Приближенный расчет витых цилиндрических пружин, нагруженных осевыми силами

Основные положения

В данном разделе будет рассмотрена задача расчета на прочность и жесткость витых цилиндрических пружин, работающих на растяжение, (сжатие), выполненных из прутка круглого поперечного сечения. Такие пружины получили наиболее широкое распространение в машиностроении.

Обозначим:

средний диаметр пружины,

d – диаметр проволоки пружины,

n – число рабочих витков пружины,

 угол подъема витков пружины,

шаг пружины или подъем витка пружины,

осадка пружины,

полная длина рабочей части витков пружины.

Вопрос расчета и проектирования пружин, чаще всего относится к курсу деталей машин или специальным курсам. Однако основные формулы, обычно, выводится в курсе сопротивления материалов, поскольку материал пружины, в общем случае, находится в сложном напряженном состоянии и для ее расчета требуются хорошие знания курса. Здесь, одновременно, возникают изгибающий и крутящий моменты, продольная и поперечная силы, т.е. возникают нормальные и касательные напряжения.

В любом поперечном сечении витка цилиндрической витой пружины при растяжении и сжатии, как видно из (рис. 24) возникают результирующая сила F, параллельная оси пружины и момент   , плоскость действия которого совпадает с плоскостью пары сил F (рис.24). Нормальное сечение прутка пружины повернуто относительно этой плоскости на угол (рис.25).

Если разложить силу  и момент  на составляющие относительно осей, связанных с сечением (рис. 25), то имеем:

 

Таким образом, в поперечном сечении прутка пружины при ее растяжении (сжатии), в общем случае, возникают четыре внутренних силовых факторов, напряжения от которых вычисляется по известным формулам:

 

Рис. 25

Поскольку материал пружины, находится в сложном напряженном состоянии, и для ее расчета необходимо использовать третью или четвертую теорию прочности, т.е.

или

где

Однако, в большинстве случаев, пружины изготавливаются с малым шагом навивки, т.е. когда угол  не превышает . В этом случае, приближенно Тогда:

Если учесть, что величина касательных напряжений от поперечной силы  значительно меньше аналогичных напряжений от крутящего момента , то расчет пружин на растяжение (сжатия), навитых из проволоки круглого сечения, можно проводить только на кручение по формуле:

Для вычисления осевого перемещения пружины, т.е. ee осадки , можно использовать интеграл Мора, тогда получим:

где

тогда

где  полная длина рабочей части витков пружины.

Окончательно имеем:

В результате приведенного приближенного исследования уравнения для расчета на прочность и жесткость витых, цилиндрических пружин растяжения (сжатия), изготовленных из проволоки круглого сечения выглядят так:

Приведенные формулы для приближенного расчета пружин этого типа на прочность и жесткость далеко не исчерпывают все задачи, которые встречаются в технике при их проектировании. Однако решение этих задач уже выходит за пределы курса сопротивления материалов и должны быть рассмотрены в других курсах.

Формулу 80 можно записать в виде:

где коэффициент жесткости пружины. При  

поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.

Отношение среднего диаметра витков пружины к диаметру проволоки обозначается  и называется индексом пружины  Обычно индекс пружины равен

 

 6.2 Контрольные вопросы

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении проволоки пружины?

2. Как производитьрасчет на прочность пружин при растяжение (сжатия), навитых из проволоки круглого сечения, когда угол  (угол подъема витков пружины), не превышает .

2. Как определяется осадка пружины?

3. Что называют жесткостью пружины?

4. Что называют шагом пружины?

5. Что называется индексом пружины?

 

Примеры расчета цилиндрических пружин, нагруженных осевыми силами

Пример 1. Определить диаметр проволоки стальной пружины, если под действием силы F =800Н ее осадка  Индекс пружины , число витков . .

