Частотный подход к вероятности и ее законам

1.1. С самой общей, философской точки зрения вероятность связана и опирается на категорию возможности. Поэтому ее нередко определяют  как количественную меру возможности появления случайного события. Речь в данном случае идет о случайных событиях потому, что необходимые события неизбежно происходят в силу существующей закономерности, но чисто формально можно было не делать такой спецификации, поскольку необходимость можно рассматривать как практическую достоверность. Очевидно, что подобная общая мера может быть установлена прежде всего для повторяющихся, массовых, а не индивидуальных событий, независимо от того выражается ли она в метрических терминах (т.е. выражена с помощью числа) или же сравнительных терминах (т.е. выражена с помощью отношений: “больше”, “меньше” или “равно”). По сути дела, такой взгляд на вероятность высказывал еще Аристотель, хотя сама теория вероятности возникла из анализа азартных игр и опиралась на иное истолкование вероятности как отношения благоприятствующих шансов к числу всех равновозможных. Оказалось, однако, что такой подход был весьма ограниченным, поскольку опирался на существование равновозможных альтернатив или шансов. Но в реальном мире лишь небольшая часть шансов являются равновозможными, а в азартных играх правила построены так, чтобы с самого начала постулировать равенство шансов для игроков. Поэтому впоследствии классическая интерпретация вероятности уступила место более общей частотной интерпретации.

1.2. Обычно такую интерпретацию характеризуют как объективную, так как ее определение основывается на реальных наблюдениях частоты появления тех или иных массовых случайных событий и потому не зависит от индивидуальной психологической или даже рациональной веры наблюдателя. Возникает законный вопрос: а что лежит в основе появления самих частот? Почему мы считаем, что результаты наблюдения не зависят от наблюдателя и средств его наблюдения и измерения? В последние годы на эти вопросы попытались ответить сторонники так называемой пропенситивной концепции, которые считают, что реализация определенных частот зависит от пропенситивности, или предрасположенности соответствующей системы массового случайного характера. Именно эта предрасположенность находит свое проявление или выражение в частоте появления событий.

1.3. Какая же внутренняя связь существует между частотой появления события и его вероятностью?

С интуитивной точки зрения ясно, что чем чаще появляется событие, тем выше его вероятность. На этом очевидном представлении основывается количественное измерение вероятности массовых случайных событий. Для этого, как известно, необходимо провести достаточно большое – определенное условиями задачи – количество независимых испытаний n. Если при этом окажется, что интересующее нас событие появляется m раз, то относительная частота его появления выразится правильной дробью:

n / m

Очевидно, что относительная частота представляет собой эмпирическое понятие, ибо она определяется с помощью непосредственных наблюдений и измерений. В каждом серьезном исследовании для этого необходимо располагать соответствующей статистикой, которая упорядочивает и анализирует результаты наблюдений и испытаний. Поэтому частотная интерпретация называется также статистической и, пожалуй, это название встречается чаще, чем частотное.

1.4. В отличие от понятия эмпирической относительной частоты и его эквивалента статистической частоты само понятие вероятности носит теоретический характер и поэтому не может быть непосредственно сведено, а тем более отождествлено с любым релевантным эмпирическим понятием. Некоторые исследователи выход из возникшей трудности находят в идеализации процесса нахождения относительной частоты массового случайного или повторяющегося события. В этих целях предполагается, что процесс может продолжаться неограниченно долго и относительная частота определяется именно для бесконечного количества независимых испытаний. Если обозначить вероятность массового события через P(A), то она может быть выражена формулой:

P(A) = lim n (при n -> ∞)

где m - обозначает число появлений интересующего нас события A, в предположении, что число n независимых испытаний стремится к бесконечности. Такой предельный подход к определению частотной вероятности был использован сначала Р.Мизесом (Mises R. Probability, Statistics and Thruth. N.Y., 1957), а затем более детально Г.Рейхенбахом (Reichenbach H. The theory of probability. Los-Angeles, 1949). Хотя Мизеса и Рейхенбаха критиковали их единомышленники неопозитивисты за отход от принципов эмпиризма, тем не менее подобные переходы от эмпирических понятий к теоретическим весьма часто применяются в теоретическом естествознании, например, когда определяют понятие мгновенной скорости в данной точке через среднюю скорость с использованием предельного перехода.

