Множество действительных чисел

 

В процессе счета сначала возникает так называемый натуральный ряд чисел  Множество этих чисел называется множеством натуральных чисел и обозначается ={ }. Далее в арифметике вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в результате вычитания или деления не всегда получаются натуральные числа, и возникает необходимость расширить класс рассматриваемых чисел.

Вводятся число 0 и отрицательные числа - 1, - 2, …,- n, … Натуральные числа, число 0 и указанные отрицательные числа образуют множество целых чисел . Очевидно, что множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел, то есть .

При делении целых чисел появляются рациональные числа вида , где  и  - целые числа, причем . Множество рациональных чисел обозначают буквой . Его можно записать в виде . Рациональное число , вообще говоря, можно записать не единственным образом. Например,  Чтобы избежать этой неопределенности говорят, что рациональное число - это несократимая обыкновенная дробь. При этом предполагают, что если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь следует сократить. Заметим также, что целые числа также представимы в виде , если положить . Следовательно, .

В процессе измерения геометрических величин выяснилось, что длина отрезка не всегда может быть задана рациональным числом. Таким примером может служить длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1. Как следует из теоремы Пифагора, длина гипотенузы в данном треугольнике равна . Предположим, что  - рациональное число, то есть может быть представлено в виде . Причем  и  не имеют общих множителей. После возведения в квадрат равенства  получим  или

 

. (1)

 

Последнее равенство означает, что  - четное число. Тогда также является четным и может быть записано в виде . Подставляя  в (1) получим . Отсюда следует, что  - тоже четное число. Но в этом случае  и  имеют общий множитель, равный двум, а мы предположили, что  - несократимая дробь. Следовательно, наше предположение оказалось неверным, и  не является рациональным числом. Итак, извлечение корня, вычисление логарифмов, значений тригонометрических функций и прочие операции привели к появлению иррациональных чисел. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел обозначают . Очевидно, справедливо соотношение .

Любое вещественное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью. При этом рациональные числа можно представить в виде:

)   бесконечной десятичной периодической дроби, то есть дроби, у которой, начиная с некоторого знака, одна или несколько последующих цифр периодически повторяются, например,  (эти повторяющиеся цифры записывают в круглых скобках).

)   либо в виде конечной десятичной дроби. Отметим также, что рациональные числа, имеющие вид конечной десятичной дроби , допускают двоякое представление в виде бесконечной десятичной дроби. Во-первых, такую дробь можно считать бесконечной, у которой все знаки с номерами большими  равны нулю, то есть представить ее в виде . Так  можно записать как 0,5000…=0,5 (0), а 1= 1.000. =1. (0). Или такую конечную десятичную дробь  можно записать в виде

 

.

 

И тогда  а 1 = 1.000. =1. (0) =0,999…=0, (9).

Далее мы всегда будем использовать вторую форму записи.

Иррациональные числа всегда представляются бесконечной десятичной непериодической дробью.

Очевидно, что имеет место следующее включение множеств .

 

Числовые последовательности

 

Определение. Если каждому натуральному числу  ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то совокупность занумерованных чисел  называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа  называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами  обозначают также { }.

Например,  - это последовательность ,

 - это последовательность 0, 2, 0, 2, …

Последовательность может быть задана с помощью формулы , которая называется формулой общего члена последовательности. Например, формула  задает последовательность

Суммой (разностью) двух последовательностей  и  называется последовательность , все элементы которой равны сумме (разности)  ().

Произведением двух последовательностей  и  называется последовательность = , частным - последовательность = , причем при определении частного нужно потребовать, чтобы все элементы последовательности  были отличны от нуля.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность  называется ограниченной сверху (снизу), если найдется такое вещественное число , что для всех членов последовательности справедливо неравенство  ().

Последовательность  называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если найдутся такие вещественные числа  и , что для всех членов последовательности справедливо неравенство .

Это определение можно сформулировать по другому:

Последовательность  называется ограниченной, если найдется положительное число  такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство . (Здесь ).

Последовательность  называется неограниченной, если для любого положительного числа  найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Примеры.1. = - ограниченная последовательность, так как .

. = - ограниченная последовательность, так как .

.  - неограниченная последовательность { }, так как для любого положительного числа  найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  найдется номер , зависящий от , такой, что для всех номеров  справедливо неравенство .

Пример. Последовательность , то есть последовательность натуральных чисел { } является бесконечно большой, так как для любого положительного числа  найдется номер , такой, что для всех номеров  справедливо неравенство .

