Постановка задачи синтеза оптимальной топологической структуры АСДП

С учетом того, что основной задачей АСДП является автоматическая доставка продовольственных заказов до адресатов, при выполнении предъявляемых требований к показателям качества процессов доставки, в качестве исходных данных для решения задачи синтеза оптимальной топологической структуры системы используются следующие:

1. Характеристики расположения клиентов АСДП;

2. Требования, предъявляемые к показателям качества процессов доставки заказов;

3. Состав и основные характеристики аппаратно-программных средств, на базе которых могут быть реализованы  структуры АСДП;

4. Ограничения, накладываемые на выбор топологической структуры АСДП особенностями используемых алгоритмов управления процессом доставки и средств их реализации в АСДП.

Характеристики потоков поступающих заявок определяют структуру и объемы доставляемых заказов для каждого направления доставки.

К общим характеристикам предоставляемых АСДП услуг относятся условные классы пищевой продукции   k K^N. Они определяют деление поставляемого АСДП продовольствия на смысловые группы, предъявляющие различные требования к показателям качества и условиям доставки данной группы товаров (скоропортящиеся, требующие особых условий доставки и пр.)  до получателя. Это означает, что при проектировании АСДП все наименования предоставляемых продуктов предварительно объединяются в эти классы (скоропортящиеся, требующие рефрижератора при перевозке и пр.), каждой из которых присваивается своя категория срочности.

Категории срочности q Q^N, определяющие требования к вероятностно-временным характеристикам доставки заказа клиенту; масса и объём заказов, выражаемые в СИ.

Таким образом, каждый заказ, поступивший в момент t и доставляемый между двумя узлами а _i и a_j, (ЦС-ПС, ПС-адресат и пр.) может быть описано вектором (а _i, a_j, k, q, l, t), k K^N, q Q^N, l L^N, t Т ^N, где Т ^N - некоторый интервал, на котором исследуется поведение АСДП.

В качестве частных характеристик потока заказов, обрабатываемых АСДП, могут быть использованы функции распределения интервалов между моментами поступления заявок, объёма и массы заказов с детализацией по категориям срочности, условных вероятностей появления заказа, содержащего товары определённой категории срочности и объёма  и т.д.

На основании этих параметров могут быть определены результирующая интенсивность поступления заявок на доставку и параметр распределения их объёма:

, .                                      (4.6)

Совокупность параметров λ _ij задает матрицу тяготений ||Λ|| [3, 1].

Характеристики расположения адресов доставки заказов в АСДП задаются матрицей расстояний || L ||, элементы l_ij которой представляют собой расстояния между пунктами а _i и a_j, а _i А, a_j А, где А - множество клиентов АСДП. При этом следует учитывать, что в общем случае расстояния l_ij не являются геометрическим расстоянием между абонентами, т. е. для элементов матрицы || L || может не соблюдаться неравенство треугольников. Это связано с тем, что АСДП строится на базе существующих реальных построек в пределах города (складские помещения), поэтому расстояние доставки в этом случае определяется заданным месторасположением ближайших зданий, оборудованных под ПС (ЦС). Элементами матрицы || L || могут выступать так же параметры, задающие фактическое расстояние каждого конкретного клиента АСДП до ближайшего КС (ЦС). Поэтому матрицу || L || будем называть матрицей модифицированных расстояний.

При синтезе топологической структуры системы, требования к показателям качества процессов доставки заказа в АСДП задаются в виде совокупности вероятностно-временных характеристик, к которым относятся:

1. Среднее время доставки заказа с детализацией по категориям срочности Т(q);

2. Допустимое время доставки заказа с детализацией по категориям срочности и вероятность того, что время доставки заказа превысит допустимое, обозначаемые как Т(q) и Pr{t > Т(q)} соответственно;

3. Вероятность неприема заказа (отсутствие получателя на месте, ошибка системы) с детализацией по категориям срочности P(q);

4. Вероятность потери заказа при доставке (в случае поломки транспорта, аварии, нарушений условий перевозки и пр.), с детализацией по категориям срочности Р _пот(q).

Обеспечение выполнения требований, предъявляемых к Т(q), Pr{t > Т(q)}, P(q) при фиксированной топологической структуре АСДП и в условиях безотказной работы всех ее элементов, осуществляется за счет выбора соответствующей производительности в работе ПС и службы доставки заказа.

