История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2019-11-19 | 108 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.
Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности x1, x2,..., xn и y1, y2,..., ys. Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид (xi, yj), где i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., s. Обозначим через pij вероятность того, что
Функция распределения и ее свойства.
Функция распределения F(х, у) имеет вид
где двойная сумма распространена на те i и j, для которых xi<x и yj<y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:
\ | -1 | 0 | 1 |
0,1 | p11=0,05 | p12=0,20 | p13=0,30 |
0,2 | p21=0,10 | p22=0,20 | p23=0,15 |
Сумма всех вероятностей
1) F (x, y) определена для всех (x, y) О R 2, так как вероятность P { X ≤ x, Y ≤ y } определена для всех x, y О R 1.
2) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 для всех x, y О R 1. По аксиоме A1 и свойству 5)P для любого события выполняется 0 ≤ P (A) ≤ 1, поэтому по определению F (x, y) О [0,1].
3) F (-∞, y) = F (x,-∞) = F (-∞,-∞) = 0 для всех x, y О R 1. Например, рассматривая
Bn | Δ = | { ω: Y (ω) ≤ - n }, где n = 1, 2,..., |
можно по аналогии с доказательством свойства 3)F(x) установить, что
F (-∞, y) ≤ | l i m n →∞ | P(Bn) = P(Ж) = 0. |
4) FY (y) = F (+∞, y), FX (x) = F (x,+∞) для всех x, y О R 1, где FX (y) и FY (x) - функции распределения СВ X и Y соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x), т.к. { ω: X (ω) ≤ +∞} = { ω: Y (ω) ≤ +∞} = Ω.
|
5) F (+∞,+∞) = 1. В силу свойства 4)F(x,y) имеем
F (+∞,+∞) = F X (+∞) | 3)F(x) = | 1. |
6) F (x, y) - монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Т.к. для Δ x > 0 имеем
F (x +Δ x, y) | Δ = | P{ X ≤ x +Δ x, Y ≤ y } | A3 = |
= P { X ≤ x, Y ≤ y } + P { x < X ≤ x + Δ x, Y ≤ y },
так как рассматриваемые события несовместны. По аксиоме A1 имеем F (x + Δ x, y) ≥ F (x, y). Монотонность F (x, y) по y доказывается аналогично.
7) Если F (x, y) непрерывна по x и y, то вероятность попадания СВ Z в прямоугольник D = { x 1 ≤ x ≤ x 2, y 1 ≤ y ≤ y 2} равна
P(D) | Δ = | F (x 2, y 2) + F (x 1, y 1) - F (x 1, y 2) - F (x 2, y 1), |
где F (xi, yj), (i, j = 1,2) - вероятности попадания СВ Z в квадранты Dij с соответствующими вершинами (xi, yj), i, j = 1,2
Матрица распределения.
Двумерная непрерывная случайная величина. ее геометр интерпретация.
Двумерная св (х;у) явл непрерывной, если ее ф-я распределения F(x;y) представляет собой дифференцируемую ф-ю по каждому из аргументов.
Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства.
Неотрицательная функция f (x, y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной непрерывной СВ
Z | Δ = | col(X, Y), |
если
F (x, y) = | x ∫ -∞ | ( | y ∫ -∞ | f (x, y) d y | ) | d x = 1. |
При этом двумерная СВ Z называется непрерывной.
1) f (x, y) ≥ 0 для всех x, y О R 1. Это вытекает из определения 1.
