Методические указания к выполнению лабораторной работе

Методические указания к выполнению лабораторной работе

«Построение регрессионных моделей»

По курсам «Планирование эксперимента»

для студентов специальности АСОИ иУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение основных понятий, определений, принципов теории планирования экспериментов, приобретение навыков проведения экспериментов по построению математических моделей, ознакомление с методикой построения регрессионных моделей.

Основные понятия

Эксперимент – метод научного исследования, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на объект исследования путем создания искусственных условий или использования естественных условий, необходимых для выявления конкретных свойств объекта.

Эксперименты делятся на пассивные и активные (управляемые). В пассивном эксперименте контролируемые (входные) параметры нельзя изменять, в активном – можно.

Планирование эксперимента – область знания, связанная с построением и оптимизацией математических моделей.

Объект исследования рассматривается как носитель некоторых неизвестных или подлежащих исследованию свойств и качеств – своеобразный «черный ящик». При этом вектор Х₁…Х_k представляет собой группу контролируемых и управляемых величин, которые могут изменяться определенным образом в ходе эксперимента, а Z₁…Z_k контролируемые характеристики. Характеристики (Х₁…Х_k) также называют факторами или управляемыми воздействиями. Функция Y – функция отклика (поверхность отклика), представляет собой реакцию системы на воздействие факторов. Также можно выделить и третью, не обозначенную на идеальной модели систему входных сигналов – это шумы или помехи, которые обусловлены многими факторами: ошибками обслуживающего персонала, влиянием внешней среды, погрешностью приборов и т.д. К этой же группе относятся воздействия, которые не могут контролироваться либо из-за их сложности, либо из-за незнания их природы и невозможности контроля.

Характеристики объектов имеют различную физическую природу, а, следовательно, и размерность, что затрудняет построения модели. Поэтому на практике значения факторов, которые имеют реальный физический смысл, нормируют (приводят к определенному ранее заданному набору значений). Для любого фактора Х существует нижний Х_min и верхний X_max уровни изменения значений.

 

 

	Объект

 

 

Структурная схема объекта (процесса)
при проведении активного эксперимента

Факторное пространство

 

Приведем алгоритм нормировки фактора:

· выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы Х_{i min} соответствовало –1, а X_{i max} +1.

· вычисляем значение Х_{i 0} для данного фактора следующим образом .

· вычисляем интервал изменения фактора dx_i = X_{i 0} – X_{i min} = X_{i max}  - X_{i 0}.

· находим нормированное значение Х_н для каждого фактора .

Зависимость реакции объекта от точки факторного пространства называется функцией отклика Y, а ее геометрическое представление Y(x₁, x₂,…, x_i) – поверхностью отклика. Векторов значений функции отклика может быть столько, сколько опытов.

 

Проведение эксперимента

 

Эксперимент состоит из опытов (воспроизведение исследуемого явления). Под планированием эксперимента понимают выбор плана эксперимента – совокупности данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Каждый опыт эксперимента характеризуется определенным набором значений факторов.

Вектор, содержащий некоторый набор конкретных значений факторов Х_I, определяет q-ю точку плана эксперимента. Совокупность векторов Хq (q = 1, 2, …, n) образует план эксперимента (матрица, содержащая k строк и n столбцов, каждая строка которой образует точку плана эксперимента, а столбец фактор эксперимента).

 

Х11	Х21	Х31	…	ХN1
Х12	Х22	Х32	…	ХN2
…	…	…	…	…
Х1К	Х2К	Х3К	…	ХNK

 Совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора (различных строк матрицы планирования), называется спектром плана. Матрица, получаемая из всех различных строк плана - матрица спектра плана. Она отличается от приведенной выше матрицы только числом строк (из-за отсутствия повторяющихся точек плана). При количестве точек спектра плана G, ее размерность будет составлять: G строк на N столбцов. Применяется также матрица дублирования, размерность которой совпадает с размерностью матрицы спектра плана. Она имеет вид:

К1	0	0	…	0
0	К2	0	…	0
…	…	…	…	…
0	0	0	…	Кg

Здесь К_j - число параллельных опытов в точке спектра плана с номером j (j = 1, 2, …, N). Т.е. это число характеризует дублирование соответствующей строки в матрице спектра плана.

