Схема двухлучевой интерференции(1)

Рассмотрим наложение двух световых волн, идущих от двух источников S₁ и S₂, в точку Р (см.рис.1). Волны будем полагать монохроматическими и плоскими. Тогда выражения для напряженностей электрического поля двух волн можно записать в виде: E₁ = E₁0 cos(ωt – kz), E₂ = E₂0 cos(ω₁ t – k₁ z₁)              (3)

Где   Е₁0 и Е₂0 - амплитуды первой и второй волн,   ω и ω₁ - циклические частоты первой и второй волн,   k и k₁ - волновые числа первой и второй волн (k = 2 π/ λ, здесь λ -длина волны), z и z₁ - расстояния пройденные волнами от источников до точки наблюдения, t - время в момент наложения волн.

Рис.1- Схема двухлучевой интерференции.

 

Обозначив фазы двух волн, т.е. аргументы периодической функции (в данном случае косинуса), описывающей волны, через φ и φ ₁ соответственно, можно записать, что разность фаз двух волн равна: ∆φ = φ – φ₁ = (ω – ω₁) t – kz – k₁ z₁ .             (4)

Из этого выражения видно, что условие когерентности, т.е. постоянство разности фаз во времени, может выполняться лишь для волн с одинаковыми частотами (ω = ω₁).

Циклическая частота однозначно связана с волновым числом k = ω/ v, (где v - фазовая скорость света в среде - величина для когерентных волн разность фаз определяется геометрической разностью хода волн от источников до точки наложения волн (∆):

                            ∆φ = k (z – z₁) = k ∆.   (5)

Волновое число в среде (k_c) пропорционально показателю преломления среды: k_c = k n, (6)где k - волновое число в вакууме.

  Оптическую разность хода (∆), т.е. разность оптических длин путей двух волн (L ₀₁ и L₀₂ ): ∆ φ = k (Lo₁- Lo₂) = k ∆ (7)

 Оптическая длина пути волны, прошедшей несколько различных сред (см. рис.2), находится как сумма произведений показателя преломления среды (n ₁) на геометрическое расстояние, пройденное волной в данной среде (z₁): L₀ = n₁ z₁ + n₂ z₂ +... + n₁ z₁ +...  (8)

Оптической длиной пути световой волны называется произведение геометрической длины пути (z₁) световой волны в среде на абсолютный показатель преломления (n₁) данной среды: Loпт = zi · ni

 

Зеркала Френеля.

Два плоских соприкасающихся зеркала ОМ и ON располагаются так, что их отражающие поверхности образуют угол, близкий к л (рис. 121.1). Соответственно угол ф на рисунке очень мал. Параллельно линии пересечения зеркал О на расстоя­нии г от нее помещается прямолинейный источник света S (напри­мер, узкая светящаяся щель). Зеркала отбрасывают на экран Э две цилиндрические когерентные волны, распространяющиеся так, как если бы они исходили из мнимых источников Si и Si. Непро­зрачный экран Э преграждает свету путь от источника S к эк­рану Э.

 

Луч OQ представляет собой отражение луча SO от зеркала ОМ, луч ОР — отражение луча SO от зеркала ON. Легко сообразить, что угол между лучами ОР и OQ равен 2ф. Поскольку S и Si распо­ложены относительно ОМ симметрично, длина отрезка OSi равна OS, т. е. г. Аналогичные рассуждения приводят к тому же резуль­тату для отрезка OS₂. Таким образом, расстояние между источни­ками Si и S2 равно

Из рис. 121.1 видно, что  Следовательно,  где ь — расстояние от линии пересечения зеркал О до Ширина интерференционной полосы:

 (121.1)

Максимальное число интерференционных полос, которое можно наблюдать с по­мощью зеркал Френеля при данных параметрах схемы:

 (121.2)

20.10).

Бипризма Френеля.

Изготовленные из одного куска стекла две призмы с малым преломляющим углом д имеют одну общую грань (рис. 121.2). Параллельно этой грани на расстоянии а от нее рас­полагаетсяпрямолинейный источник света S.

Можно показать, что в случае, когда преломляющий луч  призмы очень мал и углы падения лучей на грань призмы не очень велики, все лучи отклоняются призмой на практически одинаковый угол, равный

(п — показатель преломления призмы). Угол падения лучей на бипризму невелик. Поэтому все лучи отклоняются каждой из по­ловин бипризмы на одинаковый угол. В результате образуются две когерентные цилиндрические волны, исходящие из мнимых источников Si и S₂, лежащих в одной плоскости с S. Расстояниемежду источниками равно

Максимальное число наблюдаемых полос

 (121.4) Расстояние от источников до экрана

 Двухлучевая интерференция

Пусть световые волны, испускаемые источниками S₁ и S₂, являются монохроматическими с одинаковой и постоянной частотой ω, а в рассматриваемой точке наблюдения Р (см.рис.1) оба вектора E₁ и E₂ параллельны друг другу, тогда их можно считать скалярными величинами и записать результирующую напряженность электрического поля в точке Р в соответствии с принципом суперпозиции (1) в следующем виде:       Ер = Е1₀ cos (ωt – kz₁) + E2₀ cos (ωt – kz₂)                         (9)

 

Для сложения двух гармонических функций удобно пользоваться методом фазовых диаграмм. При этом напряженность электрического поля волны представляется как проекция на некоторую ось 00 ' вектора по величине равного амплитуде волны, повернутого относительно этой оси на угол равный фазе волны (см. рис. За).

