Равновесные модели в динамике

Динамические модели непосредственно учитывают фактор времени.

Все переменные в подобных моделях являются функциями времени (например: скорость изменения цены или скорость изменения объема).

Нащупывание равновесия по Вальрасу

Рассмотрим динамическую модель рыночного равновесия с использованием прямых функций спроса.

Пусть t — время, тогда процесс нащупывания или установления равновесия по Вальрасу можно записать следующим уравнением:

§ ΔQ_d(P) — избыток спроса при цене P

§ h — положительный коэффициент

Если величина спроса больше величины предложения, то есть избыток больше нуля (ситуация товарного дефицита), то производная цены по времени (скорость изменения цены) будет также больше нуля и, следовательно, цена будет расти. Если же величина спроса меньше величины предложения, то есть избыток спроса меньше нуля (ситуация затоваривания рынка), то производная будет меньше нуля, и значит цена будет падать.
Только при условии ΔQ_d(P) = 0 устанавливается рыночное равновесие.

Равновесие по Маршаллу

Процесс взаимодействия спроса и предложения по Маршаллу описывается уравнением:

§ ∆P(Q) — превышение ценой спроса цены предложения при данном объеме продаж Q.

Если данное превышение есть величина положительная, то объем предложения возрастает. Если отрицательная, то объем сокращается. Условием равновесия будет равенство ∆Qd(p)= 0.

Особые случаи рыночного равновесия

Равновесие при нулевой цене

Случай свободных ресурсов.

Равновесие при нулевом объеме выпуска

Производство товара экономически нецелесообразно.

Не единственность равновесия

Например: рынок труда, когда кривая предложения имеет убывающий отрезок.

Неопределенность равновесия

Наличие у линий спроса и предложения общего сегмента — либо горизонтального, либо вертикального.

Экономическое равновесие

Общая теория равновесия базируется на следующих постулатах:

§ основным инструментом жизни общества служит регулируемый рынок, а важнейшим видом деятельности является производство товаров и услуг;

§ экономическая деятельность осуществляется в условиях свободной конкуренции под контролем государства, а цены складываются под влиянием спроса и предложения;

§ цель производителей — получение максимальной прибыли;

§ цель потребителей — получение максимальной полезности при минимальных затратах в удовлетворении своих потребностей;

§ макроэкономическое равновесие выступает как результат совместных действий государства и бизнеса, факторов производства, спроса и предложения.

В настоящее время существует достаточно много моделей макроэкономического равновесия, специфику которым придают авторские взгляды на проблему и попытки кристаллизовать в них главные экономические интересы субъектов экономической деятельности. Из всей их совокупности можно выделить некоторые основополагающие модели.

Наиболее известные модели экономического равновесия и их авторы:

§ Ф. Кенэ — описал простое воспроизводство на примере экономики Франции XVIII столетия;

§ К. Маркс — составил схему простого и расширенного капиталистического общественного производства и обращения (воспроизводства);

§ В. Ленин — расширил схему капиталистического расширенного воспроизводства за счет изменения органического строения капитала;

§ Л. Вальрас — предложил модель общего экономического равновесия в условиях действия закона свободной конкуренции;

§ В. Леонтьев — описал модель "Затраты — выпуск";

§ Дж. М. Кейнс — создал модель краткосрочного экономического равновесия;

§ Дж. Нейман — предложил модель равновесной расширяющейся экономики.

Различаются следующие виды равновесия: частичное, общее, реальное и устойчивое. Наиболее известная и подробная модель равновесия в условиях государственного регулирования экономики разработана Дж. М. Кейнсом.

Еще заметнее позиция Кейнса при обсуждении им общеэкономических государственных вопросов. Традиционно считалось, что богатство нации определяется его ресурсами и сбережениями. Однако Кейнс считал, что богатство нации определяется её возможностями тратить. Не следует бояться потратить активы, которые могут превратиться в хлам. Отсюда основная идея кейнсианства: надо тратить и тратить, прежде всего, в виде инвестиций. Именно это обеспечивает экономический рост и соответственно ликвидацию безработицы и бедности.

