Основные свойства линейных электрических цепей постоянного тока. Принцип наложения или суперпозиции.

Принцип наложения относится к линейным системам независимо от их физической природы и применительно к электрическим цепям формулируется следующим образом: «Ток в любой ветви электрической схемы равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником электрической энергии в отдельности».

Если в цепи действуют несколько источников ЭДС и источников тока, то математическая запись этого принципа относительно тока в k-й ветви такова

I = E ₁ g_{k 1} +…+ E_ng_kn +…+ E_kg_kk +…+Ĵ₁ă _{k 1} + Ĵ₂ă _{k 2} +…( 1.22) где g_kn - взаимная проводимость между k-й и n-й ветвями; g_kk- собственная входная проводимость k-й ветви; ă_k1- коэффициент передачи по току между k-й и i-й ветвями. Метод наложения заключается в том, что схема рассчитывается при действии каждого источника в отдельности. При этом остальные источники удаляются, однако их внутренние сопротивления сохраняются. Определенные таким образом частичные токи алгебраически суммируются, т. е. учитывается направление каждого из них относительно положительного направления тока в рассматриваемой ветви. Для определения взаимной проводимости, например, g_k1в выражении (1.22) следует величины всех источников положить равными нулю, кроме Е1.

 В соответствии с этим выражение (1.22) запишем так I ´ _k = E ₁ g_{k 1}, откуда   g_{k 1=} I ´ _k / E ₁;

В каждой ветви есть сопротивление. Для определения g_{k 1} в первую ветвь надо включить ЭДС Е1, а в k-й ветви рассчитать (замерить) ток I ´ _k. Затем взять отношение I ´ _k и E ₁: g_{k 1=} I ´ _k / E ₁. Что касается собственных проводимостей ветвей, т. е. проводимостей с одинаковыми индексами, то они являются входными проводимостями относительно зажимов рассматриваемой ветви. Используя выражение (1.22), следует записать для k-й ветви I ´´ _k = E_kg_kk откуда g_kk = g_{k в x} = (I ´´ _k) / E _1.

И далее 1/ g_{k в x} = R_{kBx .} Входные проводимости имеют всегда положительный знак. Взаимные проводимости могут иметь как положительный, так и отрицательный знак в зависимости от знака частичного тока, полученного в результате расчета.

При расчете цепи от каждого источника отдельно получаются несложные схемы, определение токов в которых не вызывает затруднения.

Метод наложения широко применяется при вариациях величин ЭДС или токов, источников тока.

 

Принцип компенсации.

Она формулируется так: «В электрической цепи любое сопротивление с током можно заменить ЭДС, равной падению напряжения на этом сопротивлении и направленной навстречу току в этом сопротивлении».

Для доказательства этого обратимся к рис. 1.31 а, б, в. Падение напряжения на

сопротивлении R будет равно U = R.I (pиc. 1.31 а). Включим последовательно с сопротивлением две ЭДС, каждая из которых равна по величине падению напряжения на сопротивлении R, т.е. R.I.

Причем эти ЭДС направлены навстречу друг другу. Очевидно, что в этом случае токораспределение в схеме не изменится. Проследим изменение потенциала вдоль участка цепи от точки «а» до точки «d». Считаем потенциал точки а известным; тогда для потенциала точки d можно записать φ _d = φ _a - RI + E =φ _a - RI + RI = φ _a Так как потенциалы точек d и а оказались одинаковы, то эти точки можно соединить проводом, т. е. закоротить. Схема рис. 1.31 б переходит в схему рис. 1.31 в, что и требовалось доказать.

 

16. Метод эквивалентного генератора

Часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными зажимами, именуемыми полюсами, называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными (рис. 2.9 а), а двухполюсники, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными (рис. 2.9 б).

В электрической цепи выделим ветвь с сопротивлением R, а оставшуюся часть схемы, содержащую источники энергии, будем рассматривать как активный двухполюсник (рис. 2.10).

Разомкнем ветвь с сопротивлением R, как показано на рис. 2.11 а, и рассчитаем или измерим напряжение на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода U _Х. Затем последовательно с сопротивлением R в схеме рис. 2.10 включим встречно два идеальных источника напряжения с ЭДС, равными E = U _Х каждая (см. рис. 2.11 б). Схемы на рис. 2.10 и рис. 2.11 б эквивалентны, так как напряжение U и ток I в сопротивлении R одинаковы в обеих схемах.

Для расчета тока в схеме на рис 2.11 б воспользуемся принципом наложения. Для этого оставим все источники энергии внутри активного двухполюсника и один из источников напряжения E = U _Х – правый, а левый источник исключим. В полученной схеме рис. 2.11 в ток I = 0, так как знамения потенциалов в ней такие же, как в схеме на рис. 2.11 а:

Действительно, если в разрыв цепи на рис. 2.11 а включить ЭДС, направленную навстречу U _Х, то в сопротивлении R так обращается в нуль лишь при условии, что эта ЭДС равна и противоположна напряжению E = U _Х на зажимах 1 – 2 активного двухполюсника.

