Математические задачи электроэнергетики

Математические задачи электроэнергетики

Введение

Современные электроэнергетические системы (ЭЭС) представляют собой сложные, высоко организованные структуры кибернетического типа, обеспечивающие функционирование практически всех отраслей хозяйства. В связи с этим при проектировании, эксплуатации и реконструкции ЭЭС приходится решать множество задач аналитического и расчетного характера, в том числе следующие:

- расчет установившихся режимов (УР);

- исследование электромагнитных переходных процессов (ПП): расчет токов коротких замыкания (КЗ), перенапряжений;

- исследование электромеханических переходных процессов: анализ статической и динамической устойчивости ЭЭС, расчет асинхронных режимов;

- оптимизация режимов энергосистем: определение оптимального распределения активной мощности между станциями, оптимизация режима электрической сети по реактивной мощности и коэффициентам трансформации, расчет оптимального состава работающего оборудования;

- расчет надежности элементов ЭЭС;

- анализ оперативной информации.

Важнейшими инструментами решения этих задач являются:

- математическое моделирование;

- вычислительная техника (ЭВМ).

Математическая модель (ММ) ЭЭС – это совокупность математических формул и уравнений, определяющих взаимосвязь между параметрами режима ЭЭС. В зависимости от формулировки задачи и принятых допущений для одной и той же системы можно составить математические модели различной формы и сложности. Необходимость математического моделирования связана с тем, что невозможно экспериментально создать многие режимы, необходимые для анализа поведения ее элементов, в связи с недопустимостью таких режимов из-за технических, экономических соображений или по условиям безопасности.

Необходимость вычислительной техники обусловлена тем, что современные ЭВМ способны производить длинные и сложные последовательности вычислений очень быстро и точно, запоминая и обрабатывая огромные массивы информации. Поэтому ММ, реализованная на ЭВМ, позволяет оперативно решать обширный круг задач с учетом большого количества важнейших факторов, одновременно определять характер изменения многих взаимосвязанных переменных, и наконец, получать картину явлений, наиболее близко соответствующую процессам в реальной системе.

Решение каждой из выше перечисленных задач осуществляется на основе определенных методов того или иного раздела классической и прикладной математики. Например, при расчете УР широко применяется матричное исчисление, методы решения систем линейных алгебраических (СЛАУ) и нелинейных уравнений (СНЛУ); анализ электромагнитных ПП и устойчивости базируется на численных методах решения дифференциальных уравнений; решение задач, связанных с надежностью систем, основывается на математическом аппарате теории вероятностей.

 

1. Основные термины, понятия

Под электрическими системами (ЭС) понимается совокупность элементов, объединенных производством, преобразованием, передачей, распределением и потреблением электрической энергии. К основным элементам ЭС относятся

-генераторы, вырабатывающие электроэнергию;

- трансформаторы, преобразующие ее;

- линии электропередачи, передающие и распределяющие электроэнергию;

- нагрузки, потребляющие электроэнергию.

Электрические системы являются искусственными системами, их функционирование и развитие невозможны без участия человека. При этом необходимо знать, уметь рассчитывать и анализировать процессы, протекающие в них и определяющие их состояние, т.е. все то, что называется режимом ЭС. Режим ЭС характеризуется количественными показателями работы – параметрами режима. К ним относятся значения напряжения в узлах сети, токи и значения мощности на участках сети, частоты, углы сдвига векторов ЭДС, потери активной мощности и т.д.

В зависимости от скорости изменения режимы подразделяются на

- установившиеся, в которых параметры сохраняются на рассматриваемом интервале времени или изменяются относительно медленно. Делится на нормальный и послеаварийный;

- переходные (быстрые) это переход от нормального к послеаварийному режиму, при котором происходит значительное и быстротечной изменение параметров режима. Переходный режим может управляться только автоматически.

Параметры режима связаны между собой соотношениями, в которые входят параметры ЭС. Параметры системы – это показатели, определяемые физическими свойствами элементов, схемой их соединений и рядом допущений расчетного характера. Обычно принимается, что параметры системы (сопротивления, коэффициенты трансформации и т.д.) не зависят от параметров режима и являются неизменными.