Экономическая наука в значительной степени связана с количеством товаров или факторов производства и их ценами. Факторы производства и товары продаются и покупаются на рынках. Рассмотрим рынок какого-либо определенного товара или фактора производства и одно агрегирование, то есть объединение продавцов в одну группу и покупателей в другую. Данный вид агрегирования определяет проблемы оценки, а также суммирования произведений количеств на цены.

Паутинообразная модель представляет собой простую динамическую модель, которая характеризуется затуханием колебания, итогом которого является получение равновесия.

Допустим, рынок какого-либо определенного товара характеризуется данными функциями спроса и предложения:

Для того чтобы поддерживать существование равновесия, цена должна быть такой, чтобы рассматриваемый товар на рынке был распродан, то есть

Динамическая модель образуется при отставании предложения или спроса. Простейшая модель в дискретном анализе содержит отставание или неизменное запаздывание на один интервал:

Dt=D(Pt) и

Это может произойти в том случае, если для изготовления рассматриваемого товара необходим конкретный период времени, взятый за интервал. Действие модели таково, что при данном Pt–1 предыдущего периода величина предложения на рынке в текущем периоде будет , и объем Pt должен быть такой, чтобы был распродан весь объем предложенного товара. Таким образом, Pt и величина продаж и покупок Xt задается уравнением

Таким образом, имея исходную цену P0, посредством заданных уравнений мы можем приобрести значения P1 и X1. Далее, используя существующую цену P1, из данных уравнений извлечем значения X2 и P2. В итоге изменение Pt определяется разностным уравнением 1-го порядка:

Решение можно пояснить с помощью диаграммы, которая проиллюстрирована на рисунке, где D и S-кривые предложения и спроса, а положение равновесия совпадает с точкой их пересечения Q. В динамической модели D имеет то же значение, что и в статистической, но в данном случае ордината кривой S характеризует величину предложения в конкретный промежуток времени. Цена в первоначальный момент времени будет равна P0. Точка Q0 на кривой D с той же самой ординатой, что и Q0. Во 2-й промежуток времени движение осуществляется по вертикали к точке S на кривой от точки Q1, дающей X2, далее по горизонтали – на кривой D к точке Q2. Дальнейшее продолжение данного процесса формирует график паутины, рассмотренный на рисунке.

График паутины

Объемы и цены в последующие промежутки времени выступают координатами точек на кривой спроса D. В данном случае последовательность ряда точек стремится к Q. Точки последовательно размещаются на левой и правой стороне от Q

Итак, характеристики цены Pt стремятся к располагаясь последовательно по обе стороны от . Точно так же дело обстоит и объемами продаж и покупок. Допустим, что D стремится вниз, а S – вверх. Соответственно, движение с затухающими колебаниями появляется в том случае, если кривая D в точке равновесия Q опускается к оси абсцисс OP. Когда углы наклона D и S равны, образуются регулярные колебания. Для случая линейных функций предложения и спроса, можно получить следующее алгебраическое решение:

Значения равновесия и будут определяться уравнениями

,

то есть

, . (1)

Дискретная динамическая модель определяется уравнением

. (2)

Для начала найдем решение, дающее равновесие. Для этого положим и для всех значений t:

. (3)

Извлекаем те же значения и , что и в (1). Если в каком-либо периоде имелись цены и объемы, создающие условия равновесия, то в динамической модели (2) они сохранятся и будущих периодах. Статистическое равновесие соответствует этой модели. Вычтем уравнение (3) на (2) и положим . Тогда

. (4)

Уравнения (4) подобны (2), помимо того, что они характеризуют отклонения от уровней равновесия. Эти уравнения являются разностными уравнениями 1-го порядка. Положим и подставим его в уравнение (4), так что разностное уравнение относительно Pt будет

При данном значении P0 в момент решение легко получается путем итерации:

или

Объемы продаж и покупок в каждый период можно определить из уравнения (4). Чаще всего кривая спроса идет вниз , а кривая предложения напротив идет вверх , то есть В данном случае положим так что r будет положительно. Тогда

и последовательные значения pt при t=0,1,2,3,…, будут соответственно так что pt принимает поочередно положительные и отрицательные значения. Таким образом, чередуются и знаки Pt которые поочередно будут располагаться выше и ниже .

