Понятие независимости для двумерных случайных величин.

Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение

Условные распределения двумерной случайной величины.

Плотность двумерной нормально распределенной СВ Z при

__________ √ c 11 c 22 - c 122 > 0

определяется формулой

f (x, y) =

__________ √ c 11 c 22 - c 122 2 π

exp{-

1 2

[ c 11(x - a)2 + 2 c12(x - a)(y - b) + c 22(y - b)2]}.

Функция распределения и ее свойства.

Значение функции распределения F (x ₁, y ₁) равно вероятности попадания двумерной СВ (X, Y) в бесконечный квадрант D ₁₁ с вершиной в точке (x ₁, y ₁)

1) F (x, y) определена для всех (x, y) О R ², так как вероятность P { X ≤ x, Y ≤ y } определена для всех x, y О R ¹.

2) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 для всех x, y О R ¹. По аксиоме A1 и свойству 5)P для любого события выполняется 0 ≤ P (A) ≤ 1, поэтому по определению F (x, y) О [0,1].

3) F (-∞, y) = F (x,-∞) = F (-∞,-∞) = 0 для всех x, y О R ¹. Например, рассматривая

Bn

Δ =

{ ω: Y (ω) ≤ - n }, где n = 1, 2,...,

можно по аналогии с доказательством свойства 3)F(x) установить, что

F (-∞, y) ≤

l i m n →∞

P(Bn) = P(Ж) = 0.

4) F_Y (y) = F (+∞, y), F_X (x) = F (x,+∞) для всех x, y О R ¹, где F_X (y) и F_Y (x) - функции распределения СВ X и Y соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x), т.к. { ω: X (ω) ≤ +∞} = { ω: Y (ω) ≤ +∞} = Ω.

5) F (+∞,+∞) = 1. В силу свойства 4)F(x,y) имеем

F (+∞,+∞) = F X (+∞)

3)F(x) =

1.

6) F (x, y) - монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Т.к. для Δ x > 0 имеем

F (x +Δ x, y)

Δ =

P{ X ≤ x +Δ x, Y ≤ y }

A3 =

= P { X ≤ x, Y ≤ y } + P { x < X ≤ x + Δ x, Y ≤ y },

так как рассматриваемые события несовместны. По аксиоме A1 имеем F (x + Δ x, y) ≥ F (x, y). Монотонность F (x, y) по y доказывается аналогично.

7) Если F (x, y) непрерывна по x и y, то вероятность попадания СВ Z в прямоугольник D = { x ₁ ≤ x ≤ x ₂, y ₁ ≤ y ≤ y ₂} равна

P(D)

Δ =

F (x 2, y 2) + F (x 1, y 1) - F (x 1, y 2) - F (x 2, y 1),

где F (x_i, y_j), (i, j = 1,2) - вероятности попадания СВ Z в квадранты D_ij с соответствующими вершинами (x_i, y_j), i, j = 1,2

Условная плотность распределения и ее свойства.

Условной плотностью распределения (вероятности) непрерывной СВ X при условии, что непрерывная СВ Y с плотностью f_Y (y) ≠ 0 приняла значение y, называется функция

f (x | y) =

f (x, y) fY (y)

, x О R1.

1) f_x (x | y) ≥ 0, так как плотности f (x, y) ≥ 0, f_Y (y) ≥ 0.

2)

Fx (x | y)

Δ =

x ∫ -∞

fX (x | y) d x,

 

если плотности f (x, y), f_Y (y) непрерывны. В этом можно убедиться, сравнивая выражения для условной плотности и условного распределения (см. замечание Л8.Р1.З3).

3)

+∞ ∫ -∞

fx (x | y) d x = 1 по свойствам 2)f(x|y), 4)F(x|y).

 

4)

fX (x | y) =

∂ FX (x | y) ∂ x

,

если плотности f (x, y), f_Y (y) непрерывны. Действительно, по замечанию Л8.Р1.З3 имеем

fx (x | y)

Δ =

∂ Fx (x | y) ∂ x

=

1 fY (y)

∂ ∂ x

x ∫ -∞

f (x, y) d x =

f (x, y) fY (y)

.

5) Если непрерывные СВ X и Y независимы, то f_X (x | y) = f_X (x). Согласно свойству 8)f(x,y) для независимых СВ X и Y имеем равенство f (x, y) = f_X (x) f_Y (y), из которого следует по определению условной плотности, что f_X (x | y) = f_X (x).

6)

P{ x 1 ≤ X ≤ x 2} =

∞ ∫ -∞

fY (y) (

x 2 ∫ x 1

fX (x | y) d x) d y.

Действительно, по свойствам 3)f(x), 6)f(x,y) и определению условной плотности имеем

P{ x 1 ≤ X ≤ x 2} =

x 2 ∫ x 1

fX (x) d x =

x 2 ∫ x 1

(

∞ ∫ -∞

f (x, y) d y) d x =

 

=

x 2 ∫ x 1

(

∞ ∫ -∞

fY (y) fX (x | y) d y) d x =

∞ ∫ -∞

fY (y) (

x 2 ∫ x 1

fX (x | y) d x) d y.

 

Условные числовые характеристики

Условным математическим ожиданием является выражение:

;   

Условной дисперсией называется выражение:

;

.

Корреляционные зависимости

Ковариацией (корреляционным моментом) k_XY непрерывных СВ X и Y называется второй центральный смешанный момент

kXY

Δ =

M[(X - mX)(Y - mY)] =

+∞ ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

(x - mX)(y - mY) f (x, y) d x d y.

Ковариация нормированных СВ

* X и

* Y

называется коэффициентом корреляции, т.е.

rXY

Δ =

k

* * XY

Δ =

M[

* * XY

]

2)mx =

M[(X - mX)(Y - mY)] σXσY

Δ =

kXY σXσY

.

Определение 3. СВ X и Y называют коррелированными, если r_XY ≠ 0 (k_XY ≠ 0) и некоррелированными, если r_XY = 0 (k_XY = 0).

Определение 4. Корреляция между СВ X и Y называется положительной, если r_XY > 0 и отрицательной, если r_XY < 0.