Тест с целью проверки теории

1. Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если:

а) расстояние от центра окружности до прямой не превосхо­дит радиуса окружности;

б) расстояние от центра окружности до прямой меньше ра­диуса окружности;

в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.

Верный ответ: 2.

2. Среди следующих утверждений укажите истинные:

а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.

б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.

в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.

Верный ответ: б – истинно.

3. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая не имеют общих точек, если...

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности

4. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности

5. Вставьте пропущенные слова.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, ес­ли расстояние от... до прямой...

Верный ответ: ….центра окружности …. равно радиусу окружности

Постановка учебной задачи:

Мы познакомились с тремя видами взаимного расположения прямой и окружности и знаем как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки – это секущая.

А сегодня мы познакомимся с определением прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, узнаем ее свойства и признаки.

II. Содержательная часть.

1. Введение определения касательной и точки касания.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р -касательная к окружности; А - точка касания.

 

 

2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащими­ся по рис., приготовленному на доске.

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

- Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с ра­диусом окружности.

(Расстояние от точки О — центра окружности - до прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р - перпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)

- Каково взаимное расположение прямой р и окружности? По­чему?

- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.

(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)

- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?

(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)

3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками каса­тельных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С - точками касания.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):

АВ и АС — отрезки касательных, про­веденных из точки А.

В и С- точки касания.

 

 

4. Доказательство свойства отрезков ка­сательных, проведенных из одной точки.

Творческое задание:

Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности.

Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.

Решение (см. рис.):

По теореме о свойствах касательной к окружности АВ  ОВ и АС   ОС => ∆ АОВ и ∆ АОС - прямоугольные, они равны по кате­ту (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и 1 = 2.

Наводящие вопросы:

- Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о тре­угольниках АОВ и АОС?

- Чем является луч АО для угла ВАС?О чем это говорит?

5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.

- Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежа­щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

- Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?

- Докажите ее справедливость.

(По условию теоремы радиус яв­ляется перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т.е. прямая является касательной к окружности.)

6. Решение задачи на построение.

Дана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).

Вопросы для обсуждения:

- Предположим, а — касательная к окружности, проходящая че­рез точку М. Каково взаимное расположение прямой а и ра­диуса ОМ?

- Как построить касательную к окружности, проходящую через М?