Значение вероятности потери заказа определяется ненадежностью средств доставки или недостаточной производительностью ПС. В системах с иерархической топологической структурой выполнение заданного требования может быть достигнуто за счет резервирования основных функциональных элементов. На практике это означает, что для существенного повышения уровня надёжности АСДП, необходимо внести в расчёт резервный транспорт, на случай поломок, дизель генераторы в складских помещениях, на случай отключения электроэнергии и пр.

АСДП является системой с распределенной топологической структурой, поэтому выполнение заданного требования к Р _пот(q) может быть обеспечено за счет использования динамических методов управления распределением выполнения заказов в АСДП, так как в данном случае между ЦС и клиентом системы существует несколько путей (ЦС-КС-клиент), по каждому из которых может осуществляться передача заказа. Этот системный аспект следует отметить, поскольку в случае серьёзного сбоя или выхода из строя одного из ПС на продолжительный промежуток времени, процесс доставки заказов клиентам вышедшего из строя ПС не должен прекращаться. Задачи вышедшего из строя ПС должны быть решены за счёт привлечения ресурсов соседних складов.

Состав и основные характеристики средств, необходимых для построения АСДП, определяются уровнем реально существующей аппаратуры и технологий, используемых в качестве элементной базы АСДП. Сюда входят характеристики задействованного в процессе доставки товара автопарка, а так же спецификации аппаратуры и технологий, обеспечивающих функционирование ПС (ЦС). Подобных характеристик может быть достаточно много, поэтому при проектировании каждой конкретной АСДП, необходимо сконцентрироваться на критических для данной конкретной системы технических аспектах, в соответствии с её индивидуальными особенностями. 

Выделим лишь обязательное условие для ПС и ЦС по объёму складских помещений оборудованных морозильными установками. Их размеры должны быть выбраны в соответствии с ожидаемым объёмом реализуемого через систему продовольствия. При проектировании КС (ЦС), следует предусмотреть запас вместительности для складов на случай неконтролируемого роста оборота продукции внутри АСДП, однако не стоит забывать, избыточные площади, повлекут за собой не обоснованные материальные траты.

В настоящее время накоплен достаточный опыт в построении и использовании методов, применяемых на каждом этапе реализации АСДП. В данном случае новизну имеет сама идея, методы же и средства её воплощения доступны и способны обеспечить достаточно высокий уровень точности при расчёте и проектировании АСДП.

В некотором роде, средства и технологии реализации АСПД, можно рассматривать, как совокупность ограничений, которые должны учитываться в процессе проектирования АСДП. При решении задачи синтеза оптимальных топологических структур АСДП трудно учесть имеющееся многообразие методов управления и их конкретных реализаций, поэтому на этом этапе предполагается, что управление информационными потоками является статическим. Такое допущение приводит к существенному упрощению задачи синтеза и позволяет получить предельные значения показателей эффективности процессов функционирования АСДП, что является допустимым на этапе синтеза оптимальных топологических структур функционирования системы.

Показатель надёжности для узловых складов (ПС) в АСДП. При решении задачи синтеза АСДП необходимо учесть возможные отказы и сбои в работе складов (ПС, ЦС). Отсутствие внимания к этому показателю делает определение показателя структурной надежности АСДП принципиально невозможным.

Сформировать оптимальный алгоритм решения данной задачи будет возможно лишь после периода эксплуатации системы в реальных условиях. Поэтому на данном этапе наиболее целесообразным видится решение, позаимствованное из опыта эксплуатации цифровых сетей передачи данных.

Это решение основано на том, что для распределенных сетей, требования, предъявляемые к показателям надежности, практически всегда выполняются, если существует два или более независимых путей передачи данных. Подобное решение выглядит вполне логически обоснованным и, в случае с АСДП, может быть сформулировано следующим образом:

При решении задачи синтеза оптимальных топологических структур АСДП вместо требования к показателям надежности узловых складов  используется ограничение на минимальное число независимых путей ν ^А, пролегающих через ПС, и способных осуществить скорейшую доставку заказа от центрального склада к адресату. Т.е. надёжность системы измеряется количеством вариантов следования товара до клиента через склады, обеспечивающие уровень оперативности, схожий по своему значению со штатным уровнем функционирования АСДП.