Однако главное острие критиков было направлено не столько против обоснованности такой идеализации, сколько практической нереализуемости определения значения вероятности. Статистики, благожелательно воспринявшие частотную интерпретацию, заявляли, что вероятность события должна определяться каждый раз по отношению к такому классу испытаний, который достаточен для решения поставленной проблемы. Поэтому, начиная с Г.Крамера, вероятность в статистике начали рассматривать как двойник относительной частоты (Крамер Г. Математические методы статистики. М., 1948). Другими словами, вместо того, чтобы определять вероятность как предел относительной частоты события при неограниченных испытаниях, ее стали сводить – хотя и не отождествлять – с относительной частотой при достаточно длительных наблюдениях, обусловленных характером поставленной проблемы.

Для прекращения дискуссий о характере понятия вероятности математики прибегли к своему излюбленному аксиоматическому методу. В соответствии с ним все формальные свойства понятия вероятности, необходимые для выведения следствий из аксиом, точно перечисляются в аксиомах. Вопрос же о применении этих аксиом в конкретных областях исследования решается практически путем надлежащей их интерпретации. Если раньше Р.Мизес настойчиво доказывал, что теория вероятностей является естественнонаучной дисциплиной, подобной, например, теоретической механике, то после ее аксиоматизации она стала равноправной математической дисциплиной. В общепринятой теперь стандартной аксиоматике А.Н.Колмогорова (Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. М.: Наука, 1950) понятие вероятности было связано с понятием меры, и тем самым эта теория получила теоретико-множественное обоснование. Но это обстоятельство не остановило поисков адекватной интерпретации для таких вероятностных суждений, которые трудно или вообще не поддаются частотной интерпретации. К их числу относятся прежде всего вероятностные суждения об отдельных событиях. Р.Мизес считал, что поскольку такие события не обладают относительной частотой, то частотная интерпретация к ним в принципе неприменима. В отличие от него Г.Рейхенбах пытался интерпретировать их с помощью довольно неопределенного термина “фиктивной частоты”. При ближайшем рассмотрении такая частота оказывается связанной с тем значением вероятности, которое сторонники субъективистского направления приписывают той вере, которая может быть подтверждена некоторыми действиями субъекта, например, с помощью измерения его ставок в азартных играх и иных действий. Вероятностное утверждение об отдельном событии нельзя характеризовать как истинное или ложное. Поэтому само оно, по мнению, Рейхенбаха, не является утверждением в общепринятом смысле слова, а только постулатом или предположением (posit). Такое предположение, пишет он, “есть утверждение, с которым мы обращаемся как с истиной, хотя истинностное значение его остается неизвестным” (3, p. 373). Обращение к “фиктивной частоте” более ясно видно при определении вероятности отдельных событий в будущем. Если возникает вопрос, например, о вероятности дождя на будущий день, смерти от туберкулеза определенного больного, видов на урожай в определенном районе и т.п., то фактически мы оцениваем такие события не по их относительной частоте, а частоте того ближайшего референтного класса, к которому можно отнести рассматриваемые события. Так для предсказания дождя в определенном месте и в определенное время необходимо располагать статистическими данными наблюдения погоды в данном месте за несколько лет. Очевидно, чем уже будет такой класс референции, тем точнее будут наши предсказания. Необходимо, однако, ясно отдавать себе отчет, что вероятностные суждения и основанные на них предсказания во всех таких случаях опираются не на действительные наблюдения относительных частот, а частот фиктивных, относящихся к ближайшему классу референции. В ряде случаев такой класс референции действительно можно обнаружить, но нередко определение вероятности сопряжено с немалыми трудностями. Тем более, что сам Рейхенбах признает, что “существует только одно легитимное понятие вероятности, которое относится к классам, а псевдопонятие вероятности отдельного случая должно быть заменено конструкцией, построенной с помощью вероятностного класса” (3, p. 375). Вряд ли, однако, можно согласиться с ним, что такая реконструкция возможна для оценки вероятности таких исторических событий, как вероятность пребывания Цезаря в Британии. Ссылка на статистический анализ исторических хроник в силу ненадежности самих хроник мало чем может здесь помочь (3, p. 380).