Радиальные перемещения и углы поворота сечений должны быть равны по абсолютной величине.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку длиной l > 5/ rh. Оболочка нагружена внутренним давлением Р и жёстко заделана по краю.

Для определения возникающих М ₀ и Q ₀ необходимо написать канонические уравнения:

Для определения силовых факторов М ₀ и Q ₀ необходимо определить величины деформаций:

где k ₁, k ₂ – табличные данные; δ₁₁ – перемещение от единичной силы.

Поскольку мы должны сохранить прочность, следовательно, эти оболочки должны подчиняться закону Гука:

.

Можно найти перемещения от перерезывающей силы:

.

Подставляя σ _s, σ _t для цилиндрической оболочки, получим:

где δ _QP = const, δ _MP = 0, подставив найденные величины в канонические уравнения получим величины силовых факторов М ₀ и Q ₀.

Рассмотрим сопряжение цилиндрической обечайки со сферическим
неотбортованным днищем (рис. 17).

В этом случае на край цилиндрической оболочки действует меридиональное усилие:

,

где σ _{s 1} – возникающее в цилиндрической оболочке меридиональное напряжение.

Меридиональная сила, действующая на край сферической оболочки:

,

где σ _{s 2} – возникающее в сферической оболочке меридиональное напряжение.

Разложим усилие S ₂ на два направления: вдоль и перпендикулярно оси цилиндрической оболочки. Составляющая силы S ₂, направленная перпендикулярно оси цилиндрической оболочки, является распорным усилием:

.

Рис. 17. Сопряжение цилиндрической обечайки
со сферическим неотбортованным днищем

Для рассматриваемого случая канонические уравнения метода сил запишутся следующим образом:

.

Из полученных уравнений находим:

 

Лекция № 8

Тема: «Устойчивость тонкостенных оболочек»

Элементы тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки) могут разрушаться в результате потери устойчивости. Под потерей устойчивости следует понимать резкое качественное изменение характера деформации элемента конструкции, происходящее при определенном значении нагрузки.

Обычно упругая система, потерявшая устойчивость, переходит к некоторому новому положению устойчивого равновесия, отличающемуся от первоначального. Этот переход в подавляющем большинстве случаев сопровождается существенными перемещениями, нарушающими возможность нормальной эксплуатации конструкции в связи с возникновением больших деформаций или приводящими к полному разрушению конструкции. При потере устойчивости тонкостенной конструкции нормальные и касательные напряжения в её поперечных сечениях могут быть значительно ниже предела текучести.

Нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости, называют критической. Например, прямолинейная форма равновесия сжатого стержня устойчива только в том случае, когда сжимающая стержень сила меньше критической. При силе большей критической стержень изгибается, прямолинейная форма равновесия перестаёт быть устойчивой. При этом круговая форма её поперечного сечения может перейти, например, в эллиптическую, и оболочка сплющивается, хотя напряжения в стенках оболочки могут быть меньше предела текучести. Цилиндрическая оболочка может потерять устойчивость при осевом сжатии, кручении, поперечном изгибе и т. д.

Следует отметить, что потеря устойчивости происходит в основном из-за неизбежных начальных неправильностей в срединной поверхности оболочек (отклонений геометрической формы конструкции от идеальной).

Очень тонкие оболочки могут потерять устойчивость скачкообразно,
с так называемым «прощёлкиванием», в этом случае новое равновесное состояние может быть сохранено при незначительной величине внешней нагрузки. Это равновесное состояние достигается при больших прогибах оболочки. Критическая нагрузка, соответствующая этой форме потери устойчивости, является наименьшей из возможных и определяет нижний предел устойчивости.

Величина критической нагрузки (или критического напряжения) зависит также от условий закрепления конструкции, соотношения её размеров (например, для цилиндрических оболочек от отношений ), вида действующей нагрузки и т. д.

Рассмотрим замкнутую круговую цилиндрическую оболочку длиной L, шарнирно опёртую по торцам (рис. 18). Пусть оболочка подвергается сжатию вдоль образующей усилиями N ₁, Равномерно распределёнными вдоль дуговых кромок.

Рис. 18. Схема замкнутой круговой цилиндрической оболочки длиной L,
шарнирно опёртую по торцам

Предположим, что поверхность оболочки остаётся осесимметричной и после выпучивания, которое имеет волнообразный характер. Тогда радиальные прогибы у оболочки будут зависеть только от координаты Х, совпадающей с осью оболочки и характеризующей положение данного нормального сечения. Критическое напряжение в стенке оболочки определяют из условия равновесия внутренних усилий оболочки в момент потери устойчивости, когда появляется новая форма равновесия, отличная от первоначальной – прямолинейной.

