Глава I. Теоретические основы формирования понятия натурального числа в начальной школе.

Введение

Центральным понятием всего курса математики в дошкольной и начальной школе является натуральное число. Счет имеет сложную историю возникновения и развития. Ф. Энгельс считал, что понятие числа заимствовано исключительно из внешнего мира, оно не возникло из чистого мышления. Изучение истории развития понятия числа и операций с числами позволяет выявить, как происходил процесс «опредмечивания» числа, как развивалось понятие числа, какую роль играет овладение исторически выработанным средством отражения числа (овладение системой нумерации) в формировании понятия числа[22].

О целесообразности ранней пропедевтики материала начальной школы говорят многие методисты. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это «благотворно в смысле достижения целостности знаний, преемственности», считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в «опережении» той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии.

Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на передний план. В.В. Давыдов, в частности, отмечает, что практическое воплощение идеи развития в реальных педагогических технологиях предполагает выработку особого взгляда на традиционную проблему преемственности различных ступеней образования. Преемственность, по мнению В.В. Давыдова, не должна задаваться как формальная связь само замкнутых образовательных концентров. «Подобная система представляет собой «педагогическую машину», которая в своих рабочих режимах воспроизводит лишь самоё себя. Это вполне закономерно. Ведь именно в узлах связи образовательных ступеней закладывается зона отдалённого развития детей. Поэтому вне целостного видения контуров и характера такой связи попытки конструировать содержание образования, проектировать нормы усвоения учебного материала, заранее обречены на неуспех». В работах В.В. Давыдова и других исследователей отмечается неудовлетворительное состояние этой проблемы в сложившейся практике массового образования. Всё сказанное свидетельствует о неблагополучной ситуации, сложившейся в начальной школе с точки зрения её подготовки к дальнейшему обучению, о недостаточном обеспечении преемственности в обучении между дошкольной и начальной школой. Это говорит об актуальности темы.

Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в начальной школе.

Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.

1. изучить историю развития понятия числа, теорию формирования натурального ряда чисел, психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме преподавания числа в начальных классах;

2. рассмотреть теоретико-множественное истолкование натурального числа и понятие преемственности;

3. проанализировать программы дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа;

Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы.

Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала начальных классов.

Объект исследования, математическая подготовка учащихся начальной школы.

Предмет исследования: преемственность преподавания математики в дошкольной и начальной школе.

Цель исследования: выявление особенностей формирование понятия натального числа в начальной школе.

 

Заключение

Школа сегодня стоит перед необходимостью строить образовательный процесс так, чтобы обучающийся приобретал и развивал способность к проектированию собственной жизни, к выбору, адекватному наличным внутренним и внешним условиям, к пониманию того, что только высокая нравственность и духовность способны уберечь человечество от самоуничтожения.

Одним из путей совершенствования учебной деятельности является ее индивидуализация, связанная с созданием условий для удовлетворения потребности субъекта в реализации своей познавательной активности в соответствии с индивидуальными стилевыми особенностями. Педагогическая практика свидетельствует о том, что длительное игнорирование индивидуальных стратегий познания со временем приводит к отрицательным последствиям в развитии ребенка, а в крайних случаях может привести к нарушению его здоровья [4].

Ведущий вид деятельности, определяющий основные новообразованияразвития младшего школьника, является учебная деятельность. Поэтому основное внимание сосредоточим на анализе взаимодействия младших школьников в рамках учебной деятельности.

При поступлении в школу у ребенка резко меняется его образ жизни в силу того, что основным видом его деятельности становится учение. Подготовка к учебной деятельности (имение необходимого запаса представлений и понятий, определенный уровень развития мышления и речи), но и имение устойчивое желание учиться. Поэтому особенно важное для младших школьников значение имеет мотивация учения, основу которых на первых порах составляет интерес к школе вообще, интерес к новому виду деятельности – учению. И только при условии, что интерес к учению вообще постоянно поддерживается учителем (или учебником), у ребенка постепенно развивается интерес к приобретению новых знаний.

