Обработка результатов неравноточных измерений

При обработки неравноточных измерений вводят новую характеристику точности измерения, называемую весом измерения. Вес измерения определяется формулой 3.1.

,                                    (3.1)

где k – произвольно выбранное число, но одно и то же для всех весов, участвующих в решении какой-либо задачи. Вследствие того, что точное значение дисперсии  никогда неизвестно, вес находят по формуле 3.2.

,                                   (3.2)

где средняя квадратическая погрешность т определена по достаточно большому количеству результатов измерений.

Пример 1: Найти вес превышения, полученного в результате геометрического нивелирования хода длиной L. Известно, что . Подставим это выражение для в формулу (3.2)  получим . Обозначим  буквой k и будем иметь: .

Таким образом, вес превышения по всему ходу геометрического нивелирования обратно пропорционален длине хода..

Если известны веса аргументов функции, то можно найти и вес самой функции. Для различных видов функций можно вывести формулы, по которым определяются веса этих функций. При k =1 вес р равен , откуда . Величину называют обратным весом.

1. Функция общего вида

2. Линейные функции  

так как =>

3.

4. ; здесь  поэтому

В случае равноточных измерений, при  будет   откуда .

Пример 1: Найти вес произведения 2β, если вес угла β = 1.

По формуле  имеем    откуда .

При оценке точности неравноточных измерений в качестве единицы меры дисперсией принимают дисперсию  измерения, вес которого равен единицы. Так как значение стандарта  неизвестно, то практически его заменяют средней квадратической погрешностью μ, соответствующей измерению с весами, равным единицы, и ряда краткости называют средней квадратической погрешностью единицы веса, которая определяется по формулам 3.3 и 3.4.

(3.3) или   (3.4)

Арифметическая средина может быть записана в виде 3.5

                            (3.5),

а с приближенными значениями эта формула имеет вид 3.6

(3.6),     где

Поправка:

Средняя квадратическая погрешность единицы веса через вероятнейшие поправки выражается по формуле 3.7

                       (3.7)

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины имеет вид 3.8

(3.8)  или   (3.9)

выражение 3.9 - выражение средней квадратической погрешности общей арифметической средины через вероятнейшие поправки

Контрольные вычисления

1)

2)

Определение средней квадратической погрешности единицы веса, если в разностях нет систематической погрешности, определяется по формуле 3.10.

                          (3.10)

В случае наличия систематических погрешностей последние предварительно исключают из разностей. Систематическая погрешность обозначается Θ (i =1,2,…,п). Величина Θ называется коэффициентом систематического влияния в разностях

двойных измерений или коэффициентом остаточного систематического влияния и определяется по формуле 3.11.

                                (3.11)

При расчете двойных линейных измерений, если в разностях нет систематических погрешностей, средняя квадратическая погрешность единицы веса может быть определена по формуле 3.12., если в разностях имеется систематическая погрешность, то средняя квадратическая погрешность единицы веса вычисляется по формуле 3.13

                     (3.12)             (3.13)

Приложение А

ЗАДАЧА 1

1-5.Стороны прямоугольника а и b измерены с точностью m_a и m_b. Найти среднюю квадратическую погрешность площади прямоугольника.

Параметры

Варианты 1 - 5

1 2 3 4 5 m_a 0,01 0,02 0,02 0,05 0,02 m_b 0,02 0,01 0,05 0,02 0,03 а 270,21 242,24 242,24 262,35 362,62 b 360,52 371,01 275,05 252,24 362,62

6-10.Стороны треугольника a, b измерялись с точностью m_a, m_b. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения площади прямоугольника.

Параметры	Варианты 6 - 10
	6	7	8	9	10
ma	0,02	0,02	0,01	0,05	0,05
mb	0,02	0,01	0,02	0,02	0,05
a	200,24	300,36	272,61	255,55	155,95
b	200,24	220,21	324,76	272,72	255,95

11-15.Определить среднюю квадратическую погрешность угла, измеренного двумя приемами, если средняя квадратическая погрешность одного полуприема m_β.

Параметры	Варианты 11 - 15
	11	12	13	14	15
mβ	5˝	15˝	2˝	1˝	30˝

16-20.Найти среднюю квадратическую погрешность суммы углов n-угольника, если углы измерялись с точностью.

Параметры	Варианты 16 - 20
	16	17	18	19	20
mβ	5˝	2˝	1˝	15˝	30˝
n	10	10	8	12	6

21-25.Стороны прямоугольника a и b измерялись со средними квадратическими погрешностями m_a и m_b. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения периметра прямоугольника

Параметры	Варианты 21 - 25
	21	22	23	24	25
ma	0,02	0,01	0,02	0,05	0,01
mb	0,01	0,02	0,05	0,02	0,05
a	342,64	532,91	721,22	645,45	378,59
b	621,71	624,24	236,5	232,68	365,95

26-30.Найти среднюю квадратическую погрешность вычисления площади круга, если диаметр круга d определялся с точностью m_d.