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Действительно, для того, чтобы последовательность была неограниченной необходимо, чтобы для любого положительного числа  неравенство  выполнялось, хотя бы для одного элемента последовательности, но из определения бесконечно большой последовательности следует, что такими элементами являются все элементы последовательности, начиная с некоторого номера .

Обратное утверждение неверно, то есть неограниченная последовательность не всегда является бесконечно большой.

Пример. Рассмотрим последовательность 0, 2, 0, 4, …, у которой все члены с нечетными номерами равны нулю, а члены с четными номерами  равны . Поскольку для любого положительного числа  найдется натуральное число , то для четных номеров больших  справедливо неравенство . Следовательно, данная последовательность является неограниченной. Однако она не является бесконечно большой, так как, какой бы большой номер  мы не взяли, имеются члены с нечетными номерами , равные нулю, для которых неравенство  не имеет места.

Определение. Последовательность  называется бесконечно малой, если для любого положительного числа  найдется номер , зависящий от , такой, что при все элементы  этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Пример. Показать, что последовательность  является бесконечно малой.

Пусть  - произвольное положительное число. Тогда  при всех , то есть за номер  можно принять натуральное число , где  - целая часть числа . Поскольку для произвольного числа  мы смогли определить номер  такой, что при всех  справедливо неравенство , то последовательность  - бесконечно малая.

Пример. Показать, что последовательность  является бесконечно большой, если , и бесконечно малой, если .

)   Пусть . Возьмем произвольное положительное число . Тогда , при всех . Возьмем . Тогда для всех  справедлива цепочка неравенств . Следовательно, последовательность  является бесконечно большой.

)   Если , то для любого положительного числа  и любого номера  выполняется неравенство , и последовательность  - бесконечно малая. Рассмотрим случай . В этом случае , при всех . Возьмем . Тогда при всех . Следовательно, если , то последовательность  является бесконечно малой.

Предел числовой последовательности. Сходящиеся последовательности

Определение 1. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  найдется такой номер , зависящий от , что при  все элементы  этой последовательности удовлетворяют неравенству

 

. (1)

 

Символически это записывают так

, или  при .

Неравенство (1) означает, что, начиная с номера , все элементы последовательности находятся внутри интервала , который называют -окрестностью числа .

Согласно данному определению бесконечно малая последовательность  имеет своим пределом нуль, то есть .

Если последовательность  является бесконечно большой, то пишут . В случае бесконечно большой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого номера положительны, говорят, что ее предел равен  и пишут . Если же все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера отрицательны, то ее предел считают равным  и пишут .

Определение 2. Число  называется пределом последовательности , если в любой -окрестности числа  находятся все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера.

Последнее утверждение означает, что, если число  - предел последовательности, то за пределами любой его -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности.

Определение. Последовательность  называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Если предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.

Из определения 2 следует, что последовательность расходится, если для любого числа  найдется его -окрестность, за пределами которой лежит бесконечное число элементов последовательности.

Пример 1. Рассмотрим последовательность . Покажем, что .

Пусть  - произвольное положительное число. Тогда неравенство  выполняется при всех , то есть за номер  можно принять натуральное число , где  - целая часть числа . Поскольку для произвольного числа  мы смогли определить номер  такой, что при всех  справедливо неравенство , то последовательность  сходится, а ее предел равен единице, то есть .

Пример 2. Последовательность  расходится.

Действительно, данная последовательность - это последовательность 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, … Пусть . Если, число  принадлежит интервалу , то в -окрестность этого числа попадут лишь члены последовательности, равные нулю, а бесконечное число членов, равных 1 или - 1, окажутся за пределами -окрестности. Если число  принадлежит интервалу (0,9; 1,1) или (-1,1; - 0,9), то за пределами -окрестности заведомо окажутся все нулевые члены последовательности. При всех остальных значениях числа  в его -окрестность не попадет ни одного члена последовательности. Итак какое бы число мы не взяли, для заданного найдется бесконечное число элементов последовательности, не принадлежащих -окрестности числа . Следовательно, рассматриваемая последовательность расходится.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. ( Методом от противного). Предположим, что последовательность  сходится и имеет два разных предела, то есть  и , причем . Возьмем -окрестность числа а, которая не содержит b. Так как а - предел последовательности , то по определению 2 за пределами -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности и, следовательно, число b не может быть ее пределом.

Теорема 2. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то и предел такой последовательности также равен числу , то есть, если , то и .