При решении задачи доставки заказа в АСДП необходимо ввести ограничение на число транзитных промежуточных складов на пути доставки заказа с центрального склада клиенту.

Необходимо стремиться к тому, чтобы количество транзитных складов, на которых будет храниться товар, на пути своего следования от центрального склада до клиента, стремилось к одному и не превышало двух-трех.

Категория срочности заказа. Для обеспечения надлежащего уровня качества оставляемых доставок продовольствия, в надлежащих для каждого конкретного продукта условиях, необходимо понятие категории срочности заказов. Кроме того, введение этого понятия продиктовано спецификой поставляемой продукции, поскольку разные виды продуктов значительно различаются по максимально допустимому времени доставки.

Напомним, что категория срочности вычисляется исходя из массы (габаритов) и класса срочности, установленного для каждого продукта, входящего в состав заказа. Для наглядности снова приведём практический пример: заказ, включающий в себя 1,5 кг форели и два йогурта, будет иметь более высокий приоритет, чем заказа на 1 кг картошки и 2 эскимо, несмотря на то, что приоритет мороженого выше приоритета рыбной продукции. Это следует из тех соображений, что масса заказанной форели значительно превосходит массу заказанного эскимо.

Учет в исходных данных введенных категорий срочности заказов также существенным образом усложняет задачу синтеза оптимальных топологических структур для АСДП. Это продиктовано тем, что при этом возникнет необходимость разработать значительное количество сложных моделей для процесса доставки заказов, содержащих различные комбинации наименований продуктов питания, произвольных классов срочности.

В связи с этим в качестве исходных данных используются параметры, усредненные по категориям срочности. Такое допущение приводит к существенному снижению математических трудностей в описании процессов функционирования АСДП и существенно снижают количество необходимых к прохождению циклов моделирования.

При этом подобное «усреднение» заказов при моделировании практически не должно сказывается на результатах решения задачи синтеза, что является следствием закона «сохранения» [3].

При решении задачи синтеза оптимальных топологических структур АСДП необходимо выбрать критерий, по которому оценивается эффективность сравниваемых вариантов топологических структур. В качестве такого критерия при решении задачи синтеза сети логичнее всего будет считать показатели, связанные с оценкой затрат на выполнение АСДП своей основной целевой функции. Использование в качестве критерия показателей стоимости или технико-экономических показателей объясняется тем, что большие системы, к которым относятся и АСДП, в настоящее время невозможно проектировать и создавать, не учитывая материальные затраты.

Пусть X^N - множество входных переменных, описывающих АСДП; Е ^N - множество значений критерия оценки эффективности различных вариантов топологических структур; Р ^N - выходная функция или модель АСДП: Y^N - множество выходных переменных; G^N - функция оценки качества вариантов топологических структур, где Р ^N: X^N → Y^N: G^N: X^N × Y^N → Е ^N.

Тогда задача оптимизации структуры АСДП ставится так. В подмножестве допустимых решений X ^Д X^N найти такое X ^Д, чтобы для всех X ^Д

;

.                                 (4.7)

 

Множество X^N включает в себя исходные данные решаемой задачи синтеза, множество допустимых решений X ^Д, т. е. данные, соответствующие вариантам топологических структур АСДП, удовлетворяющих предъявляемым требованиям и ограничениям. Множество выходных переменных Y^N определяется как множество показателей качества процессов, задействованных в доставке заказов через АСДП. Варьируемыми параметрами решаемой задачи синтеза являются параметры, описывающие структуру АСДП. Например, число и расположение промежуточных складов (ПС), а также характеристики используемых аппаратных, программных и технологических средств. Данную характеристику выбирают таким образом, чтобы при заданных параметрах заказа и выбранном способе доставки и получения товара, в заданных алгоритмах управления были выполнены требования, предъявляемые к показателям качества процессов доставки заказа.

Элемент X ^Д, удовлетворяющий условию (4.1), называется решением задачи синтеза, задаваемой тройкой (Р ^N, G^N, X ^Д) [4]. Трудность нахождения (Р ^N, G^N, X ^Д) определяет сложность решаемой задачи, что, как уже отмечалось, связано с необходимостью учета значительного количества факторов, влияющих на процессы функционирования АСДП, и со стохастической природой указанных процессов.