В схеме на рис. 2.11 г остался левый источник напряжения E = U _Х и пассивный двухполюсник, получившийся после исключения источников энергии активного двухполюсника схемы рис. 2.11 б, причем их внутренние сопротивления сохраняются.

Ток в схеме рис. 2.11 г рассчитывается по формуле

I = U_x /(R_B + R)      (2.19)

где R _В –внутреннее сопротивление пассивного двухполюсника; R – сопротивление нагрузки.

В режиме короткого замыкания R = 0; I = I _КЗ. Получаем из (2.19) I _кз = U_x / R_B

R_B = U_x / I _кз   (2.20)

Уравнение (2.19) является математическим выражением теоремы об активном двухполюснике или эквивалентном генераторе (теорема Тевенена–Гельмгольца). Она чаще всего применяется в том случае, когда в сложной цепи необходимо определить ток одной ветви. Для того, чтобы ею воспользоваться, необходимо разомкнуть ветвь, ток и который надо найти, и определить расчетным или экспериментальным путем напряжение холостого хода U _Х на разомкнутых зажимах 1 – 2 (см. рис. 2.11 а). Затем отключив все источники энергии активного двухполюсника рис. 2.11 а определить расчетным путем его внутреннее сопротивление R _В, например, сворачивая схему относительно зажимов 1 – 2; величину R _В можно определить опытным путем, используя выражение (2.20).

 

17. Синусоидальный ток

График изменения мгновенного значения синусоидального тока i ₁ от времени представлен на рис. 4.2 и определяется выражением

i ₁ =I_1m*sin(2πt/T+ Y ₁)= I_1m*sin(ωt/T+ Y ₁)A

где I _{1 m} - максимальное значение или амплитуда тока. Аргумент синуса (2 πt / T + ψ ₁) называется фазой. Угол Y ₁ называется начальной фазой и равен фазе в начальный момент времени (t = 0). Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2 p цикл изменения тока повторяется. Период T – это время, за которое совершается одно полное колебание. В течение периода Т фаза увеличивается на 2 p.

Частота (число полных колебаний) в 1 секунду равна ƒ=1/ T

Измеряют частоту в с ^-1 или герцах (Гц). Угловую частоту измеряют в рад/с или с ^-1: ω =2 p / T =2 p * ƒ

Угловая частота показывает на сколько радианов увеличивается фаза в секунду.

В Европе и нашей стране наибольшее распространение получили устройства синусоидального тока промышленной частоты 50 Гц. При f = 50 Гц, имеем w = 2 p f =314 рад/c. В США стандартной является частота 60 Гц (w = 377 рад/с).

Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функций времени: i = I_m * cos (ωt +Ө₁)

Где Ө = Y - p /2

Начальная фаза тока отсчитывается всегда от момента соответствующего началу синусоиды, до момента начала отсчета времени t = 0 (начало координат). При y₁ > 0 начало синусоиды сдвинуто влево (как показано на рис. 4.2), а при y₂ < 0 вправо от начала координат (рис. 4.3). Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Синусоиды, изображенные на рис. 4.2 и 4.3, имеют соответственно начальные фазы y₁ и y₂. Сдвиг фаз измеряется разностью начальных фаз. Ток i ₁ опережает по фазе ток i ₂ на угол, равный (y₁ - y₂). Или, что то же самое, ток i ₁ отстает по фазе от тока i ₂ на угол (y₁ - y₂). Например, для токов одной частоты: на рис. 4.2 y₁ = 54°; на рис. 4.3 y₂ = –36°; откуда можно заключить: ток i ₁ опережает ток i ₂ на угол y₁ - y₂ = 54° – (– 36°) = 90°.

Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, если разность их фаз равна ± p, то говорят, что они противоположны по фазе, наконец, если разность их фаз равна ± p/2, то говорят, что они находятся в квадратуре. Необходимо отметить такую условность: мгновенное значение токов, напряжений, ЭДС в цепях переменного тока обозначается малыми буквами: i, и, е.

18.  Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами на комплексной плоскости

Расчёт цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи и напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами. На рис. 4.6 показана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимую часть. На положительной полуоси действительных значений ставим +1, а на положительной полуоси мнимых значений - + j, где j ² =-1

Из курса математики известна формула Эйлера e^jα = cosα + jsinα

где е – основание натуральных логарифмов. Комплексное число e^jα изображают на комплексной плоскости вектором, составляющим угол α с осью вещественных значении (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1, если он положительный и по направлению часовой стрелки от оси +1, если отрицательный. Модуль функции e^jα (длина вектора) равен единице.