 

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

1. Используя программу генерации случайных чисел провести трехфакторный эксперимент в восьми точках (то есть сформировать три столбца и восемь строк в матрице планирования – заполнить ее случайным образом). Желательно взять ограничение до 20 при генерации случайных чисел, но учесть возможность его изменения по требованию преподавателя.

2. Определить значения нулевых уровней факторов, выполнить нормировку факторов.

3. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х₀=1).

4. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.

5. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ, повторив 5 раз опыты в выбранных точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 в соответствии с вариантом, выданным преподавателем).

6. Найти коэффициенты уравнения регрессии.

7. Проверить свойства полного факторного эксперимента: симметричность, нормировку, ортогональность и рототабельность.

8. Составить уравнение регрессии в кодированном виде, привести его к натуральному, используя значение интервалов варьирования.

 

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1. Используя генератор случайных чисел, найти значения факторов в точках, а также функцию отклика. Определить нулевой уровень фактора, провести нормировку.

2. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х₀=1), и заполнить таблицу кодированными значениями Х₁, Х₂ и Х₃.

 

	Х0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	Y1,j	Y2,j	Y3,j	Yj
1
2
3
4
5
6
7
8

 

3. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.

4. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ (найти значения функции отклика Y). Для каждой точки плана провести по три эксперимента, значения функции отклика брать из таблицы 1 в соответствии с вариантом.

5. Получаем коэффициенты регрессии после упрощения системы уравнений b₀, b₁, b₂, b₃.

6. Уравнение регрессии будет иметь вид

Y = b₀ X₀ + b₁ X1 + b₂ X2 –+b₃ X3; (Х₀ =1).

7. Полученное в кодированном виде уравнение регрессии преобразовать в натуральный, используя значения интервалов варьирования.

 

Вариант 1

3,004	3,031	3,035	3,039	3,001
5,193	5,152	5,177	5,209	5,151
3,927	3,950	3,936	3,898	3,897
7,141	7,099	7,111	7,138	7,097

Вариант 2

3,651	3,605	3,653	3,592	3,627
6,547	6,514	6,535	6,562	6,581
4,761	4,793	4,816	4,792	4,801
9,515	9,566	9,534	9,552	9,528

Вариант 3

2,124	2,150	2,139	2,140	2,157
3,382	3,394	3,368	3,374	3,372
2,705	2,652	2,655	2,674	2,713
4,307	4,242	4,276	4,317	4,255

Вариант 4

2,588	2,597	2,542	2,537	2,539
4,191	4,165	4,152	4,129	4,138
3,201	3,231	3,202	3,199	3,248
5,509	5,453	5,448	5,511	5,445

Вариант 5

3,072	3,028	3,080	3,049	3,069
5,193	5,159	5,163	5,220	5,168
3,932	3,955	3,893	3,915	3,939
7,094	7,126	7,149	7,102	7,158

Вариант 6

4,292	4,285	4,333	4,304	4,277
8,385	8,390	8,404	8,421	8,390
5,881	5,886	5,847	5,900	5,909
13,349	13,332	13,357	13,342	13,356

Вариант 7

4,307	4,284	4,284	4,316	4,286
8,387	8,396	8,430	8,389	8,404
5,832	5,873	5,856	5,843	5,862
13,329	13,304	13,328	13,340	13,312

Вариант 8

3,583	3,605	3,623	3,623	3,587
6,555	6,564	6,523	6,559	6,511
4,795	4,790	4,776	4,798	4,744
9,504	9,530	9,524	9,557	9,530

Вариант 9

3,054	3,032	3,024	3,046	3,019
5,147	5,170	5,178	5,190	5,177
3,926	3,895	3,937	3,931	3,915
7,117	7,121	7,101	7,130	7,091