Расчет УР (расчет потокораспределения) – это определение всех параметров установившегося режима при известных параметрах системы (схема соединений элементов, сопротивлений линий, трансформаторов и т.д.) и некоторых задаваемых параметрах режима. Параметры режима связаны между собой через соотношения, и большинство параметров могут быть однозначно определены через небольшое их число. Поэтому под расчетом УР понимают определение ряда параметров, на основе которых затем напрямую, через известные соотношения, находятся оставшиеся. В качестве таких определяющих параметров обычно выступают комплексы напряжений в узлах сети.

Для составления математического описания электрической системы исходной служит расчетная схема, которая представляет собой некоторую идеализацию реальной схемы. Элементами расчетной схемы являются синхронные генераторы и компенсаторы, нагрузка, трансформаторы, линии электропередачи, реакторы и статические конденсаторы. По расчетной схеме составляется электрическая цепь, которую принято называть схемой замещения. Схема замещения ЭС строится на основе схем замещения элементов расчетной схемы. Последние представляют собой участки цепи с сосредоточенными параметрами, которые соединяются друг с другом в соответствии со связями элементов в расчетной схеме. Схема замещения элемента системы представляет собой сочетание простейших элементов электрической цепи: индуктивности, емкости, активного сопротивления. Такие схемы стремятся представить так, чтобы каждый элемент отражал происходящие физические процессы. Схема замещения, положенная в основу математических расчетов, может рассматриваться в качестве некой математической модели. Именно такой смысл имеет схема замещения элемента сети. В общем случае математическая модель УР является системой алгебраических нелинейных уравнений с комплексными коэффициентами переменными.

Схема замещения содержит ветви, узлы, контуры.

Ветвью называется участок электрической сети, в котором ток в любой точке имеет одно и то же значение (действующее).

Узлом называется место соединения двух и более ветвей (одной из ветвей может быть источник тока).

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

В зависимости от наличия контуров схемы бывают разомкнутые (без контуров) и замкнутые (при наличии хотя бы одного контура).

Выделяют активные и пассивные элементы схемы замещения.

Пассивные элементы схемы замещения - создают путь для протекания тока. Это сопротивления и проводимости ЛЭП, трансформаторов и т.д.

Выделяют продольные и поперечные элементы.

Продольные элементы – ветви расположенные между двумя узлами и соединяющие их. Включают активные и реактивные сопротивления ЛЭП, трансформаторов, емкости устройств продольной компенсации и т.д.

 Поперечные элементы – ветви, включенные между узлами схемы и нейтралью. Соответствуют проводимостям ЛЭП на землю, поперечным проводимостям трансформаторов(потери в стали) и т.д.

 Активные элементы схемы замещения – источники ЭДС и тока. Они определяют величины напряжения или тока в точках присоединения этих элементов в сети независимо от её остальных параметров. Речь идет в основном об источниках тока - генераторах электростанций и нагрузках потребителей. Активные элементы схемы влияют на режим работы электрической сети.

 

Последовательность расчета

В именованных единицах:

1. Составляется расчетная схема (отбрасываются отключенные выключатели).

2. На расчетной схеме замещения обозначаются ступени напряжения, и выбирается основная ступень, к которой необходимо привести параметры элементов остальных ступеней.

Основная ступень та, где необходимо произвести расчет тока кз.

3. Определяются коэффициенты трансформации трансформаторов.

4. Составляется схема замещения с сохранением трансформаторных связей (трансформатор со своим сопротивлением).

5. Производится расчет параметров элементов схемы замещения в именованных единицах (В, Ом).

6. Все параметры элементов схемы замещения приводятся к основной ступени (через коэффициенты трансформации трансформаторов).

7. В полученной схеме соединяются нейтральные точки генераторов с точкой трехфазного короткого замыкания.

8. Схема разбивается на отдельные радиальные ветви (контуры, не связанные общим сопротивлением).

ЭДС: все источники в одной фазе

9. Схема радиальных ветвей приводится к эквивалентной схеме по правилам преобразования схем и рассчитываются токи КЗ радиальных ветвей и в точке КЗ.

 

В относительных единицах:

1. Составляется расчетная схема (отбрасываются отключенные выключатели).