Действительно | e^jα |= √ cos ² α + sin ² α =1. Проекция функции е ^ja на ось + 1 равна cosα, а на ось + j равна sinα. Если вместо функции e^jα взять функцию I _{1 m} e^jα, то

  Ǐ= I_me^jα = I_m * cosα + j * I_m * sinα

На комплексной плоскости эта функция так же, как и функция e^jα, изобразится вектором, направленным под углом а к оси +1, но величина вектора (модуль) будет в I_m раз больше (рис. 4.7). Угол а может быть любым. Комплексное число Ǐ _m может иметь насколько форм записи:

Ǐ _m =Ǐ _m * e^jα * α;

Ǐ _m =Ǐ _m ^ α; - показательная форма записи;

Ǐ _m = I_m * cosα + j * I_m * sinα –тригонометрическая форма записи;

Ǐ _m = A + jB – алгебраическая форма записи,

где Re (Ǐ _m) –проекция вектора I _m на действительную ось; I_m (Ǐ _m) – проекция вектора I _m на мнимую ось.

Положим, что а = w t + y, т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда (рис. 4.7)

 Ǐ _m = I_me^{j ( ωt + ψ )} = I_mcos (w t + y)+ jI_msin (w t + y)= A + jB

Слагаемое A=I_mcos(w t + y) представляет собой действительную часть (Re) выражения I_me^{j ( ωt + ψ )}

A= I_mcos(w t + y)=Re[I_m]=Re[I_me^j(ωt+ψ)]

а функция B= jI_msin (w t + y) есть коэффициент при мнимой части (J _m ) выражения I_me^{j ( ωt + ψ )}, т. е.

i= I_msin(w t + y)=B=Im[Ǐ _m]= Im[I_me^j(ωt+ψ)]

Иными словами току i соответствует комплекс Ǐ _m, т. е. i (t)= Ǐ _m e^{j ( ωt + ψ )}

Таким образом синусоидально изменяющийся ток i (t) можно представить как проекцию вращающегося со скоростью w вектора I_me^{j ( ωt + ψ )} на ось + j.

Заметим также, что

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными и обозначаются в виде комплекса со звездочкой (см. рис. 4.8).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени t = 0, т. е. w t = 0. При этом вектор

 равен  где I_m - комплексная величина; модуль ее равен  а угол, под которым вектор I_m (Проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе y; y – является аргументом комплексного числа

Величину I_m называют комплексной амплитудой тока i.

 

19. Электрическая цепь синусоидального тока и ее схема

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В ряде устройств электромагнитная энергия преобразуется я в другие виды энергии (в механическую, химическую и т. д.); часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какого-либо участка, с которым не были бы связаны эти явления.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения или, короче, просто схемой, составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений. Напомним, что нами будут рассматриваться цепи с сосредоточенными постоянными.

 К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся резистор с сопротивлением R, катушка с индуктивностью L, конденсатор с емкостью С. Их условные обозначения показаны на рис. 5.1.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между катушками индуктивности на схеме рис. 5.2. Таким образом, взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

В этом разделе рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности и емкости которых не зависят от тока или напряжения.

Следует обратить внимание на то, что на рис. 5.1 показаны направления токов и совпадающие с направлением тока напряжения (или падения напряжений) на этих пассивных элементах. Падение напряжения в буквальном смысле означает уменьшение напряжения. Это падение напряжения всегда совпадает с выбранным направлением тока на пассивных элементах цепи.

В резисторе R электромагнитная энергия преобразуется в тепло. Мощность преобразования энергии в тепло равна R × i ². Это преобразование носит необратимый характер – электрическая энергия переходит в тепловую. По этой причине сопротивление R является активным сопротивлением в отличие от реактивных сопротивлений конденсатора С, катушки индуктивности L, где необратимого преобразования энергии нет.

Напряжение между зажимами сопротивления и ток в сопротивлении связаны законом Ома

Элемент схемы – индуктивность L (рис. 5.1) учитывает энергию  магнитного поля и явление самоиндукции При изменении тока в индуктивности.возникает ЭДС самоиндукции е _L. По закону Ленца она препятствует изменению тока. Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее зажимах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной ЭДС

В этом случае выбранное положительное направленно тока и напряжения (падение напряжения) всегда совпадают по направлению.

Элемент схемы – емкость С (рис. 5.1) учитывает энергию  электрического поля. На электродах емкости заряды равны и противоположны по знаку , где j _А и j _В потенциалы точек А и В соответственно. Для указанных на рис. 5.1 положительных направлений тока i и напряжения на емкости и _Сзаряд q _А и напряжение  имеют одинаковые знаки, т. е.

Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда. Действительно, приросту q _А соответствует положительное значение тока, убыли заряда q _А – отрицательное значение тока. Поэтому, обозначения q _А = q  можно записать