Определим исходные данные задачи синтеза оптимальных топологических структур условных частей АСДП, отвечающих за обработку заказа и доставку продуктов. Сложность задачи выбора оптимальной топологической структуры АСДП исключает возможность ее решения на основе единой модели, в которой, на базе сложных математических зависимостей, описывается взаимосвязь всех рассматриваемых параметров и переменных сети. Поэтому предлагаемая методика решения поставленной задачи предполагает комбинацию аналитических методов и методов имитационного моделирования, с учётом смежного опыта построения сетей интегрального обслуживания. Использование аналитических методов связано с введением ряда допущений и, первую очередь, отсутствием примеров функционирующих АСДП в наши дни.

Реальные потоки заявок на заказы, которые в общем случае являются многопараметрическими, описываются однопараметрическими распределениями интервалов времени между моментами поступления заявок и длин этих сообщений. Вводится предположение об экспоненциальном характере этих распределений. Считается, что параметры функций распределения массы и объёма для всех заказов одинаковы, и вводится предположение о независимости моментов поступления заявок на заказы и их габаритов. При постоянных скоростях доставки заказа через ПС, время, необходимое для доставки заказа получателю распределены согласно экспоненциальному закону.

Введение таких допущений позволяет, с одной стороны, получить простые математические модели процессов функционирования АСДП, с другой стороны, введенные допущения с достаточной степенью точности описывают реальные процессы функционирования системы.

Предлагаемая методика решения задачи синтеза оптимальной структуры АСДП включает в себя:

1. Выбор места расположения локальных промежуточных складов (ЛПС). Т.е. промежуточный склад, ближайший для клиентов, проживающих в этом районе, будет считаться за ЛПС для этих клиентов;

2. Синтез топологических структур служб АСДП, отвечающих за взаимодействие с пользователем и оформление заявки на заказ. Условно объединим их в группу клиентских  сетей (КС);

3. Синтез топологической структуры служб, обеспечивающих доставку заказа в АСДП. Условно выделим их в группу сетей доставки (СД).

Отметим, что ЛПС относится к клиентским системам, поскольку он не задействован в фактическом процессе перемещения заказа до следующего ключевого пункта, а лишь является распределительным узлом, обслуживающим клиентов, расположенных поблизости.

Считая заданными места расположения ЛПС, определим исходные данные. Для этого определяются клиенты, обслуживаемые каждым ЛПС исходя из следующего условия:

Если число ЛПС равно М, то при этом все клиенты АСДП разбиваются на М непересекающихся групп, в каждой из которых число абонентов равно n_i, i = . Причем,  где N_A - общее число клиентов, для ЛПС. Включая клиентов, расположенных с ЛПС по одному адресу, т.е. расстояние до которых равно нулю.

Создание распределенных структур на уровне клиентских сетей (КС), требует значительных затрат. Учитывая то, что затраты на развёртку КС составляют существенную часть от общих затрат на реализацию АСДП, оптимальный вариант структуры КС ищется в классе иерархических структур. Доставка заказа от центрального склада (ЦС) до клиента, осуществляется через соответствующие данному клиенту ЛПС и сеть доставки (СД). Структура СД ищется в классе распределенных многосвязных структур.

При таком представлении АСДП, путь доставки продовольствия выглядит следующим образом: из ЦС запрашиваемое количество продукции поступает в ЛПС, который распределяет её среди своей клиентской базы. Таким образом, путь следования заказа внутри АСДП можно условно разделить на два основных этапа.

Указанное разбиение приводит к необходимости определения требований к показателям качества процесса транспортировки и хранения, которые должны быть обеспечены в КС и СД. Без потери общности будем считать, что в виде среднего времени заданы T ₁ для АС и Т ₂ для МС. Напомним, что доставка заказа в АСДП осуществляется через ЛПС. Поэтому интенсивности потока заявок на предоставление услуг каждого конкретного ЛПС, потока доставляемых через него заказов, определяются следующим образом.

Интенсивность потока заказов, доставляемых k -му клиенту АСДП от обслуживающего его ЛПС, определяется выражением

,                 (4.8)

где i =  - множество ЛПС.

Таким образом, совокупность λ _k, где k n_i, i = , для каждого i -го ЛПС определяет матрицу интенсивностей потоков доставляемых заказов (матрицу тяготений) ||Λ _j ||, между клиентами и ЛПС для i -й ветки КС.

