателя.

2. Определить значения нулевых уровней факторов, выполнить нормировку факторов.

3. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х₀=1).

4. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.

5. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ, повторив 5 раз опыты в выбранных точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 в соответствии с вариантом, выданным преподавателем).

6. Найти коэффициенты уравнения регрессии.

7. Проверить свойства полного факторного эксперимента: симметричность, нормировку, ортогональность и рототабельность.

8. Составить уравнение регрессии в кодированном виде, привести его к натуральному, используя значение интервалов варьирования.

 

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1. Используя генератор случайных чисел, найти значения факторов в точках, а также функцию отклика. Определить нулевой уровень фактора, провести нормировку.

2. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х₀=1), и заполнить таблицу кодированными значениями Х₁, Х₂ и Х₃.

 

	Х0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	Y1,j	Y2,j	Y3,j	Yj
1
2
3
4
5
6
7
8

 

3. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.

4. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ (найти значения функции отклика Y). Для каждой точки плана провести по три эксперимента, значения функции отклика брать из таблицы 1 в соответствии с вариантом.

5. Получаем коэффициенты регрессии после упрощения системы уравнений b₀, b₁, b₂, b₃.

6. Уравнение регрессии будет иметь вид

Y = b₀ X₀ + b₁ X1 + b₂ X2 –+b₃ X3; (Х₀ =1).

7. Полученное в кодированном виде уравнение регрессии преобразовать в натуральный, используя значения интервалов варьирования.

 

Вариант 1

3,004	3,031	3,035	3,039	3,001
5,193	5,152	5,177	5,209	5,151
3,927	3,950	3,936	3,898	3,897
7,141	7,099	7,111	7,138	7,097

Вариант 2

3,651	3,605	3,653	3,592	3,627
6,547	6,514	6,535	6,562	6,581
4,761	4,793	4,816	4,792	4,801
9,515	9,566	9,534	9,552	9,528

Вариант 3

2,124	2,150	2,139	2,140	2,157
3,382	3,394	3,368	3,374	3,372
2,705	2,652	2,655	2,674	2,713
4,307	4,242	4,276	4,317	4,255

Вариант 4

2,588	2,597	2,542	2,537	2,539
4,191	4,165	4,152	4,129	4,138
3,201	3,231	3,202	3,199	3,248
5,509	5,453	5,448	5,511	5,445

Вариант 5

3,072	3,028	3,080	3,049	3,069
5,193	5,159	5,163	5,220	5,168
3,932	3,955	3,893	3,915	3,939
7,094	7,126	7,149	7,102	7,158

Вариант 6

4,292	4,285	4,333	4,304	4,277
8,385	8,390	8,404	8,421	8,390
5,881	5,886	5,847	5,900	5,909
13,349	13,332	13,357	13,342	13,356

Вариант 7

4,307	4,284	4,284	4,316	4,286
8,387	8,396	8,430	8,389	8,404
5,832	5,873	5,856	5,843	5,862
13,329	13,304	13,328	13,340	13,312

Вариант 8

3,583	3,605	3,623	3,623	3,587
6,555	6,564	6,523	6,559	6,511
4,795	4,790	4,776	4,798	4,744
9,504	9,530	9,524	9,557	9,530

Вариант 9

3,054	3,032	3,024	3,046	3,019
5,147	5,170	5,178	5,190	5,177
3,926	3,895	3,937	3,931	3,915
7,117	7,121	7,101	7,130	7,091

Вариант 10

2,549	2,537	2,563	2,564	2,569
4,118	4,164	4,155	4,126	4,151
3,236	3,220	3,202	3,212	3,207
5,445	5,485	5,449	5,472	5,455

Вариант 11

2,164	2,165	2,145	2,150	2,163
3,347	3,338	3,322	3,318	3,358
3,950	3,932	3,908	3,935	3,901
6,855	6,870	6,875	6,872	6,907

 

 

Вариант 12

2,788	2,823	2,815	2,777	2,773
4,491	4,467	4,492	4,473	4,460
3,485	3,510	3,515	3,524	3,475
5,883	5,879	5,863	5,870	5,877

Вариант 13

2,132	2,114	2,160	2,146	2,120
3,373	3,324	3,377	3,327	3,385
3,978	3,928	3,905	3,948	3,904
6,898	6,908	6,887	6,940	6,904

Вариант 14

2,567	2,587	2,585	2,527	2,583
4,148	4,183	4,155	4,144	4,169
4,998	4,949	4,950	4,947	4,968
9,758	9,689	9,701	9,711	9,686

Вариант 15

3,073	3,033	3,062	3,065	3,029
5,191	5,186	5,221	5,156	5,198
3,884	3,932	3,929	3,914	3,899
14,701	14,690	14,734	14,754	14,674

Вариант 16

8,346	8,241	8,242	8,247	8,244
17,731	17,736	17,781	17,709	17,863
14,306	14,165	14,262	14,254	14,173
22,574	22,715	22,599	22,579	22,569

Вариант 17

8,439	7,904	8,440	8,473	7,916
10,523	10,650	10,778	10,273	10,631
9,401	9,168	9,534	9,249	9,306
14,120	14,376	14,486	14,175	13,952

Вариант 18

7,939	7,903	7,980	7,619	7,750
12,365	12,356	12,004	12,037	12,409
14,245	14,808	14,494	14,786	14,449
26,177	26,630	26,707	26,237	26,481

Вариант 19

3,759	3,709	3,745	3,768	3,740
4,828	4,801	4,845	4,845	4,845
4,243	4,253	4,242	4,300	4,275
6,612	6,613	6,563	6,598	6,575

Вариант 20

2,872	2,904	2,841	2,888	2,896
4,125	4,147	4,105	4,153	4,152
3,810	3,779	3,755	3,803	3,759
4,532	4,477	4,472	4,505	4,513

Вариант 21

1,612	1,370	1,569	1,655	2,037
2,440	2,019	2,027	2,398	2,223
2,067	1,893	2,378	2,152	2,040
2,444	2,476	2,761	2,346	2,312

Вариант 22

8,952	8,889	9,235	9,122	9,222
12,258	12,452	12,044	12,152	12,392
10,323	10,376	10,268	10,647	10,452
14,357	14,050	14,109	14,339	14,421

 

 

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта);

2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных);

3. Основные теоретические положения (используемые формулы);

4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы);

5. Листинг программы (язык программирования не имеет значения);

6. Ответы на контрольные вопросы;

7. Результат выполнения работы;

8. Выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется экспериментом?

2. Какие бывают эксперименты?

3. Что называется планированием эксперимента?

4. Что образует план эксперимента?

5. Что называется спектром плана?

6. Чем характеризуется объект исследования? Дайте определение факторному пространству.

7. Что такое регрессионные полиномы и где они применяются?

8. Перечислите условия, необходимые для определения коэффициентов регрессии.

9. Что называется полным факторным экспериментом?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для втузов. М.: Радио и связь, 1983.

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.

4. Планирование и организация измерительного эксперимента / Е.Т. Володаpский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз.-К.: В.ш. Головное изд-во, 1987.