2. На расчетной схеме замещения обозначаются ступени напряжения.

3. Принимается значение базисной мощности (любое значение кратное агрегатам схемы).

4. Выбирается основная ступень, к которой необходимо привести параметры элементов остальных ступеней, и принимается значение базисного напряжения ступени.

5. Определяются коэффициенты трансформации трансформаторов и рассчитываются базисные напряжения остальных ступеней. Рассчитываются базисные токи всех ступеней.

6. Составляется схема замещения с сохранением трансформаторных связей (трансформатор со своим сопротивлением).

7. Производится расчет параметров элементов схемы замещения в относительных единицах (о.е.) при выбранных базисных условиях.

8. В полученной схеме соединяются нейтральные точки генераторов с точкой трехфазного короткого замыкания. Схема разбивается на отдельные радиальные ветви (контуры, не связанные общим сопротивлением).

9. Схема радиальных ветвей приводится к эквивалентной схеме по правилам преобразования схем.

10.  Рассчитываются токи КЗ радиальных ветвей и в точке КЗ в относительных единицах.

11.  Определяется значение тока в именованных единицах (А) в расчетной точке путем умножения полученного тока в относительных единицах на базисный ток соответствующей ступени (ток той ступени, где рассчитывали ток КЗ).

Математические задачи электроэнергетики

Введение

Современные электроэнергетические системы (ЭЭС) представляют собой сложные, высоко организованные структуры кибернетического типа, обеспечивающие функционирование практически всех отраслей хозяйства. В связи с этим при проектировании, эксплуатации и реконструкции ЭЭС приходится решать множество задач аналитического и расчетного характера, в том числе следующие:

- расчет установившихся режимов (УР);

- исследование электромагнитных переходных процессов (ПП): расчет токов коротких замыкания (КЗ), перенапряжений;

- исследование электромеханических переходных процессов: анализ статической и динамической устойчивости ЭЭС, расчет асинхронных режимов;

- оптимизация режимов энергосистем: определение оптимального распределения активной мощности между станциями, оптимизация режима электрической сети по реактивной мощности и коэффициентам трансформации, расчет оптимального состава работающего оборудования;

- расчет надежности элементов ЭЭС;

- анализ оперативной информации.

Важнейшими инструментами решения этих задач являются:

- математическое моделирование;

- вычислительная техника (ЭВМ).

Математическая модель (ММ) ЭЭС – это совокупность математических формул и уравнений, определяющих взаимосвязь между параметрами режима ЭЭС. В зависимости от формулировки задачи и принятых допущений для одной и той же системы можно составить математические модели различной формы и сложности. Необходимость математического моделирования связана с тем, что невозможно экспериментально создать многие режимы, необходимые для анализа поведения ее элементов, в связи с недопустимостью таких режимов из-за технических, экономических соображений или по условиям безопасности.

Необходимость вычислительной техники обусловлена тем, что современные ЭВМ способны производить длинные и сложные последовательности вычислений очень быстро и точно, запоминая и обрабатывая огромные массивы информации. Поэтому ММ, реализованная на ЭВМ, позволяет оперативно решать обширный круг задач с учетом большого количества важнейших факторов, одновременно определять характер изменения многих взаимосвязанных переменных, и наконец, получать картину явлений, наиболее близко соответствующую процессам в реальной системе.

Решение каждой из выше перечисленных задач осуществляется на основе определенных методов того или иного раздела классической и прикладной математики. Например, при расчете УР широко применяется матричное исчисление, методы решения систем линейных алгебраических (СЛАУ) и нелинейных уравнений (СНЛУ); анализ электромагнитных ПП и устойчивости базируется на численных методах решения дифференциальных уравнений; решение задач, связанных с надежностью систем, основывается на математическом аппарате теории вероятностей.

 

1. Основные термины, понятия

Под электрическими системами (ЭС) понимается совокупность элементов, объединенных производством, преобразованием, передачей, распределением и потреблением электрической энергии. К основным элементам ЭС относятся

-генераторы, вырабатывающие электроэнергию;

- трансформаторы, преобразующие ее;

- линии электропередачи, передающие и распределяющие электроэнергию;

- нагрузки, потребляющие электроэнергию.