Доказательство. Рассмотрим последовательность . Покажем, что , то есть предел последовательности равен константе . Рассмотрим любую -окрестность числа С. Все члены последовательности попадут в эту окрестность, а за ее пределами не окажется ни одного члена последовательности. Согласно определению 2 это и означает, что число С есть предел данной последовательности.

Теорема 3. Сумма, разность, произведение и частное двух сходящихся последовательностей  и  (частное при условии, что предел  отличен от нуля) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов последовательностей  и , то есть, если

 

, , то

)   ;

)   ;

)   , .

Доказательство. Докажем свойство 1) для суммы двух сходящихся последовательностей, то есть докажем, что . Возьмем любое положительное число . Поскольку , то для положительного числа  существует номер  такой, что при всех  выполняется неравенство . Аналогично, так как  то для положительного числа  существует номер  такой, что при всех  выполняется неравенство . Обозначим . Тогда при всех  справедливо

 

.

 

Это и означает, что , что и требовалось доказать.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

, где .

Теорема 4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

То есть, если , а последовательность { } - ограниченная, то .

Доказательство. Пусть { } - бесконечно малая, а { } - ограниченная последовательности. Требуется доказать, что последовательность  - бесконечно малая последовательность. Так как { } - ограниченная, то существует положительное число  такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство . Возьмем любое положительное число . Поскольку { } - бесконечно малая, то для положительного числа  существует номер  такой, что при всех  выполняется неравенство . Тогда при всех  справедливо

 

.

 

Это означает, что последовательность  - бесконечно малая.

Пример. Последовательность  - бесконечно малая как произведение ограниченной последовательности  и бесконечно малой . Следовательно, .

Теорема 6. Если последовательность { } - бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности  не равны нулю, то последовательность  - бесконечно большая.

(Без доказательства).

Теорема 7 (о трех последовательностях). Пусть последовательности  и  сходятся и имеют общий предел , то есть . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности  удовлетворяют неравенствам . Тогда последовательность  также сходится и имеет предел , то есть .

Предельные точки последовательности

Определение. Точка  бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .

Предельные точки называют также частичными пределами последовательности.

Пример. Найти все предельные точки последовательности .

Данная последовательность - это последовательность , 3, , 3, …

По определению последовательность  имеет две предельные точки: 1/3 и 3. Покажем, что других предельных точек у данной последовательности нет. Пусть  - произвольная точка числовой оси, отличная от 1/3 и 3. Выберем число  достаточно малым для того, чтобы -окрестности точек , 1/3 и 3 не пересекались. Тогда все элементы последовательности находятся в -окрестности точек, 1/3 и 3, а в -окрестности точки  нет ни одного элемента. Согласно определению точка  не является предельной точкой.

Определение. Наибольшая предельная точка (наибольший частичный предел) последовательности называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом . Наименьшая предельная точка (наименьший частичный предел) последовательности называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом .

Функция

 

Понятие функции

 

Определение. Если каждому значению переменной  из некоторого множества  ставится в соответствие по известному закону единственное число , то говорят, что на множестве  задана функция  или .

При этом  называется аргументом функции, множество  - областью задания функции . Число , которое соответствует данному значению аргумента , называется частным значением функции в точке . Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество , называемое множеством значений функции.

Функция  называется четной (нечетной), если для любого  из области определения функции справедливо равенство  ().

Функция  называется периодической, если существует такое число , что для любого  из области определения функции справедливо равенство . Наименьшее из чисел  называют периодом функции.

Функции могут задаваться, например, при помощи формул. Такой способ называется аналитическим. В этом случае используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций и алгебраические действия.

Например, , ,  и т.д. Иногда на разных участках своей области задания функции задаются разными формулами. Например, функция , которая принимает значение, равное 1 при , 0 при , - 1 при  может быть записана следующим образом

 

 

Название функции  произошло от латинского слова signum - знак. Областью задания этой функции является вся числовая прямая, а область значений состоит из трех чисел: 1, 0, - 1.

Функция может быть также задана с помощью описания соответствия. Например, поставим в соответствие вещественному числу  наибольшее целое не превосходящее . В результате получим функцию, определенную на всей числовой оси, и принимающей целочисленные значения. Эту функцию называют целой частью числа  и обозначают . Другим примером может служить функция Дирихле, принимающая значение, равное 1, если  - рациональное число и 0, если  - иррациональное число.

Еще один способ задания функции - это табличный способ. В этом случае для некоторых значений переменной  указывают соответствующие значения функции. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с <