Методика изучения уравнений и способов их решения.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Опишите методику обучения младших школьников решению уравнений.

Как формируют у учащихся понятия «уравнение» и «решение уравнения».

Какие способы решения уравнений используются в начальных классах?

2. Как проходит ознакомление младших школьников с алгебраическим методом решения текстовых задач на основе составления и решения уравнений по задаче. В каких учебниках математики, по каким программам проводится эта работа?

3. Приведите страницы этих учебников и примеры заданий по этой теме. Сделайте сравнительный анализ альтернативных учебников математики.

 

Математика – наука, которая нужна каждому человеку. В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики. Основная часть нашей жизни состоит из вычислений и подсчетов. Математика помогает развивать интеллект и находить решения в сложной задаче. Математика учит нас получать и приобретать знания, развивает внимание, логику, ясное мышление, умение делать выводы.

Уже с первого класса дети начинают задаваться вопросами: зачем мы изучаем математику? Чем она пригодиться в жизни?

Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоце нить.

Во-первых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала.

Во-вторых, обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни, когда получить ответ на поставленный вопрос можно только владея навыками решения уравнений.

В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.

Основные подходы к обучению решению уравнений:

Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения (М.И.Моро, М.А.Бантова, И.Э.Аргинская, Л.Г.Петерсон и др.) – с 1-2 класса.

Понятие уравнение, по мнению Н.Б. Истоминой [16], можно разделить на две большие группы, такие как алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения подразумевают под собой, такие уравнения, в которых для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентные в свою очередь, являются уравнения, в которых для нахождения корня используются неалгебраические функции.

Н.Б. Истомина [16] разделяет алгебраические уравнения на следующие виды:

- целые;

- дробные;

- иррациональные.

Заметим также, что дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений. Трансцендентные уравнения она подразделяет следующим образом:

- показательные;

логарифмические;

- тригонометрические;

- смешаные;

Рассмотрев множество определений понятия уравнения можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.

 Понятие «решить уравнение», является наиболее встречаемой задачей. Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, с которым уже знакомы и можно решить. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность или систему уравнений. Решением системы уравнений является пересечение множеств корней уравнений, составляющих данную систему.

Исходя из выше сказанного, можно сделать вывод о том, что решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Проанализировав современные программы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

При изучении темы «Уравнения», в учебниках для второго класса автором которых является М.И. Моро, дается следующее определение «Уравнение – это равенство, содержащее в себе неизвестное число, которое следует найти. Неизвестное число в уравнении обозначают с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u, но наиболее часто используются буквы x, y и z»

 

IV этап - проверка решения.

Цель: установить правильность или ошибочность выполнения решения задачи. Проверить каждый свой шаг, убедиться, что он совершено правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками, на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

Н.А.Менчинская и М.И.Моро определили, умение решать задачи, как владение учащимися рядом правил, "Знание которых должно быть приобретено учащимися в собственном практическом опыте", А.М.Пышкало и М.И.Моро называют в качестве умения решать задачи сложное умение, включающее в себя ряд более простых: умение вычленять известные и неизвестные величины, уста- навливать связи между ними и т.д. В конечном итоге умение решать задачи это умение построить правильную математическую модель задачи (выражение, уравнение). Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальной школе. М.; Учпедгиз, 1965г., Ю.М.Колягин пишет "умение решать задачи образует сложный комплекс, который содержит активно действующие математические знания (и соответствующие им специальные умения и навыки), опыт в применении знаний и определений, совокупность сформированных свойств мышления, проявляющихся в процессе решения задач". Колягин Ю.М. Методические проблемы применения задач в обучении математике. // Кн. Преподавания алгебры и геометрии в школе. /-М.; Просвещение, -1982г.

В.А. Мизюк выделил основные умения, которые необходимы учащимся для решения задач Овчинникова М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы): Учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание» - К.: Пед.пресса, 2001:

 

Вывод

Значение цифр и чисел в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что в составе человеческого мозга есть структуры (кора левого полушария у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких структур нет ни у одного другого животного. Благодаря им человек может писать, читать, говорить, произносить самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного мозга человек смог в первый раз произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни без алфавита и слов.