Напряжённое состояние оболочки при потере устойчивости из безмоментного превращается в моментное и, следовательно, претерпевает качественный скачок.

Оболочка подвергается изгибу под действием постоянных сил сжатия N ₁, а не поперечной нагрузки.

При выпучивании эти силы дают нормальную составляющую:

,

где у – радиальный прогиб оболочки.

Общее выражение для определения прогиба:

,                                                (3)

где D – цилиндрическая жёсткость оболочки .

Вводя в уравнение (3) в качестве дополнительной поперечной нагрузки указанную нормальную составляющую, можно записать:

.                              (4)

Принимаем выражение для прогиба:

,                                                                (5)

где m – число полуволн изогнутой поверхности по образующей оболочки;
L – длина оболочки.

На основании выражений (4) и (5) получим выражение для верхнего критического напряжения

.

Исследуя это выражение на минимум, получим значение m, соответствующее минимальному критическому напряжению:

.                                                               (6)

Тогда действительное значение верхнего критического напряжения

,                                                   (7)

при μ = 0,3

.

Аналогичный результат получается и при допущении, что поверхность оболочки после выпучивания не остаётся осесимметричной. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что найденное критическое значение сжимающих напряжений является верхней границей для действительных критических напряжений.

При нетщательном изготовлении оболочки, когда начальные прогибы приближаются по величине к толщине стенки h, что является пределом допустимых начальных прогибов, расчётные значения критических напряжений следует уменьшать почти в 2 раза.

Исследуем задачу об устойчивости кольца, сжатого радиальной равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q. Предположим, что кольцо при некотором значении внешней нагрузки теряет свою форму и сплющивается (рис. 19 а).

Рассмотрим элемент деформированного кольца (рис. 19 б) длиной ds; местный радиус кривизны элемента оболочки обозначим через ρ. Предположим, что радиус кривизны ρ близок по величине к первоначальному радиусу R.
На концах элемента действуют нормальные силы, поперечные силы и изгибающие моменты.

Обозначим нормальную силу до потери устойчивости N0, а после потери устойчивости N ₀ + N.

 

Рис. 19. Кольцо, потерявшее устойчивость: а – схема нагруженного кольца;
б – схема действия усилий на элемент кольца

Для докритического состояния из условия равновесия следует

,

откуда .

Сумма проекций на нормаль сил, действующих на элемент:

Подставим сюда полученное значение N ₀, учитывая что ρ ≈ R:

,                                                (8)

где  – изменение кривизны.

Запишем ещё 2 уравнения равновесия

                                           (9)

                                        (10)

Решением уравнений (8), (9), (10) получается уравнение

.                                        (11)

После интегрирования (11) можем определить q _кр

.

Минимальное значение q _кр получают при n = 2, когда

.

Результаты, полученные для кольца, можно использовать для расчёта длинных цилиндрических оболочек, нагруженных внешним давлением р. При этом q = р; вместо величины жёсткости EI следует использовать величину цилиндрической жёсткости оболочки:

.

Тогда .

Лекция № 9

Тема: «Укрепление отверстий»

При конструировании аппаратуры обычно приходится предусматривать отверстия в стенках для присоединения трубопроводов, установки лазов, смотровых люков, загрузочных и разгрузочных приспособлений и т. д. Эти отверстия ослабляют стенку и служат концентраторами напряжений.

При укреплении вырезов напряжённое состояние в области выреза выравнивается и снижается концентрация напряжений. Степень концентрации напряжений у неукреплённых круговых вырезов определяется геометрическими соотношениями между размерами отверстия и аппарата. Так, для цилиндрических оболочек концентрация напряжений в районе круговых вырезов возрастает с увеличением отношения радиуса выреза к радиусу обечайки и с уменьшением отношения толщины стенки обечайки к её радиусу.

Показанные на рис. 20 варианты укреплений можно разделить на два основных класса: с патрубками, примыкающими к корпусу (рис. 20 а–г, е, ж, и),
и с патрубками, пропущенными через стенку корпуса (рис. 20 д, з). Последние более эффективны в связи с тем, что в данном случае укрепляется внутренняя поверхность корпуса, для которой характерна наибольшая концентрация напряжений. Укрепляющее действие примыкающего патрубка снижается по мере увеличения толщины стенки корпуса сосуда.