Рис.3. Фазовые диаграммы одной волны - (а) и двух - (в), налагающихся волн.

Если координата точки наблюдения и положение источника неизменны, то во время наблюдения расстояние z  постоянно, и фаза волны будет зависеть только от времени. С течением времени фаза волны будет расти и вектор Е₀ будет вращаться с частотой ω относительно выбранной оси. Проекция вектора при этом будет изменяться по гармоническому закону в соответствии с уравнением:

                          E(t) = Eo cos (ωt + φ)          (10)

где φ - начальная фаза волны, зависящая от z.

При сложении двух волн, каждая из них представляется проекцией соответствующего вектора на выбранную ось, и результирующая волна равна сумме проекций (см. рис.Зв). Результат не изменится, если сначала сложить вектора, а затем взять проекцию.

Так как для нахождения интенсивности достаточно знать амплитуду результирующей волны (см. формулу 2), то после сложения векторов можно и не искать проекцию результирующего вектора на ось, а ограничится найденой амплитудой результирующей волны (Ер₀) и определить интенсивность света в точке наложения.

Из рис. Зв видно, что амплитуда результирующего вектора не зависит от фаз налагающихся волн (фазы волн изменяются с течением времени, что приводит к синхронному вращению векторов), а зависит лишь от разности фаз (∆φ) между налагающимися волнами (на рисунке разность фаз - это угол между векторами Е1₀ и E2₀) и от амплитуд этих волн.

Применяя теорему косинусов (см. рис.Зв), можно записать:

Е _p0 ²  = Е ₁₀ ² + E₂₀² + 2E₁₀ ² E₂₀²cos ∆φ                              (11)

Так как интенсивность света (I) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний вектора напряжённости электрического поля, то  (12)

Последнее слагаемое называют интерференционным членом. В тех

точках пространства, для которых cos ∆φ > 0, результирующая интенсивность (Ip) будет превышать сумму интенсивностей I₁  и I₂. В точках, для которых cos ∆φ < 0, Ip будет меньше I₁ + I₂.

Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности.

1).Результирующая интенсивности - I _p при наложении двух когерентных волн максимальна

,  если ∆φ = 2π m.               (13)

Сравнивая (7) и (13), можно сказать, что при интерференции наблюдается максимум интенсивности, если оптическая разность хода двух интерферирующих волн равна целому числу длин волн

∆ = т λ                                        (14)

где m - называется порядком интерференции и показывает, сколько длин волн укладывается в оптической разности хода (m = 0, ±1, ±2,...).

2).Результирующая интенсивность I  -  минимальна.

,        если ∆φ = (2 m + l) π,   (15)

где - m = 0, ±1, ±2,...

Т.е. минимум интенсивности наблюдается, если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:

∆ = (2 m +1) λ/2.            (16)

Для некогерентных волн ∆φ непрерывно изменяется, результирующая интенсивность I_р = 2 I₁.

 

Максимальная величина оптической разности хода двух волн, полученных делением одной волны на части, при которой еще наблюдается интерференция, называется длиной когерентности излучения. Длина когерентности излучения определяется длиной волны и шириной спектра излучения и равна

L_K = λ²/ ∆λ, (I7)

где ∆λ - ширина спектрального интервала в длинах волн, в пределах которого интенсивность излучения отлична от нуля.

Максимальное значение промежутка времени, при котором когерентность ещё сохраняется, называется временем когерентности излучения (t_k).

Длина и время когерентности связаны следующим соотношением: L _K = t _K V,     (18) где V - скорость света.

 

Опыт Юнга

В опыте Юнга (рис. 1.54) свет из точечного источника (малое отверстие S) проходит через два равноудаленных отверстия ai и Л₂, являющихся как бы двумя когерентными источниками. Интерференционная,картина наблюдается на экране Е, расположенном на некотором расстоянии параллельно A_tA_z. Усиление и ослабление света в произвольной точке М экрана зависят от разности хода лучей I₂-I₁.

 

Зеркала Френеля представляют собой два плоских зеркала, располо­женных под углом, близ­ким к 180° друг к другу ¹ (рис. 1.55). Источник S ис­пускает свет, отражаю­щийся от обоих зеркал и попадающий на экран Е, защищенный от прямого попадания кожухом К.

 

По законам отражения от плоского зеркала (см. § 7) лучи, отраженные от первого зеркала, как бы исходят из мнимого источника S_lt рас­положенного симметрично исходному источнику S. Аналогично, лучи, отраженные от второго зеркала, можно рассматривать исхо­дящими из мнимого источника S₂, являющегося изображением источника S во втором зеркале. Мнимые источники Sj и S_z вза­имно когерентны, и исходя­щие из них пучки лучей пере­секаются и интерферируют в области, заштрихованной на рис. 1.55. Интерференцион­ная картина наблюдается на экране Е, помещенном в эту область, и зависит от разно­сти хода лучей I₂-I₁. до произвольных точек экрана.