Способность младших школьников к осуществованию свободного выбора целей и средств учебной деятельности во многом зависит от богатства того опыта, который они должны приобрести в процессе учения. В связи с этим Ш. А. Амонашвили отмечал, что “ проблема заключается в том, чтобы… школьник предложенную, педагогически необходимую учебную задачу принимал как свободно выбранную. Так мы можем обнаружить корни, из которых вырастает педагогика как наука о воспитании и как искусство воспитания”. Процесс обучения в начальной школе оценивается с выделенной выше “клеточки” целостной структуры человеческой деятельности. Следует признать, что младшими школьниками в наиболее полном виде передается только исполнительский компонент учебной деятельности. Учитель, как правило, сам ставит учебные цели, сам планирует последовательность и характер содержания учебной деятельности, сам контролирует и оценивает работу учащихся.

Ребенок приходит в школу, формирование общеучебных умений существенно зависит от индивидуальных особенностей.

Выделяется период, когда ребенок еще не может действовать сам, а следит за показом и объяснениям учителя; затем сам начинает действовать конкретными множествами предметов (например, палочками, кубиками, карточками и т.д.) на уроках математики под руководством учителя. Задолго до изучения некоторых тем по математике дети знакомятся с ними во время игр. Используем считалки: дети практически учатся определять порядок предметов при счете. Играем в магазин: готовим монеты, чтобы расплатиться за покупку, дают сдачи. Так усваивается состав числа на практике. За этими реальными действиями с предметами следует этап, когда ребенок моделирует (выражает) то же действие словесно, уже не выполняя его предметно. На этом этапе большую роль играет умение ученика структурно представить себе предметы и действия с ними. Опора на эти представления облегчает переход к следующему этапу – к действию “в уме”. Опыт показал, что при овладении новыми умственными действиями, особенно при обучении математике, недопустим пропуск какого – нибудь из этих этапов. Анализ работы над 1 десятком по общепринятой методики показывает, что она не отвечает требованиям преемственности обучения младших школьников и дошкольников, поскольку при изучении 1 десятка не учитываются в полной мере запас математических сведений у детей-семилеток, а также их интеллектуальные возможности. Вместе с тем недооценивается перспективное значение работы над понятиями числа, действие величины. Так, при изучении нумерации чисел в приделах десяти большое место занимает изучение состава каждого числа из слагаемых, хотя само сложение предстоит еще изучить.

Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете (“порядковое число”). Таким образом, порядковая и количественная характеристика числа тесно связаны.

Согласно новой программе в основу формирования у детей понятий о числе и арифметических действиях положены практические операции с конечными множествами предметов. И установление связей между основными свойствами предметных множеств и операций с ними со свойствами чисел и арифметических действий.

Познавательный процесс в младшем школьном возрасте обладает многими особенностями, знание которых дает возможность обеспечить эффективность начального обучения математике.

Восприятие младшего школьника характеризуется на первых порах непроизвольностью и неуправляемостью. Общаясь с теми или иными объектами, дети еще не могут самостоятельно их анализировать. В воспринимаемом объекте они обычно выделяют те его свойства, которые ярко и образно выражены. Понятно, что среди этих свойств немало таких, которые не являются существенными. Вместе с тем они охотно действуют с этими объектами, если те выступают перед ними в естественной реальной форме.

Мышление младших школьников носит конкретно – образный характер. Конкретность мышления и проявляется в том, что часто ту или иную мыслительную задачу младшие школьники могут успешно решить лишь тогда, когда они опираются на конкретные действия с реальными предметами, на конкретные представления.

Понятно, что при этом возникает реальная возможность усиления так называемых активных методов преподавания математики. Изучение математики не только посредством наблюдения, но и посредством активных и самостоятельных действий с соответствующим дидактическим материалом, возникает возможность наглядной материализации изучаемых математических соотношений и возможность открытия некоторых из них самими учащимися. Опыт показывает, что при такой методике обучения интерес учащихся к математике резко возрастает, знания становятся более осмысленными.

