Порядок решения задач при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия)

1.  На основании принципа независимости действия сил определяются все внутренние силовые факторы, действующие при данном виде нагружения.

2. Строится эпюра продольных сил .

3. Строится эпюра изгибающих моментов  или две эпюры, если изгиб происходит в двух плоскостях  и .

4. По эпюрам продольных сил и изгибающих моментов определяется наиболее опасные сечения стержня,  а в нем наиболее опасные точки.

5. Подсчитываются значения нормальных напряжений в опасных точках от всех внутренних силовых факторов и далее они складываются.

6. В соответствии с условием прочности, оценивается работоспособность стержня при данных нагрузках или производится проектировочный расчет.

 

3.4 Контрольные вопросы

1. Какие внутренние силовые факторы возникают при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия)?

2. Какой вид напряженного состояния испытывает стержень, работающий на изгиб с растяжением (сжатием)?

3. Укажите, какую формулу  следует применять для определения нормальных напряжений  при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия)?

3. В каких случаях нагружения возникает внецентренное растяжение (сжатие)?

4. Что называется эксцентриситетом «е»?

5. Каким видом нагружения (в общем случае) можно заменить внецентренное растяжение(сжатие)?

6. Укажите какую формулу следует применять для определения нормальных напряжений  при внецентренном растяжении (сжатии)?

7. Какое правило знаков используется при вычислении напряжений ?

8. Как находят наиболее напряженные точки в сечении при внецентренном растяжении (сжатии)?

9. Составьте уравнение нейтральной оси бруса при внецентренном растяжении (сжатии).

10. Как определить положение нейтральной оси (напишите формулу для определения отрезков на осях)?

11. Напишите условие прочности в общем виде для симметричных сечений.

12. Что называется ядром сечений и как определить его границы?

13. С помощью, каких формул определяется координаты точек ядра сечения?

 

Пример решения задачи на совместное действие изгиба с растяжением (сжатием)

 

 Для расчетной схемы (рис.16) построить эпюры N _z, М_х, М_у. Определить величину наибольшей безопасной нагрузки F, если: а =12см, , .

Рис. 16

Решение. От силы F, приложенной в верхнем углу  свободного конца консоли, возникает внецентренное сжатие. Применив метод сечений, обнаружим в любом поперечном сечении стержня продольную силу  и изгибающие моменты  относительно главных осей инерции равные:

 оси x: ,

оси y:

От силы F, приложенной по оси y, возникает прямой поперечный изгиб в главной плоскости инерции yz. И от силы F, приложенной по оси х, со свободного конца балки, возникает прямой поперечный изгиб во второй главной плоскости инерции х z.

Поэтому напряжения в любой точке поперечного сечения с координатами x и y, будут определяться, как при осевом сжатии и изгибе в двух главных плоскостях инерции, т.е. по формуле:

Для прямоугольного сечения, которое имеет выступающие угловые точки, экстремальные напряжения в них будут определяться по формуле:

Для определения опасного сечения построим эпюры N _z, М_х, М_у.  

Величина продольной силы

Пострна всей длине стержня от 0 до 10 а постоянная и равная (рис.17 а): 

.

Изобразим расчетную схему балки в вертикальной плоскости (yz) и построим эпюру .

   Первый участок:          

Второй участок:           

;

при

при

Изобразим расчетную схему балки в горизонтальной плоскости (xz) и построим эпюру .

при

при

Из анализа эпюр, показанных на (рис.17 в,д)следует, что опасное сечение находится на опоре.

Тогда максимальное значения сжимающих напряжений равно:

Из условия прочности на сжатие:  определяем допустимое значение силы F:

Определим максимальные значения растягивающих напряжений:

.

Из условия прочности на растяжении:  определяем допустимое значение силы   F:

Для того чтобы оба условия удовлетворить выбираем наименьшее значение силы F:

Ответ:

 

Рис. 17

3.6 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Совместное  действие изгиба и растяжения (сжатия)

Задача 1

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них, если дано: F, b, h = 2 b, l = 3 h.

Задача 2

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них, если дано: F, b, h = 4 b, l = 3 h.

Задача 3

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них, если дано: F, b, h = 2 b, l = 4 h.

Задача 4

Построить эпюры N z, Мх, Му. Определить величину наибольшей безопасной нагрузки F, если: а =12см, , .