Параметры	Варианты 26 - 30
	26	27	28	29	30
md	0,01	0,02	0,05	0,02	0,01
d	241,53	362,42	271,45	362,62	251,49

Задача 2

Произвести обработку ряда равноточных измерений угла: 1) найти среднее арифметическое значение, 2) среднюю квадратическую погрешность одного измерения, 3) среднюю квадратическую погрешность арифметической средины (вероятнейшего значения).

№ изм	Варианты
	1	2	3	4	5	6	7
1	143˚43 ΄ 43˝	158˚24 ΄ 51˝	191˚32 ΄ 32˝	151˚24 ΄ 29˝	147˚18 ΄ 18˝	173˚18 ΄ 19˝	101˚10 ΄ 52˝
2	143˚43 ΄ 47˝	158˚24 ΄ 54˝	191˚32 ΄ 38˝	151˚24 ΄ 24˝	147˚18 ΄ 16˝	173˚18 ΄ 18˝	101˚10 ΄ 51˝
3	143˚43 ΄ 47˝	158˚24 ΄ 47˝	191˚32 ΄ 35˝	151˚24 ΄ 25˝	147˚18 ΄ 22˝	173˚18 ΄ 20˝	101˚10 ΄ 53˝
4	143˚43 ΄ 45˝	158˚24 ΄ 46˝	191˚32 ΄ 36˝	151˚24 ΄ 27˝	147˚18 ΄ 25˝	173˚18 ΄ 21˝	101˚10 ΄ 50˝
5	143˚43 ΄ 47˝	158˚24 ΄ 52˝	191˚32 ΄ 34˝	151˚24 ΄ 22˝	147˚18 ΄ 17˝	173˚18 ΄ 17˝	101˚10 ΄ 52˝
6	143˚43 ΄ 40˝	158˚24 ΄ 38˝	191˚32 ΄ 31˝	151˚24 ΄ 27˝	147˚18 ΄ 21˝	173˚18 ΄ 18˝	101˚10 ΄ 54˝
7	143˚43 ΄ 44˝	158˚24 ΄ 52˝	191˚32 ΄ 37˝	151˚24 ΄ 22˝	147˚18 ΄ 20˝	173˚18 ΄ 21˝	101˚10 ΄ 55˝
№ изм	Варианты
	8	9	10	11	12	13	14
1	202˚54 ΄ 31˝	247˚51 ΄ 29˝	143˚24 ΄ 01˝	123˚23 ΄ 13˝	122˚22 ΄ 22˝	164˚51 ΄ 08˝	172˚24 ΄ 24˝
2	202˚54 ΄ 51˝	247˚51 ΄ 28˝	143˚24 ΄ 02˝	123˚23 ΄ 14˝	122˚22 ΄ 20˝	164˚51 ΄ 12˝	172˚24 ΄ 29˝
3	202˚54 ΄ 53˝	247˚51 ΄ 30˝	143˚24 ΄ 03˝	123˚23 ΄ 15˝	122˚22 ΄ 18˝	164˚51 ΄ 13˝	172˚24 ΄ 23˝
4	202˚54 ΄ 50˝	247˚51 ΄ 31˝	143˚24 ΄ 05˝	123˚23 ΄ 12˝	122˚22 ΄ 23˝	164˚51 ΄ 16˝	172˚24 ΄ 21˝
5	202˚54 ΄ 52˝	247˚51 ΄ 27˝	143˚24 ΄ 04˝	123˚23 ΄ 10˝	122˚22 ΄ 21˝	164˚51 ΄ 10˝	172˚24 ΄ 25˝
6	202˚54 ΄ 54˝	247˚51 ΄ 32˝	143˚24 ΄ 01˝	123˚23 ΄ 12˝	122˚22 ΄ 20˝	164˚51 ΄ 08˝	172˚24 ΄ 24˝
7	202˚54 ΄ 55˝	247˚51 ΄ 30˝	143˚24 ΄ 02˝	123˚23 ΄ 13˝	122˚22 ΄ 23˝	164˚51 ΄ 12˝	172˚24 ΄ 24˝
№ изм	Варианты
	15	16	17	18	19	20	21
1	162˚31 ΄ 33˝	126˚51 ΄ 29˝	264˚24 ΄ 24˝	173˚43 ΄ 19˝	96˚32 ΄ 54˝	280˚22 ΄ 01˝	359˚01 ΄ 24˝