2)
P(D) = | x 2 ∫ x 1 | y 2 ∫ y 1 | f (x, y) d y d x, где |
D | Δ = | { x 1 ≤ x ≤ x 2, y 1 ≤ y ≤ y 2}. |
По свойству 7)F(x,y) и определению 1 имеем
P(D) = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) | Δ = |
Δ = | x 2 ∫ -∞ | y 2 ∫ -∞ | f (x, y) d y d x - | x 2 ∫ -∞ | y 1 ∫ -∞ | f (x, y) d y d x - | x 1 ∫ -∞ | y 2 ∫ -∞ | f (x, y) d y d x + |
+ | x 1 ∫ -∞ | y 1 ∫ -∞ | f (x, y) d y d x = | x 2 ∫ x 1 | y 2 ∫ y 1 | f (x, y) d y d x. |
3)
P(D) = | ∫ ∫ D | f (x, y) d x d y, |
где D - произвольная область на плоскости R 2. Доказательство проведем для непрерывной f (x, y). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольник
Δ D | Δ = | { x ≤ X ≤ x + Δ x, y ≤ Y ≤ y + Δ y }. |
Согласно свойству 2)f(x,y) можно записать
|
P(Δ D) = | x +Δ x ∫ x | y +Δ y ∫ y | f (x, y) d x d y = | | | по теореме о среднем значении | | | ≈ f (x, y) Δ y Δ x. |
Таким образом, элемент вероятности f (x, y)d x d y с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен вероятности попадания двумерной СВ Z = col(X, Y) в бесконечно малый прямоугольник, прилегающий к точке (x, y). Так как произвольную область D М R 2 можно представить с любой степенью точности в виде объединения конечного числа непересекающихся бесконечно малых прямоугольников Δ D, тоиз аксиомы A3 (см. замечание Л3.Р2.З2) следует формула для вероятности попадания СВ (X, Y) в D.
4)
+∞ ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | f (x, y) d y d x = 1, |
поскольку
+∞ ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | f (x, y) d y d x | Δ = | F (+∞,+∞) | 5)F(x,y) = | 1. |
5)
F X (x) = | x ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | f (t, y) d y d t, FY (y) = | y ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | f (x, y) d x d y;, |
где FX (x), FY (y) - функции распределения СВ X и Y. Например,
FX (x) | 4)F(x,y) = | F (x,+∞) | Δ = | x ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | f (x, y) d y d x. |
Для FY (y) утверждение доказывается аналогично.
6)
f X (x) = | +∞ ∫ -∞ | f (x, y) d y, fY (y) = | +∞ ∫ -∞ | f (x, y) d x. |
Это вытекает из свойства 5) и определения Л4.Р3.О2.
7) Пусть СВ
V | Δ = | φ (X, Y), |
где φ (x, y) - заданная скалярная функция аргументов x, y О R 1, такая что
+∞ ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | | φ (x, y)| f (x, y) d x d y < +∞. |
Тогда можно показать, что
M[ V ] = | +∞ ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | φ (x, y) f (x, y) d x d y. |
8) Для независимости непрерывных СВ X и Y необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
f (x, y) = f X (x) fY (y)
во всех точках непрерывности этих функций. Действительно, по определению плотности
y ∫ -∞ | x ∫ -∞ | f (x, y) d x d y = F (x, y) = | || | в силу незави- симости | || | = F X (x)F Y (y) = |
Л4.Р3.О2 = | x ∫ -∞ | fX (x) d x | y ∫ -∞ | fY (y) d y = | x ∫ -∞ | y ∫ -∞ | fX (x)fY(y) d x d y. |
Откуда следует свойство 8).
Замечание 2. Свойство 6)f(x,y) позволяет по плотности вероятности двумерной СВ Z найти плотность вероятности СВ X и Y.
9) Если непрерывные СВ X и Y независимы, то справедлива формула свертки плотностей, т.е. плотность распределения СВ
V | Δ = | X + Y |
имеет вид
fV (v) = | +∞ ∫ -∞ | fX (x) fY (v-x) d x, |
где fX (x), fY (y) -- плотность распределения СВ X и Y. Пусть
D | Δ = | { x, y: x + y ≤ v }. |
Тогда
FV (v) | Δ = | P{ X + Y ≤ v } | 2)f(x,y) = | ∫ ∫ D | f (x, y) d x d y | 8)f(x,y) = |
|
= | ∫ ∫ D | fX (x), fY (y) d x d y = | +∞ ∫ -∞ | fX (x) ( | v-x ∫ -∞ | fY (y) d y) d x = | || | y | Δ = | t - x | || | = |
= | +∞ ∫ -∞ | fX (x) ( | v ∫ -∞ | fY (t-x) d t) d x = | v ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | fX (x) fY (t-x) d x d t. |
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!