Вариант 10

2,549	2,537	2,563	2,564	2,569
4,118	4,164	4,155	4,126	4,151
3,236	3,220	3,202	3,212	3,207
5,445	5,485	5,449	5,472	5,455

Вариант 11

2,164	2,165	2,145	2,150	2,163
3,347	3,338	3,322	3,318	3,358
3,950	3,932	3,908	3,935	3,901
6,855	6,870	6,875	6,872	6,907

 

 

Вариант 12

2,788	2,823	2,815	2,777	2,773
4,491	4,467	4,492	4,473	4,460
3,485	3,510	3,515	3,524	3,475
5,883	5,879	5,863	5,870	5,877

Вариант 13

2,132	2,114	2,160	2,146	2,120
3,373	3,324	3,377	3,327	3,385
3,978	3,928	3,905	3,948	3,904
6,898	6,908	6,887	6,940	6,904

Вариант 14

2,567	2,587	2,585	2,527	2,583
4,148	4,183	4,155	4,144	4,169
4,998	4,949	4,950	4,947	4,968
9,758	9,689	9,701	9,711	9,686

Вариант 15

3,073	3,033	3,062	3,065	3,029
5,191	5,186	5,221	5,156	5,198
3,884	3,932	3,929	3,914	3,899
14,701	14,690	14,734	14,754	14,674

Вариант 16

8,346	8,241	8,242	8,247	8,244
17,731	17,736	17,781	17,709	17,863
14,306	14,165	14,262	14,254	14,173
22,574	22,715	22,599	22,579	22,569

Вариант 17

8,439	7,904	8,440	8,473	7,916
10,523	10,650	10,778	10,273	10,631
9,401	9,168	9,534	9,249	9,306
14,120	14,376	14,486	14,175	13,952

Вариант 18

7,939	7,903	7,980	7,619	7,750
12,365	12,356	12,004	12,037	12,409
14,245	14,808	14,494	14,786	14,449
26,177	26,630	26,707	26,237	26,481

Вариант 19

3,759	3,709	3,745	3,768	3,740
4,828	4,801	4,845	4,845	4,845
4,243	4,253	4,242	4,300	4,275
6,612	6,613	6,563	6,598	6,575

Вариант 20

2,872	2,904	2,841	2,888	2,896
4,125	4,147	4,105	4,153	4,152
3,810	3,779	3,755	3,803	3,759
4,532	4,477	4,472	4,505	4,513

Вариант 21

1,612	1,370	1,569	1,655	2,037
2,440	2,019	2,027	2,398	2,223
2,067	1,893	2,378	2,152	2,040
2,444	2,476	2,761	2,346	2,312

Вариант 22

8,952	8,889	9,235	9,122	9,222
12,258	12,452	12,044	12,152	12,392
10,323	10,376	10,268	10,647	10,452
14,357	14,050	14,109	14,339	14,421

 

 

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта);

2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных);

3. Основные теоретические положения (используемые формулы);

4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы);

5. Листинг программы (язык программирования не имеет значения);

6. Ответы на контрольные вопросы;

7. Результат выполнения работы;

8. Выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется экспериментом?

2. Какие бывают эксперименты?

3. Что называется планированием эксперимента?

4. Что образует план эксперимента?

5. Что называется спектром плана?

6. Чем характеризуется объект исследования? Дайте определение факторному пространству.

7. Что такое регрессионные полиномы и где они применяются?

8. Перечислите условия, необходимые для определения коэффициентов регрессии.

9. Что называется полным факторным экспериментом?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для втузов. М.: Радио и связь, 1983.

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.

4. Планирование и организация измерительного эксперимента / Е.Т. Володаpский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз.-К.: В.ш. Головное изд-во, 1987.

 

Методические указания к выполнению лабораторной работе

«Построение регрессионных моделей»

По курсам «Планирование эксперимента»

для студентов специальности АСОИ иУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение основных понятий, определений, принципов теории планирования экспериментов, приобретение навыков проведения экспериментов по построению математических моделей, ознакомление с методикой построения регрессионных моделей.

