Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2019-12-27 | 424 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров.
Свойства обратимости
Матрица с нулевой строкой (столбцом) не обратима.
Доказательство. Пусть У матрицы А i -ая строка нулевая. Рассмотрим АВ. У АВ в i -ой строке нули (аналогично у матрицы ВА). Поэтому для любых В: АВ≠Е, так как у матрицы Е нет нулевых строк, то есть матрица А не обратима.
Если строки матрицы линейно зависимы, то она не обратима.
Доказательство. Пусть строки линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований , переводящая в матрицу А в ступенчатую матрицу В с нулевой строкой: . В - необратима по свойству 1. Докажем, что А - необратима. Предположим противное: А - обратима. Тогда В обратима как произведение обратимых матриц. А это у нас противоречие.
3) Если матрица А обратима, то её стоки линейно-независимы.
Доказательство. Следует из свойства 2.
Матрицу с линейно-независимыми строками (столбцами) можно представить как произведение элементарных матриц.
Доказательство. Так как строки матрицы А - линейно-независимы, то существует цепочка элементарных преобразований , переводящая матрицу А в матрицу Е.
Тогда
Обратная к элементарной матрице - есть элементарная матрица.
Следовательно А - произведение элементарных матриц.
Теорема 1. Для любой матрицы следующие условия равносильны:
1)
2) Строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.
3) Матрица А обратима.
4) Матрица А представима в виде произведения элементарных матриц.
Доказательство. Происходит по схеме и следует из свойств обратимости.
П.4. Вычисление обратной матрицы.
Применяют два основных метода вычисления обратной матрицы.
Первый метод основан на применении элементарных преобразований строк.
|
Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)- поле скаляров.
Теорема 1. Если существует цепочка элементарных преобразований вида 1 и 2, которая переводит матрицу А в единичную матрицу, то матрица А обратима, и та же цепочка элементарных преобразований переводит матрицу Е в матрицу .
Доказательство. а)Пусть существует цепочка элементарных преобразований вида 1 и 2, которые переводят А в Е, тогда по 4 свойству:
Е =
По свойству 2 - обратимая матрица, тогда - обратимая матрица.
б) Имеем докажем, что та же цепочка элементарных преобразований переводит А в Е , то есть матрица получена из Е цепочкой элементарных преобразований . ■
Правило вычисления обратной матрицы.
Пусть
1) Рассмотрим матрицу , то есть матрицу А, у которой справа дописана матрица Е.
2) Если с помощью элементарных преобразований векторов строк, матрица преобразуется в матрицу то С - обратима, и .
Пример. . Найти .
Второй способ вычисления обратной матрицы – с помощью присоединённой матрицы.
Теорема 2. Для любой матрицы А следующие условия эквивалентны:
1)
2) Строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.
3) Матрица А обратима.
4) Матрица А представима в виде произведения элементарных матриц.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!