Рассматривая в процессе обучения понятия множества, числа и арифметических действий, мы даем возможность учащимся уже в начале изучения математики использовать элементы дедуктивного метода. Воспитываем у них способность и потребность в рассуждении, в обосновании сделанных суждений, в проверке полученных результатов. Тем самым уже на начальной стадии обучения учащиеся получают правильные представления о математике как науке, в которой последующее логически вытекает из предыдущего и в которой каждое суждение нуждается в определенном обосновании.

В обучении математике младшие школьники должны овладеть не только знаниями, умениями и навыками, но и общими методами познания, общими способами учебной деятельности.

 

 

Тезаурус

Адаптация – приспособление, привыкание организма к новым условиям.

Арифметика - раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах.

Базовая дошкольная общеобразовательная программа воспитания и обучения - нормативный документ, который определяет обязательный минимум содержания образования воспитанников организаций дошкольного воспитания в соответствии с их возрастными и индивидуальными психофизиологическими особенностями.

Базовый уровень развития ребенка - совокупность умений, знаний и навыков, обязательных для усвоения каждым воспитанником и необходимых для его нормального психофизического развития.

Ведущий вид деятельности - деятельность, в наибольшей степени способствующая психическому развитию ребенка в данный период его жизни и ведущая его развитие за собой.

Вербальный – словесный, устный.

Воображение - психический процесс, состоящий в создании представлений и мысленных ситуаций, никогда в целом не воспринимавшихся человеком в действительности.

Воспитание - процесс целенаправленного влияния на развитие личности, ее отношений, черт, качеств, взглядов, убеждений, способов поведения в обществе.

Воспитанник - ребенок, получающий общеобразовательные, дополнительные и специальные программы в дошкольных организациях, дошкольных групп в детских домах и школах- интернатах для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, предшкольных классах, дошкольных группах во внешкольных организациях.

Гендер - это социальный конструкт, набор характеристик, определенных культурой общества, которые иденитифицируют социальное поведение мужчин и женщин и отношения между ними. Гендер конструируется через определенную систему социализации, разделения труда, принятые в обществе культурные нормы, роли и стереотипы.

Готовность к школе – совокупность морфофизиологических и психологических особенностей ребенка старшего дошкольного возраста, обеспечивающая успешный переход к систематическому организованному школьному обучению

Готовность учиться – врожденная способность человеческого интеллекта усваивать знания и овладевать умениями и навыками.

Детство - период жизни от рождения до подросткового возраста. Детство включает младенчество (0-1 год), раннее детство (1-3 года), дошкольный возраст (3 - 6-7 лет), младший школьный возраст (6-7 лет – 10-11 лет)

Дошкольная общеобразовательная программа - программа, определяющая содержание дошкольного воспитания и обучения.

Дошкольное образование - первый уровень системы непрерывного образования, представляющий собой совокупность взаимодействующих преемственных дошкольных образовательных программ (общеобразовательных и специальных) и сети их реализующих дошкольных организаций, дошкольных групп в детских домах и школах-интернатах для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, домов ребенка, предшкольных классов, дошкольных групп во внешкольных организациях.

Задатки - анатомо-физиологические особенности организма, главным образом центральной нервной системы, являющиеся предпосылками формирования способностей.

Задача - данная в определенных условиях (например, в проблемной ситуации) цель деятельности, которая должна быть достигнута преобразованием этих условий согласно определенной процедуре.

Здоровый образ жизни - типичные формы и способы повседневной жизнедеятельности человека, которые укрепляют и совершенствуют резервные возможности организма.

Зона ближайшего развития - реально имеющиеся у ребенка возможности, которые могут быть раскрыты и использованы для его развития при минимальной помощи со стороны окружающих людей.