Решение. Используя формулу для определения индекса пружины  получим  (). Подставим выражение () в формулу для вычисления осадки пружины  отсюда найдем

Округлим диаметр до целого числа

Ответ:

 

Пример 2. Винтовая пружина растягивается силой . Средний диаметр пружины  Диаметр проволоки  Количество витков  модуль сдвига . Определить осадку пружины и наибольшие касательные напряжения.

Решение.

Определяем осадку пружины:

Находим максимальные касательные напряжения:

 

Ответ:

 

 

6.4 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Расчет витых цилиндрических пружин, нагруженных осевыми c илами»

Задача 1. Между двумя цилиндрическими пружинами одинакового радиуса  навитых из стальной проволоки с модулем упругости  и диаметром d =2,5 см, вставлена плита, как показано на рис. На плиту действует нагрузка, направленная вдоль оси пружины. Верхняя пружина имеет 5 витков, нижняя 6. Определить величину максимальных касательных напряжений и величину вертикального перемещения плиты.

Задача 2.

Внутри стальной цилиндрической винтовой пружины, изготовленной из прутков круглого поперечного сечения диаметром d =3см, помещена вторая пружина, изготовленная из бронзовой проволоки диаметром d =2,5 см. Средний диаметр стальной пружины , бронзовой . Модуль упругости стали , бронзы . Обе пружины имеют по 10 витков каждая. Пружины через плиту, расположенную сверху должны быть нагружены силой P, под действием которой они сожмутся на величину 5,5 см. Найти нагрузку P и вычислить напряжения в материале каждой пружины.

 

Задача 3.

Внутри цилиндрической витой пружины помещена другая пружина. Обе пружины изготовлены из проволоки круглого поперечного сечения диаметром 2 см. Средний диаметр наружной пружины 10 см., а внутренний 7 см. Обе пружины одинаковой высоты и имеют по 10 витков каждая. При нагрузке Р обе пружины сжимаются на 6 см. Определить максимальные касательные напряжения в каждой пружине. Чему равна нагрузка Р, если

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В пособии изложен общий метод расчета стержней на прочность при сложном сопротивлении. Дано понятие о напряженном состоянии в точке, о гипотезах прочности и их назначении.

Подробно изложены основные теоретические положения по определению напряжений при  косом изгибе, изгибе с растяжением (сжатием), изгибе с кручением, кручении и растяжением (сжатием).

К каждому разделу предложены планы решения задач. Приведены примеры решения задач. Предложены задачи для самостоятельного решения с целью проверки степени усвоения материала. Все разделы содержат контрольные вопросы.

Данное пособие содержит теоретические положения о  расчете витых цилиндрических пружин, нагруженных осевыми силами.

Также к данному разделу предложены контрольные вопросы и приведены примеры расчета витых цилиндрических пружин, нагруженных осевыми силами.

В приложениях методического пособия приведены некоторые стандартные данные по определению геометрических характеристик плоских сечений (площади, осевых моментов инерции и сопротивления), а также таблицы прокатных профилей (двутавры, швеллеры) основных геометрических форм сечений стержней, используемых при проектировании инженерных конструкции.

По мнению авторов, данное методическое пособие может оказать студентам значительную помощь при изучении ими дисциплин «Сопротивление материалов» и «Техническая механика», а также при выполнении самостоятельных расчетных работ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1999. – 560 с.

2. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1976. – 552 с.

3. Афанасьев, А.М. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов / A.M. Афанасьев, В.А. Марьин. – М.: Наука, 1975. – 269 с.

4. Копнов, В.А. Сопротивление материалов: Руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В.А. Копнов, С.Н. Кривошапко. – М.: Высш. шк., 2009. – 351 с.

5. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1984.

6.  Макаров, Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 512 с.

7.  Александров А.В. Сопротивление материалов: / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2000. – 560 с.

 

 

Приложение А. Двутавры стальные горячекатаные
Сортамент по ГОСТ 8239–89

Номер балки

h

b

d

t

Площадь сечения, см²

Масса
1 м, кг