Основные понятия

Эксперимент – метод научного исследования, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на объект исследования путем создания искусственных условий или использования естественных условий, необходимых для выявления конкретных свойств объекта.

Эксперименты делятся на пассивные и активные (управляемые). В пассивном эксперименте контролируемые (входные) параметры нельзя изменять, в активном – можно.

Планирование эксперимента – область знания, связанная с построением и оптимизацией математических моделей.

Объект исследования рассматривается как носитель некоторых неизвестных или подлежащих исследованию свойств и качеств – своеобразный «черный ящик». При этом вектор Х₁…Х_k представляет собой группу контролируемых и управляемых величин, которые могут изменяться определенным образом в ходе эксперимента, а Z₁…Z_k контролируемые характеристики. Характеристики (Х₁…Х_k) также называют факторами или управляемыми воздействиями. Функция Y – функция отклика (поверхность отклика), представляет собой реакцию системы на воздействие факторов. Также можно выделить и третью, не обозначенную на идеальной модели систему входных сигналов – это шумы или помехи, которые обусловлены многими факторами: ошибками обслуживающего персонала, влиянием внешней среды, погрешностью приборов и т.д. К этой же группе относятся воздействия, которые не могут контролироваться либо из-за их сложности, либо из-за незнания их природы и невозможности контроля.

Характеристики объектов имеют различную физическую природу, а, следовательно, и размерность, что затрудняет построения модели. Поэтому на практике значения факторов, которые имеют реальный физический смысл, нормируют (приводят к определенному ранее заданному набору значений). Для любого фактора Х существует нижний Х_min и верхний X_max уровни изменения значений.

 

 

	Объект

 

 

Структурная схема объекта (процесса)
при проведении активного эксперимента

Факторное пространство

 

Приведем алгоритм нормировки фактора:

· выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы Х_{i min} соответствовало –1, а X_{i max} +1.

· вычисляем значение Х_{i 0} для данного фактора следующим образом .

· вычисляем интервал изменения фактора dx_i = X_{i 0} – X_{i min} = X_{i max}  - X_{i 0}.

· находим нормированное значение Х_н для каждого фактора .

Зависимость реакции объекта от точки факторного пространства называется функцией отклика Y, а ее геометрическое представление Y(x₁, x₂,…, x_i) – поверхностью отклика. Векторов значений функции отклика может быть столько, сколько опытов.

 

Проведение эксперимента

 

Эксперимент состоит из опытов (воспроизведение исследуемого явления). Под планированием эксперимента понимают выбор плана эксперимента – совокупности данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Каждый опыт эксперимента характеризуется определенным набором значений факторов.

Вектор, содержащий некоторый набор конкретных значений факторов Х_I, определяет q-ю точку плана эксперимента. Совокупность векторов Хq (q = 1, 2, …, n) образует план эксперимента (матрица, содержащая k строк и n столбцов, каждая строка которой образует точку плана эксперимента, а столбец фактор эксперимента).

 

Х11	Х21	Х31	…	ХN1
Х12	Х22	Х32	…	ХN2
…	…	…	…	…
Х1К	Х2К	Х3К	…	ХNK

 Совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора (различных строк матрицы планирования), называется спектром плана. Матрица, получаемая из всех различных строк плана - матрица спектра плана. Она отличается от приведенной выше матрицы только числом строк (из-за отсутствия повторяющихся точек плана). При количестве точек спектра плана G, ее размерность будет составлять: G строк на N столбцов. Применяется также матрица дублирования, размерность которой совпадает с размерностью матрицы спектра плана. Она имеет вид:

К1	0	0	…	0
0	К2	0	…	0
…	…	…	…	…
0	0	0	…	Кg

Здесь К_j - число параллельных опытов в точке спектра плана с номером j (j = 1, 2, …, N). Т.е. это число характеризует дублирование соответствующей строки в матрице спектра плана.