Индивидуализация обучения - организация учебного процесса с учётом индивидуальных особенностей детей. Осуществляется в условиях коллективной учебной работы в рамках общих задач и содержания обучения. Позволяет создать оптимальные условия для реализации потенциальных возможностей каждого ребенка.

Интеграция - понятие, означающее состояние связанности отдельных дифференцированных частей и функций системы в целое, а также процесс, ведущий к такому состоянию.

Интериоризация - формирование внутренних структур человеческой психики посредством усвоения внешней социальной деятельности.

Компетентность - уровень развития, необходимый для самостоятельного решения возникающих познавательных проблем, определения своей позиции и позволяющий человеку адекватно выполнять нормы и правила жизни в обществе.

Компетентность педагога – умение видеть и формулировать педагогические задачи на основе анализа педагогических ситуаций и находить оптимальные способы их решения

Концепция - система взглядов, то или иное понимание явлений, процессов; единый, определяющий замысел, ведущая мысль какого-либо произведения, научного труда.

Личность – устойчивая система социально значимых черт, характеризующих индивида со стороны его включенности в социальные отношения.

Личностно-ориентированный образовательный процесс - последовательное отношение педагога к воспитаннику как к личности, как к самосознательному ответственному субъекту собственного развития и как к субъекту воспитательного взаимодействия; базовая ценностная ориентация педагога, определяющая его позицию во взаимодействии с каждым ребёнком и коллективом.

Методика – 1) совокупность методов приемов практического применения чего-либо. 2) наука о методах обучения

Моторика – совокупность двигательных реакций, умений, навыков и сложных двигательных действий, свойственных человеку. Выделяют общую, тонкую (ручную) и артикуляционную моторику.

Непрерывное образование - связь, согласованность и перспективность всех компонентов системы (целей, задач, содержания, методов, средств, форм организации воспитания и обучения) на каждой ступени образования для обеспечения преемственности в развитии ребенка.

Образование – конкретно зафиксированная культурно-историческая форма общественной практики, обеспечивающая передачу человеку социального опыта в целях обретения им образа, адекватного данной культуре.

Образовательная среда - целостная качественная характеристика внутренней жизни образовательного учреждения, определяющаяся конкретными задачами которые это учреждение решает в своей деятельности, проявляющаяся в выборе средств, с помощью которых эти задачи решаются, содержательно оцениваемая по тому эффекту в личностном, социальном и интеллектуальном развитии детей, которого эта среда позволяет достичь.

Обучаемость - индивидуальные показатели скорости и качества усвоения человеком содержания обучения. Обучение – целенаправленное и систематическое воздействие на обучаемого с целью передачи ему определенных знаний, навыков и умений.

Общение – взаимодействие людей, направленное на согласование и объединение их усилий с целью налаживания отношений и достижения общего материального или духовного результата.

Открытое планирование – модель планирования, которая допускает отклонение от примерных планов и содержаний тематики воспитательной работы с учетом интересов детей к какой-либо деятельности, теме, явлению или возникшей ситуации.

Педагогика сотрудничества - модель педагогической деятельности, в которой требования педагога к детям в усвоении базового уровня знаний, умений и навыков неразрывно связаны с обязательным уважительным отношением к детям и оказанием помощи в обучении и развитии.

Педагогическая технология – это содержательная техника реализации учебного процесса (В. П. Беспалько).

Педагогическая технология – это описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И. П. Волков).

Педагогическая технология – это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведения учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В. М. Монахов).

Предметная деятельность – ведущий вид деятельности ребенка раннего возраста, в процессе которой происходит усвоение общественно-выработанных способов использования предметов.

Преемственность - объективная необходимая связь между новым и старым в процессе развития; не только подготовка к новому, но и сохранение и развитие необходимого и целесообразного старого, связь между старым и новым как основа поступательного развития процесса.

Психическое развитие – процесс количественных и качественных изменений в психике ребенка на протяжении онтогенеза; процесс усвоения ребенком общественно-исторического опыта.