Рис. 20. Варианты укреплений

 

Расчёт укрепления отверстий необходим при проектировании сосудов, работающих под давлением. Расчёты основаны обычно на том положении, согласно которому площадь продольного сечения выреза компенсируется применением накладок, усиленных патрубков и т. д.

Для расчётов рекомендуется рабочая методика, ограниченная в применении условиями

,

где h – толщина стенки сосуда; d – внутренний диаметр патрубка; D – внутренний диаметр обечайки.

Эта методика применима и при расчёте обечаек с овальными отверстиями, когда отношение большего диаметра d ₂ к меньшему d ₁:

.

Наибольший допускаемый диаметр неукреплённого отверстия в цилиндрических корпусах:

.

где h _p – расчётная толщина стенки сосуда.

Наружный диаметр накладки, используемой для укрепления стенки сосуда

.

Если для укрепления отверстий применяют патрубок, то должно выполняться условие

,

где  – площади сечения патрубка, участвующего в укреплении;

Если для укрепления отверстий применяют одновременно патрубок и накладку, то должно выполняться условие:

,

где  – расчётная площадь сечения укрепляющего воротника;

,

где  – расчётная толщина накладного кольца (принимают  равной толщине стенки обечайки или днища, но не менее h – h ₁).

Эта методика достаточно условна и не совсем точна. Чтобы применять её нужно быть уверенным, что материалы упруго – пластичные и нагрузки не вызывают усталостное разрушение. Для более точной методики надо рассматривать напряжённое состояние в месте выреза, применяя коэффициент концентрации напряжения и рассматривая местный локальный характер напряжений у выреза. Тогда можно применить теорию оболочек, которая позволит определить аналитически коэффициент концентрации напряжения.

Рассмотрим аналитический метод расчёта укрепления выреза в сосуде.

Пусть круговой вырез в полусферическом днище укреплён примыкающим патрубком. Днище и патрубок находятся под действием внутреннего давления р. Рассмотрим усилия, приложенные к краю выреза в днище и к краю патрубка (рис. 21). Обозначим через 2φ угол, соответствующий диаметру выреза. К краю выреза приложены распределённые силы . Учитывая, что , силу  можно разложить на составляющие (рис. 21 а).

Перемещения края выреза и патрубка происходят под действием внутреннего давления р, а также неизвестных изгибающего момента М ₀ и поперечной силы Q ₀.

Для сопряжения днища с патрубком запишем канонические уравнения метода сил:

 

где

Рис. 21. Схема к расчету напряжений в вырезе полусферической оболочки,
укрепленном примыкающим патрубком: а – схем усилий, приложенных к краям выреза и патрубка; б – схема усилий, учитываемых в расете

Коэффициент концентрации напряжений в укреплённом вырезе сферического днища:

где

С учётом  определяется расчётное напряжение и определяется коэффициент запаса прочности рассматриваемого элемента:

.

Пример: Проверить прочность полусферического днища в области выреза, укреплённого примыкающим патрубком и накладкой;

Расчётные размеры: R = 0,8 м; d _в = 0,4 м; наружный диаметр накладки d _нак = 0,6 м; h = 0,02 м; h ₁ = 0,014 м; h _нак = 0,02 м; φ = 14°30'.

По формуле  определяем расчётную толщину стенки днища:

.

Применяя интерполяцию по  и φ, определим по табл. [11] коэффициенты:

Находим приведённую толщину стенки патрубка, учитывая:

.

Приведённая толщина стенки патрубка:

.

Единичные перемещения края патрубка:

.

Тогда канонические уравнения примут вид:

Из полученной системы уравнений:

Окружное напряжение в крае выреза от усилий  и :

.

Вычисляя напряжения в крае выреза от внутреннего давления, расчётную толщину стенки  определим по уравнению:

Это значение  подставим в формулу:

.

Расчётное напряжение в крае выреза:

.

Коэффициент запаса прочности:

.

Прочность днища обеспечена.

Лекция № 10

Тема: «Расчёт обечаек, нагруженных внешним давлением»

Тонкостенный цилиндр под внешним давлением находится в менее благоприятных условиях по сравнению с цилиндром, нагруженным внутренним давлением. Внешнее давление вызывает нарушение цилиндрической формы аппарата, увеличивая имеющиеся первоначальные отклонения и вызывая при этом дополнительные напряжения изгиба.