Существуют 3 возможности:

угол наклона S (к OP) больше, ежели угол наклона D.

В данном случае r>1 и ряд последовательных значений pt является бесконечно возрастающим по абсолютной величине. Соответственно, и имеет место взрывное колебание.

2) углы наклона D и S равны. В рассматриваемом случае r=1, и ряд значений Pt будет состоять из чередования p0 и (–p0) Поэтому Pt будет последовательно больше и меньше P на одну и ту же величину, которая будет равна начальному расхождению то есть в данном случае имеет место регулярное колебание.

3) угол наклона D (к OP) больше, нежели S. В данном случае r<1, и поочередные Pt уменьшаются по абсолютной величине. Следовательно, последовательно справа и слева, то есть стремится к уровню равновесия с затухающими колебаниями.

В случае (3), чем больше будет – a по отношению к b, то есть чем более круче D по сравнению с S, тем быстрее будут затухать колебания и тем быстрее Pt будет стремиться к . Первоначальные возмущения также оказывают наибольшее влияние на амплитуду колебания. Чем дальше P0 от , тем больше будет размах колебаний и тем длительнее период времени, необходимый для их прекращения. Следует заметить, что случай (2) с длительными и наиболее правильными колебаниями очень редок, поэтому его можно понимать почти как тривиальным – на его базе не допускается построение никакой теории цикла. Наиболее интересным является случай (3), несмотря на возможное возражение, состоящее в том, что затухающие колебания «невозможны». Но есть наиболее простое развитие модели (3) с затухающими колебаниями, позволяющее представить движение Pt с длительными колебаниями во времени. Для этого вместо кривых предложения и спроса, которые неизменны во времени, возьмем кривые, изменяющиеся под воздействием внешних сил во времени циклично или регулярно, либо случайно и т.д. В таком случае еще до прекращения колебаний, описанных на рисунке, какой-либо сдвиг в кривой D или S приведет к возмущению, в этом случае колебания появятся снова. Например, Q0 могла быть в точке равновесия или вблизи нее до сдвига вверх кривой D к положению, который показан на рисунке. Тогда колебания будут появляться представленным ранее образом, продолжаясь, предположим, до точки Q3, в которых колебательное движение будет нарушено сдвигом вверх кривой S. В итоге, возникает колебательное движение с еще большей амплитудой, постепенно прекращающийся до возникновения какого-нибудь нового возмущения. Для линейной модели допустимо алгебраическое истолкование в случае параллельного перемещения кривых спроса и предложения. Уравнение (2) в таком случае будет иметь вид:

где включают сдвиги в момент t=0,1,2,3,… Разностным уравнением относительно цены будет

(5)

Для того чтобы решить уравнения (5), нужно определить разность сдвигов во времени предложения и спроса. Рассмотренная паутинообразная модель чаще всего дает решение, в условиях которой цены в последующие промежутки времени попеременно принимают значения, располагающиеся ниже или выше точки равновесия. Это колебание завершается на протяжении 2-х интервалов, иными словами при наличии двойного запаздывания на стороне предложения. Скорость приспособления к изменившейся обстановке убывает пропорционально увеличению продолжительности запаздывания.

Таким образом, одним из подходов, который объясняет механизм образования рыночного равновесия, можно считать паутинообразную модель, относящаяся к числу динамических (учитывающих фактор времени). Паутинообразная модель описывает процесс формирования равновесия в условиях, когда воздействие участников сделок на изменяющиеся условия рынка растянута по времени.