 

Напомним, что на пути следования заказа может быть более одного ПС, тогда каждый очередной ЛПС на пути следования заказа, будет относиться к предыдущему ПС, как к ЦС.

Поэтому представим общую формулу для определения интенсивности потока заказов  между ЦС (i -й ЛПС) и j -м ЛПС в СД следующим образом

.                   (4.9)

Совокупность элементов  определяет матрицу тяготения ||Λ _М || для СД. Нетрудно заметить, что

.                                   (4.10)

Аналогичным образом исходная матрица расстояний || L || преобразуется в матрицы || L_i || и || L_M || для i -й КС и СД, i = . При этом элементы матриц || L_i || задают расстояния только между узлами КС i -го района города, а элементы матрицы || L_M || задают расстояния между ЛПС и ЦС в СД. Например, если исходная матрица тяготении для АСДП с N_A = 9 имеет вид

 

|| ,

 

то решение данной задачи сводится к следующему.

Считаем, что М = 3 и ЛПС располагаются в пп. 1-3 а множества { n_i }, i = , имеют следующие элементы: { n ₁} = {4, 5}, { n ₂} = {6, 17}, { n ₃} = {8, 9}.

Структура фрагмента АСДП с радикальными КС и полностью связанной СД, представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.2 Структура фрагмента АСДП с радикальными КС и полностью связанной СД

 

Используя выражения (4.2) и (4.3), получаем следующие матрицы тяготений:

.

Исходная матрица расстояний || L || =[ l_ij ], i, j . Матрицы || L_i || и || L_M || имеют вид

; ;

 

; .

Полученные исходные данные для решения задач синтеза КС и СД дают возможность решать эти задачи независимо друг от друга. При этом для каждой выделенной подзадачи может быть введена своя нумерация узлов, облегчающая использование единых процедур синтеза. Нетрудно заметить, что размерность каждой из решаемых задач уменьшилась по сравнению с исходной. Следовательно, уменьшается число прорабатываемых вариантов. Однако это уменьшение может привести к потере оптимального варианта. Поэтому независимое решение указанных задач предполагает возможность организации их итеративного решения для других вариантов размещений ПС и разбиений множества клиентов сетей на отдельные регионы, обслуживаемые каждый своим ЛПС, до тех пор, пока не будет получено устойчивое решение. Реализация такой методики решения задачи требует значительно меньших затрат, чем решение задачи выбора оптимальной топологической структуры АСДП в общем виде, без логического разделения на КС и СД.

Между абонентом и ЛПС существует единственный путь. Таким образом, с точки зрения структурной надежности, КС характеризуется тем, что в ней имеются висячие вершины и для управления потоком доставляемых заказов. Для разработки КС может быть применен статический метод. Реализация этого метода в данном случае не отличается значительной сложностью. Структуры подобного типа имеют ограничения по надежности, поэтому КС следует строить с использованием двух-трех уровней.

Как уже отмечалось, существенная часть затрат на АСДП относится к реализации клиентских сетей, поэтому оптимальность этого уровня в основном обеспечивает оптимальность реализации АСДП, как системы.

При синтезе оптимальной структуры СД следует иметь в виду требования:

1.) Необходимо минимизировать затраты на развёртку КС. Это достигается устранением в структуре КС избыточных ПС;

2.) Необходимо учитывать, что нарушение связности СД нарушает функционирование АСДП в целом как единой системы.

В связи с этим СД должна содержать в своей структуре некоторую избыточность с тем, чтобы при выходе из строя ограниченного числа ПСв сохранялась возможность обмена между любым функционирующим ПС и ЦС по обходным путям.

Для обеспечения высокой структурной надежности СД оказывается достаточным потребовать, чтобы между любым функционирующим ПС и ЦС существовало не менее двух независимых путей доставки заказа. При этом можно понимать под независимыми путями пути, не содержащие общих транзитных ПС, а так же пути, не содержащие только общие транзитные ПС.

 В первом случае структура СД будет связной при удалении любого одного ЛПС и одного ПС, во втором - только при удалении любого ПС. Таким образом, структура СД характеризуется отсутствием висячих вершин, что достигается введением в ее состав от 30 до 50 % общего числа дуг полного графа [5].