2	162˚31 ΄ 35˝	126˚51 ΄ 27˝	264˚24 ΄ 29˝	173˚43 ΄ 23˝	96˚32 ΄ 53˝	280˚22 ΄ 02˝	359˚01 ΄ 23˝
3	162˚31 ΄ 37˝	126˚51 ΄ 35˝	264˚24 ΄ 25˝	173˚43 ΄ 41˝	96˚32 ΄ 52˝	280˚22 ΄ 03˝	359˚01 ΄ 25˝
4	162˚31 ΄ 37˝	126˚51 ΄ 33˝	264˚24 ΄ 28˝	173˚43 ΄ 25˝	96˚32 ΄ 51˝	280˚22 ΄ 00˝	359˚01 ΄ 24˝
5	162˚31 ΄ 39˝	126˚51 ΄ 31˝	264˚24 ΄ 27˝	173˚43 ΄ 32˝	96˚32 ΄ 50˝	280˚22 ΄ 04˝	359˚01 ΄ 26˝
6	162˚31 ΄ 33˝	126˚51 ΄ 33˝	264˚24 ΄ 24˝	173˚43 ΄ 23˝	96˚32 ΄ 53˝	280˚22 ΄ 05˝	359˚01 ΄ 22˝
7	162˚31 ΄ 31˝	126˚51 ΄ 35˝	264˚24 ΄ 25˝	173˚43 ΄ 33˝	96˚32 ΄ 56˝	280˚22 ΄ 02˝	359˚01 ΄ 28˝
№ изм	Варианты
	22	23	24	25	26	27	28
1	300˚15 ΄ 05˝	280˚20 ΄ 10˝	160˚05 ΄ 20˝	52˚37 ΄ 41˝	41˚21 ΄ 54˝	89˚32 ΄ 59˝	273˚53 ΄ 03˝
2	300˚15 ΄ 06˝	280˚20 ΄ 11˝	160˚05 ΄ 21˝	52˚37 ΄ 39˝	41˚21 ΄ 53˝	89˚32 ΄ 58˝	273˚53 ΄ 08˝
3	300˚15 ΄ 04˝	280˚20 ΄ 12˝	160˚05 ΄ 23˝	52˚37 ΄ 40˝	41˚21 ΄ 52˝	89˚32 ΄ 53˝	273˚53 ΄ 07˝
4	300˚15 ΄ 08˝	280˚20 ΄ 09˝	160˚05 ΄ 20˝	52˚37 ΄ 38˝	41˚21 ΄ 51˝	89˚32 ΄ 55˝	273˚53 ΄ 11˝
5	300˚15 ΄ 09˝	280˚20 ΄ 08˝	160˚05 ΄ 19˝	52˚37 ΄ 36˝	41˚21 ΄ 48˝	89˚32 ΄ 52˝	273˚53 ΄ 12˝
6	300˚15 ΄ 04˝	280˚20 ΄ 05˝	160˚05 ΄ 17˝	52˚37 ΄ 34˝	41˚21 ΄ 45˝	89˚32 ΄ 59˝	273˚53 ΄ 09˝
7	300˚15 ΄ 02˝	280˚20 ΄ 02˝	160˚05 ΄ 15˝	52˚37 ΄ 32˝	41˚21 ΄ 42˝	89˚32 ΄ 58˝	273˚53 ΄ 10˝
№ изм	Варианты
	29	30	31	32	33	34	35
1	234˚56 ΄ 55˝	281˚45 ΄ 34˝	95˚00 ΄ 34˝	109˚56 ΄ 34˝	342˚50 ΄ 37˝	36˚55 ΄ 05˝	252˚37 ΄ 41˝
2	234˚56 ΄ 54˝	281˚45 ΄ 34˝	95˚00 ΄ 39˝	109˚56 ΄ 39˝	342˚50 ΄ 36˝	36˚55 ΄ 06˝	252˚37 ΄ 39˝
3	234˚56 ΄ 49˝	281˚45 ΄ 34˝	95˚00 ΄ 40˝	109˚56 ΄ 40˝	342˚50 ΄ 35˝	36˚55 ΄ 04˝	252˚37 ΄ 40˝
4	234˚56 ΄ 52˝	281˚45 ΄ 32˝	95˚00 ΄ 45˝	109˚56 ΄ 45˝	342˚50 ΄ 34˝	36˚55 ΄ 08˝	252˚37 ΄ 39˝
5	234˚56 ΄ 51˝	281˚45 ΄ 31˝	95˚00 ΄ 44˝	109˚56 ΄ 44˝	342˚50 ΄ 33˝	36˚55 ΄ 09˝	252˚37 ΄ 36˝
6	234˚56 ΄ 50˝	281˚45 ΄ 33˝	95˚00 ΄ 43˝	109˚56 ΄ 43˝	342˚50 ΄ 32˝	36˚55 ΄ 04˝	252˚37 ΄ 34˝
7	234˚56 ΄ 48˝	281˚45 ΄ 30˝	95˚00 ΄ 37˝	109˚56 ΄ 37˝	342˚50 ΄ 33˝	36˚55 ΄ 02˝	252˚37 ΄ 31˝

Задача 3