Задача 5

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них, если дано: F, b, h = 2 b, а= 3 h.

Задача 6

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них, если дано: F, b, h = 3 b, а= 2 h.

Задача 7

Определить допустимую величину силы F, если: b = 20мм, h = 60мм, R = 12мм,   .

Задача 8

Определить  и  в опасном сечении, если d =14см, F = 5кН.

Задача 9

Определить  и  в опасном сечении столба круглого сечения, если дано d, F.

Задача 10 Определить допустимое значение а, если: F = 8кН, b = 30мм, h = 120мм,   .

Задача 11 Определить  и  в опасном сечении столба круглого сечения, если дано d, F.

Задача 12 Определить наибольшее нормальное напряжение , если l = 120см, .

Задача 13

Определить необходимые размеры поперечного сечения, если: F = 17кН, ,

Задача 1 4

Определить ,  и указать точки с этими напряжениями, если дано а, F.

Задача 15

Для опасного сечения бруса определить  и , если дано: a, b =0,5 a, l =10 a,   F.

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ

4.1 Основные положения

В машиностроительных конструкциях детали, работающие на изгиб и кручение, встречаются очень часто. Характерным примером таких деталей являются валы различных машин.

При одновременном действии изгиба с кручением в поперечном сечении вала, в общем случае, могут возникать пять внутренних силовых факторов: два изгибающих момента М_х и М_у относительно главных центральных осей инерции поперечного сечения, две поперечные силы Q_x и Q_y по направлению этих осей, а также крутящий момент относительно оси вала М_z = М _кр.

Таким образом, в поперечном сечении стержня возникают нормальные напряжения от изгиба в двух плоскостях и касательные напряжения от кручения и изгиба. Для достаточно длинных стержней не тонкостенного профиля касательные напряжения от изгиба оказываются значительно меньше, чем от кручения и ими можно пренебречь

Прежде всего, необходимо определить опасное  сечения. Для этого должны быть построены эпюры изгибающих и крутящих моментов. При изгибе вала круглого сечения (сплошного или кольцевого) имеет место прямой изгиб, обусловленный результирующим изгибающим моментом:

 

Вектор этого момента в различных сечениях имеет различное направление, поэтому даже при отсутствии распределенной нагрузки, эпюра результирующего изгибающего момента   может быть пространственной. Для упрощения построения такой эпюры, её разворачивают в плоскость, используя только положительные значения при извлечении квадратного корня.

Опасным будет то сечение, в котором одновременно  изгибающий  и крутящий М _кр моменты  достигают наибольших значений. Если они принимают наибольшее значениев разных сечениях, то проверка прочности должна быть проведена для нескольких предположительно опасных сечений.

    От изгиба в поперечных сечениях вала возникают нормальные напряжения, имеющие максимальное значение в двух точках контура, лежащих на концах диаметра, расположенного в плоскости изгиба вала.

От кручения в поперечных сечениях возникают касательные напряжения, достигающие максимального значения во всех точках контура сечения вала.

Здесь W _о= W_x = W_y, W _ρ - осевой и полярный моменты сопротивления поперечного сечения вала, d – диаметр вала.

Поскольку материал вала в опасных точках находится в плоском напряженном состоянии, то для его расчета на прочность необходимо использовать теории (гипотезы) прочности. Эти теории основаны на предположении (гипотезе) о том, что на прочность материала оказывает влияние только один фактор (критерий прочности). В конечном итоге расчёт на прочность сводится к сравнению некоторого приведенного  (эквивалентного ) напряжения с допускаемым напряжением .

 Для пластичных материалов обычно используют третью или четвертую теории прочности. Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений) записывается следующим образом:

По четвертой гипотезе прочности (гипотезе удельной потенциальной энергии изменения формы) аналогичное условие прочности записывается так:

Для вала, изготовленного из хрупкого материала (например, из чугуна), расчеты проводятся по теории прочности Мора, в основе которой лежит феноменологический подход по систематизации опытных данных, а не критерий прочности. Условие прочности по теории Мора записывается так:

здесь , где σ _Вр -   предел прочности при растяжении,          σ _Всж  - предел прочности при сжатии.

Формально при k =1  условия прочности (56) и (58) становятся одинаковыми.