Таким образом, сформулированная постановка задачи синтеза топологической структуры АСДП позволяет перейти к раздельному рассмотрению синтеза ее клиентской сети и сети доставки заказа. Предварительно необходимо решить вопросы идентификации возможных решений, т. е. провести анализ возможных вариантов построения топологической структуры системы.

      

4.3. Анализ вариантов построения топологической структуры АСДП

Для АСДП, имеющей пользователей О = { a_i }, i = , можно задать матрицу связности || H || = [ h_ij ], элемент которой

Граф, отображающий топологическую структуру АСДП, должен удовлетворять условиям, описываемым матрицей связности || Н ||, т. е. если h_ij = 1, то должна существовать по крайней мере одна цепь, соединяющая вершины а _i и a_j.

При построении топологической структуры АСДП условиям, накладываемым матрицей || Н ||, может соответствовать некоторое множество различных графов. Поэтому возникает задача отыскания графа, оптимального по некоторому критерию. В схожих, по принципам своей организации, системах, таким критерием чаще всего служит суммарная «длина» (в некоторой метрике) условных путей внутри системы (рёбер). Таким образом, предварительно нужно построить граф, отображающий топологическую структуру АСДП и имеющий минимальную суммарную длину ребер.

Условия, задаваемые матрицей связности, могут быть выполнены только в случае с АСДП, отображением топологической структуры которой является связный граф, а кратчайшую связующую сеть следует искать среди связных графов без циклов, называемых деревьями. Построение кратчайшей связывающей сети основано на принципиальных положениях, сформулированных Р. Примом в своей работе [6].

Фрагментом называется подмножество вершин, связанное прямыми ветвями, каждая из которых соединяет вершины этого подмножества. Изолированной вершиной называется вершина, которая на данном этапе построения сети еще не связана с другими вершинами (фрагментами). Аналогично определяется изолированный фрагмент. Ближайшим соседом вершины (фрагмента) является та, которая находится от данной на минимальном расстоянии.

Принципы построения кратчайшей связывающей сети, предложенные Р. Примом, таковы: всякая изолированная вершина сети соединяется с ближайшим соседом; всякий изолированный фрагмент соединяется с ближайшим соседом кратчайшей ветвью.

Разработано большое число эвристических алгоритмов, базирующихся на принципах Р. Прима и позволяющих построить кратчайшую связывающую сеть. При отсутствии дополнительных ограничений эти алгоритмы дают одинаковое решение. Рассмотрим один из этих алгоритмов, предложенный в работе [1].

Исходными данными для построения кратчайшей связывающей сети является матрица расстояний между вершинами || L || = [ l_ij ], где l_ij - расстояние между вершинами а _i и a_j. В матрице расстояний в каждой строке выделяются минимальные элементы, из числа которых в строках находится наименьший существующий элемент. Пусть таким элементом оказался l_ij = l_ji. Тогда первым ребром дерева минимальной длины будет ребро, соединяющее вершины а _i и a_j. В строках с номерами i и j отыскивается следующий минимальный элемент. Допустим, что им будет элемент l_ik в строке j. Вторым ребром дерева кратчайшей длины будет ребро, соединяющее вершины θ _j и a_k. Далее процедура повторяется для строк с номерами i, j и k. Таким образом, на каждом шаге построения дерева минимальной длины отыскивается ребро минимальной длины, соединяющее еще не соединенные вершины. Связное дерево минимальной длины содержит N - 1 ребро, где N - число вершин графа.

В работе [17] предложен алгоритм построения информационной сети, основывающийся на принципах Р. Прима и позволяющий построить сеть, оптимальную в смысле надежности. В качестве критерия надежности используются средние потери, вызванные отказами ПСв и части автопарка. Рассматривается построение системы доставки, обеспечивающей доставку заказов между центральным пунктом (ЦС) и всеми N остальными пунктами (ПС) с минимальными средними потерями. Авторы работы [17] несколько модифицировали определения Р. Прима, руководствуясь тем, что фрагмент должен обязательно включать в себя центральный узел, что отлично подходит для случая с АСДП. Исходными данными для построения сети, являются матрица связности || Н || и матрица [ q ' _ij ], i, j = , где q ' _ij - вероятность выхода из строя случайного ПС между вершинами а _i и a_j; q ' _ij - вероятность выхода из строя аппаратуры i -го ПС, играющего для исходного склада роль виртуального ЦС или реальным ЦС. Отказы различных элементов системы предполагаются независимыми событиями. Сеть строится в классе структур, обеспечивающих ЦС один вполне определенный путь к каждому из N ПС. В работе [17] доказано, что построение сети, обеспечивающей минимальные средние потери, в этих условиях сводится к построению структуры, в которой каждый ПС связан с ЦС кратчайшим путем (в смысле обеспечения минимума времени, необходимого на доставку и средних потерь заказов).

