История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2019-11-28 | 135 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
Формулы 1 – 4 получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде
.
Но есть дифференциал функции u, поэтому т. е.
Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.
Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».
Пример.
Найти дифференциал функции
Решение. Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования? В данном случае можно преобразовать корень и выполнить почленное деление аргумента синуса:
Функция сложная. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:
Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном виде:
Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).
|
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Выше было показано, что приращение функции представимо в виде:
где функция является бесконечно малой функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как то
В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому
А так как нахождение дифференциал значительно проще, чем нахождение приращения функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
Пример. Вычислить приближенно arctg 1,02, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Решение. Рассмотрим функцию Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы: Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что т.е.
Вычислим значение функции в точке .
Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение в точке
Итак,
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!