В математике таким алфавитом являются цифры, а словами - числа. Есть много общего: своеобразными языками в математике являются системы счисления. В таких алфавитах буквы - цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ. [15, стр.343]

Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. Одним из важных моментов в работе над нумерацией является закрепление последовательности и свойств натурального ряда чисел (если к числу прибавим 1, то получим следующее за ним число, а если вычтем 1, то - предшествующее.

Уроки математики могут и должны быть использованы в целях формирования у детей начатков научного мировоззрения. Этому способствует укрепление связи обучения с жизнью, нужно довести до сознания детей связь математики с практикой. Для этого необходимо, прежде всего, систематически развивать у детей самостоятельность, постепенно усиливая в процессе обучения требования к их самостоятельной работе, но, соблюдая при этом такую меру трудности, при которой предлагаемые вопросы и задания, хотя и требовали бы определенных усилий от ребенка, оставались бы посильными для него.

Основой для изучения нумерации многозначных чисел является хорошее знание нумерации чисел в пределах 1000. Выполняя конкретные упражнения, учащиеся вспоминают, как образуется число, непосредственно следующее при счете за данным, а также число, предшествующее данному при счете; повторяют образование чисел из сотен, десятков и единиц и учатся откладывать на счетах однозначные, двузначные и трехзначные числа. На этом знакомом детям материале вводится новые понятия - понятия разряда и класса. Чтобы дети быстрее запомнили новые термины, полезно вывесить в классе нумерационную таблицу и пользоваться этим пособием на всех уроках повторения На уроках по изучению нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны, достижения в завоевании космоса, интересные числовые данные о животных и растениях. С этой целью полезно организовать сбор детьми интересных числовых данных с записью их в индивидуальные или общешкольные справочники.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Опишите методику обучения младших школьников решению уравнений.

Как формируют у учащихся понятия «уравнение» и «решение уравнения».

Какие способы решения уравнений используются в начальных классах?

2. Как проходит ознакомление младших школьников с алгебраическим методом решения текстовых задач на основе составления и решения уравнений по задаче. В каких учебниках математики, по каким программам проводится эта работа?

3. Приведите страницы этих учебников и примеры заданий по этой теме. Сделайте сравнительный анализ альтернативных учебников математики.

 

Математика – наука, которая нужна каждому человеку. В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики. Основная часть нашей жизни состоит из вычислений и подсчетов. Математика помогает развивать интеллект и находить решения в сложной задаче. Математика учит нас получать и приобретать знания, развивает внимание, логику, ясное мышление, умение делать выводы.

Уже с первого класса дети начинают задаваться вопросами: зачем мы изучаем математику? Чем она пригодиться в жизни?

Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоце нить.

Во-первых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала.

Во-вторых, обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни, когда получить ответ на поставленный вопрос можно только владея навыками решения уравнений.

В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.

Основные подходы к обучению решению уравнений:

Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения (М.И.Моро, М.А.Бантова, И.Э.Аргинская, Л.Г.Петерсон и др.) – с 1-2 класса.

Понятие уравнение, по мнению Н.Б. Истоминой [16], можно разделить на две большие группы, такие как алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения подразумевают под собой, такие уравнения, в которых для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентные в свою очередь, являются уравнения, в которых для нахождения корня используются неалгебраические функции.

Н.Б. Истомина [16] разделяет алгебраические уравнения на следующие виды:

- целые;

- дробные;

- иррациональные.

Заметим также, что дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений. Трансцендентные уравнения она подразделяет следующим образом:

- показательные;

логарифмические;

- тригонометрические;

- смешаные;

Рассмотрев множество определений понятия уравнения можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.

 Понятие «решить уравнение», является наиболее встречаемой задачей. Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, с которым уже знакомы и можно решить. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность или систему уравнений. Решением системы уравнений является пересечение множеств корней уравнений, составляющих данную систему.