Построенную этим методом топологическую структуру АСДП  можно рассматривать как некоторую начальную сеть, которую в дальнейшем необходимо усовершенствовать тем или иным способом, например путем сбора статистических данных и последующего компьютерного моделирования.

При решении задачи синтеза топологической структуры АСДП предварительно также необходимо оценить влияние количества транзитных участков следования заказа на определение пропускных возможностей обслуживающего систему автопарка. Продовольствие, проходящее через АСДП в виде отдельных заказов (свежезамороженных продуктов, овощей, фруктов и пр.), в промежутках между передачами по СД хранятся в оборудованных складских помещениях (например, в рефрижераторных камерах, если того требуют условия доставки) транзитных ПС. Эти помещения должны обеспечивать надлежащие условия хранения для находящейся в них продукции, гарантируя им значительный запас допустимого времени хранения. Для определенности считаем, что используется способ получения заказа «доставка до двери».

Учитывая, что площадь вместимость складских помещений (СП) транзитных ПС обеспечивает достаточно малую вероятность отказа от обслуживания заказа, из-за переполнения СП, можно представить путь доставки заказа, состоящий из n транзитных участков, в виде n -фазной Q -схемы без блокировок [8].

Будем считать, что средние времена обработки заказа на каждом транзитном участке одинаковы и равны . Ставится задача анализа зависимости параметров  и С _n от изменения числа транзитных участков n и требований к показателям качества процессов доставки продовольствия, задаваемых для всего пути в целом, где С _n – производительность (пропускная способность) транзитных складов.

При введенных предположениях о характере функций распределения интервалов времени между поступлением некой заявки в АСУ и осуществлением ЛПС доставки соответствующего заказа клиенту, получаем следующую зависимость между средним временем передачи Т ⁰ и вероятностью Pr (t > T ^Д) при фиксировании T ^Д:

                     (4.11)

                        (4.12)

Зависимость Т ⁰ от T ^Д при различных значениях вероятности Pr (t > T ^Д) приведена на рис. 4.2. По выражениям (4.11) и (4.12) может быть определена как пропускная способность складов С, обеспечивающая выполнение предъявляемых к показателям качества процессов передачи продовольственных заказов требований, задаваемых в виде Т ⁰ либо Pr (t > T ^Д).

При наличии между рассматриваемой парой ЦС-клиент транзитных ПСв с учетом введенных предположений получаем, что интенсивность поступления заказов в каждый транзитный КС не зависит от числа транзитных участков, постоянна и равна λ (теорема Бурке [3]). Учитывая предположение о независимости, получаем, что времена передачи заказов по каждому ПС независимы и распределены по экспоненциальному закону с параметром μ С _n. Для каждого транзитного участка получаем, что

,                         (4.13)

 где .                         

 

Рис. 4.3 Функция распределения времени передачи по n транзитным участкам

Функция распределения времени передачи по n транзитным участкам определяется как композиция функций распределения, соответствующих каждому участку, и с учетом введенных допущений она выражается следующим образом [25]:

, T ^Д > 0,                      (4.14)

где ;

 — распределение Эрланга n - 1 порядка (или (n - 1)-фазное распределение Эрланга).

Таким образом, при заданном значении P (t > T ^Д) значение  определяется из уравнения (4.14). Зависимости P (t > T ^Д) при различных значениях n и отношения  представлены на рис. 4.4.

 

 

Рис 4.4 Зависимости P (t > T ^Д) при различных значениях n и отношения

Анализ полученных зависимостей показывает, что при фиксированных значениях T ^Д и Pr (t > T ^Д) с увеличением значения параметра n значение  уменьшается; следовательно, увеличивается пропускная способность транзитного ПС (ЛПС) С _n, которая сможет обеспечить выполнение заданного требования к показателям качества процессов доставки продовольственных заказов клиентской метасистеме.

Введем параметр относительного среднего рас