Электрические системы являются искусственными системами, их функционирование и развитие невозможны без участия человека. При этом необходимо знать, уметь рассчитывать и анализировать процессы, протекающие в них и определяющие их состояние, т.е. все то, что называется режимом ЭС. Режим ЭС характеризуется количественными показателями работы – параметрами режима. К ним относятся значения напряжения в узлах сети, токи и значения мощности на участках сети, частоты, углы сдвига векторов ЭДС, потери активной мощности и т.д.

В зависимости от скорости изменения режимы подразделяются на

- установившиеся, в которых параметры сохраняются на рассматриваемом интервале времени или изменяются относительно медленно. Делится на нормальный и послеаварийный;

- переходные (быстрые) это переход от нормального к послеаварийному режиму, при котором происходит значительное и быстротечной изменение параметров режима. Переходный режим может управляться только автоматически.

Параметры режима связаны между собой соотношениями, в которые входят параметры ЭС. Параметры системы – это показатели, определяемые физическими свойствами элементов, схемой их соединений и рядом допущений расчетного характера. Обычно принимается, что параметры системы (сопротивления, коэффициенты трансформации и т.д.) не зависят от параметров режима и являются неизменными.

Расчет УР (расчет потокораспределения) – это определение всех параметров установившегося режима при известных параметрах системы (схема соединений элементов, сопротивлений линий, трансформаторов и т.д.) и некоторых задаваемых параметрах режима. Параметры режима связаны между собой через соотношения, и большинство параметров могут быть однозначно определены через небольшое их число. Поэтому под расчетом УР понимают определение ряда параметров, на основе которых затем напрямую, через известные соотношения, находятся оставшиеся. В качестве таких определяющих параметров обычно выступают комплексы напряжений в узлах сети.

Для составления математического описания электрической системы исходной служит расчетная схема, которая представляет собой некоторую идеализацию реальной схемы. Элементами расчетной схемы являются синхронные генераторы и компенсаторы, нагрузка, трансформаторы, линии электропередачи, реакторы и статические конденсаторы. По расчетной схеме составляется электрическая цепь, которую принято называть схемой замещения. Схема замещения ЭС строится на основе схем замещения элементов расчетной схемы. Последние представляют собой участки цепи с сосредоточенными параметрами, которые соединяются друг с другом в соответствии со связями элементов в расчетной схеме. Схема замещения элемента системы представляет собой сочетание простейших элементов электрической цепи: индуктивности, емкости, активного сопротивления. Такие схемы стремятся представить так, чтобы каждый элемент отражал происходящие физические процессы. Схема замещения, положенная в основу математических расчетов, может рассматриваться в качестве некой математической модели. Именно такой смысл имеет схема замещения элемента сети. В общем случае математическая модель УР является системой алгебраических нелинейных уравнений с комплексными коэффициентами переменными.

Схема замещения содержит ветви, узлы, контуры.

Ветвью называется участок электрической сети, в котором ток в любой точке имеет одно и то же значение (действующее).

Узлом называется место соединения двух и более ветвей (одной из ветвей может быть источник тока).

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

В зависимости от наличия контуров схемы бывают разомкнутые (без контуров) и замкнутые (при наличии хотя бы одного контура).

Выделяют активные и пассивные элементы схемы замещения.

Пассивные элементы схемы замещения - создают путь для протекания тока. Это сопротивления и проводимости ЛЭП, трансформаторов и т.д.

Выделяют продольные и поперечные элементы.

Продольные элементы – ветви расположенные между двумя узлами и соединяющие их. Включают активные и реактивные сопротивления ЛЭП, трансформаторов, емкости устройств продольной компенсации и т.д.

 Поперечные элементы – ветви, включенные между узлами схемы и нейтралью. Соответствуют проводимостям ЛЭП на землю, поперечным проводимостям трансформаторов(потери в стали) и т.д.

 Активные элементы схемы замещения – источники ЭДС и тока. Они определяют величины напряжения или тока в точках присоединения этих элементов в сети независимо от её остальных параметров. Речь идет в основном об источниках тока - генераторах электростанций и нагрузках потребителей. Активные элементы схемы влияют на режим работы электрической сети.