Исходя из выше сказанного, можно сделать вывод о том, что решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Проанализировав современные программы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

При изучении темы «Уравнения», в учебниках для второго класса автором которых является М.И. Моро, дается следующее определение «Уравнение – это равенство, содержащее в себе неизвестное число, которое следует найти. Неизвестное число в уравнении обозначают с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u, но наиболее часто используются буквы x, y и z»

 

Методика изучения уравнений и способов их решения.

 

Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву (переменную). Решить уравнение - значит узнать, при каких значениях буквы (переменной) уравнение обращается в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называют решением уравнения.

В учебнике М.И. Моро учащиеся решают уравнения двумя способами: 1) способом подбора (в простейших случаях); 2) способом, основанном на применении правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. В методике формирования у младших школьников представлений об уравнении можно выделить следующие этапы:

1этап – подготовительный. На этом этапе выполняются следующие два вида упражнений: 1) решаются способом подбора примеры с «окошком» вида  + 3 = 7;  - 4 = 2; 8 -  = 5;

2) раскрывается связь между компонентами и результатом действий сложения и вычитания (правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого).

Выполнение специальных упражнений – равенств с «окошками» является подготовкой для перехода к решению простейших уравнений вида х + 2 = 7; х - 5 = 4; 8 - х = 6, с которыми учащиеся знакомятся только во 2 классе (часть 1, с.68).

2этап – знакомство с уравнением и овладение способом его решения.

Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой Х и к введению термина «неизвестное число».

Ознакомление с уравнением можно начать с рассмотрением равенства с «окошком»:  + 4 = 7

К какому числу надо прибавить 4, чтобы получилось 7?

(Вместо «окошка» учащиеся подставляют одно за другим числа 0, 1, 2, 3, пока не найдут такое, которое подходит, чтобы получилось верное равенство).

Учитель объясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинской буквой х (вставляет х в окошко).

х + 4 = 7 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число

Чему равно неизвестное число в данном уравнении? (3).

Почему? (3 + 4 = 7).

На данном этапе очень важно сформировать осознанный и математически верный подход к решению уравнений, чтобы ученик сразу ориентировался на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Сначала уравнения решаются способом подбора (учащиеся могут при этом воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами сложения или вычитания в пределах 10).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. Например, 9 – х = 7. (Подставим вместо х один: 9 - 1  7, х  1; подставим число 2: 9 – 2 = 7, х = 2).

Аналогично в 3 классе вводятся уравнения вида х • 3 = 12, 5 • х = 10, х: 2 = 4, 6: х = 3, которые также вначале решаются подбором с использованием табличных случаев умножения и деления.

Позднее, когда учащиеся усвоят знания связей между компонентами и результатами арифметических действий уравнения начинают решать на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента.

Для решения уравнений вторым способом с помощью правила предлагается такое уравнение, которое дети не могут быстро решить способом подбора, например: х + 13 = 71.

Решение уравнения оформляется следующим образом:

х + 13 = 71 х - 5 = 27 32 - х = 8

х = 71 - 13 х = 27 + 5 х = 32 - 8

х = 58 х = 32 х = 24

58 + 13 = 71 32 - 5 = 27 32 - 24 = 8

71 = 71 27 = 27 8 = 8

14 • х = 28 х: 6 = 12 48: х = 4

х = 28: 14 х = 12 • 6 х = 48: 4

х = 2 х = 72 х = 12

14 • 2 = 28 72: 6 = 12 48: 12 = 4

28 = 28 12 = 12 4 = 4

Ученики объясняют решение уравнения х + 13 = 71 так: читаю уравнение х плюс 13 равно 71 (сумма чисел х и 13 равна 71; х увеличить на 13 получится 71). В уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое. Из 71 вычтем 13, получим 58. Значит, х равен 58. Проверим: к 58 прибавим 13, получим 71. Получилось верное равенство 71 = 71, значит уравнение решено правильно.(3 кл. ч 2 с. 20- объяснить самост)