Рефлексия - процесс познания человеком самого себя, внутренних психических актов, состояний и особенностей, своего внутреннего мира, осознания того, как он воспринимается другими и построения своего поведения с учетом возможных реакций других.

Самоанализ педагогический - процесс и результат рефлексии педагогом собственной деятельности с целью её улучшения.

Семья – социальный институт воспитания, в котором осуществляется преемственность поколений, социализация детей, передача семейных ценностей и стереотипов поведения.

Сензитивные периоды развития – периоды в жизни ребенка, в которые наиболее интенсивно и гармонично развивается та или иная психическая функция.

Склонность - предрасположенность к чему-либо.

Социализация - процесс и результат усвоения и активного воспроизведения индивидом социального опыта, осуществляемый в общении и деятельности.

Социальная адаптация - процесс интеграции человека в общество, в результате которого достигается формирование самосознания и ролевого поведения, способности к самоконтролю и самообслуживанию, адекватных связей с окружающими.

Способности - индивидуально–психологические особенности личности, являющиеся условием успешного выполнения той или иной продуктивной деятельности. Включают в себя как отдельные знания, умения и навыки, так и готовность к обучению новым способам и приёмам деятельности.

Тонкая моторика – развитие мелких мышц пальцев, обусловливающее способность выполнять ими тонкие скоординированные манипуляции.

Тьютор - человек, сопровождающий ребенка на протяжении ряда лет, выстраивающий его траекторию развития.

Цель - осознанный образ предвосхищаемого результата, на достижение которого направлены действия человека.

Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.

 

Введение

Центральным понятием всего курса математики в дошкольной и начальной школе является натуральное число. Счет имеет сложную историю возникновения и развития. Ф. Энгельс считал, что понятие числа заимствовано исключительно из внешнего мира, оно не возникло из чистого мышления. Изучение истории развития понятия числа и операций с числами позволяет выявить, как происходил процесс «опредмечивания» числа, как развивалось понятие числа, какую роль играет овладение исторически выработанным средством отражения числа (овладение системой нумерации) в формировании понятия числа[22].

О целесообразности ранней пропедевтики материала начальной школы говорят многие методисты. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это «благотворно в смысле достижения целостности знаний, преемственности», считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в «опережении» той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии.

Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на передний план. В.В. Давыдов, в частности, отмечает, что практическое воплощение идеи развития в реальных педагогических технологиях предполагает выработку особого взгляда на традиционную проблему преемственности различных ступеней образования. Преемственность, по мнению В.В. Давыдова, не должна задаваться как формальная связь само замкнутых образовательных концентров. «Подобная система представляет собой «педагогическую машину», которая в своих рабочих режимах воспроизводит лишь самоё себя. Это вполне закономерно. Ведь именно в узлах связи образовательных ступеней закладывается зона отдалённого развития детей. Поэтому вне целостного видения контуров и характера такой связи попытки конструировать содержание образования, проектировать нормы усвоения учебного материала, заранее обречены на неуспех». В работах В.В. Давыдова и других исследователей отмечается неудовлетворительное состояние этой проблемы в сложившейся практике массового образования. Всё сказанное свидетельствует о неблагополучной ситуации, сложившейся в начальной школе с точки зрения её подготовки к дальнейшему обучению, о недостаточном обеспечении преемственности в обучении между дошкольной и начальной школой. Это говорит об актуальности темы.

Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в начальной школе.

Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.

1. изучить историю развития понятия числа, теорию формирования натурального ряда чисел, психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме преподавания числа в начальных классах;

2. рассмотреть теоретико-множественное истолкование натурального числа и понятие преемственности;

3. проанализировать программы дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа;

Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы.

Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала начальных классов.

Объект исследования, математическая подготовка учащихся начальной школы.

Предмет исследования: преемственность преподавания математики в дошкольной и начальной школе.

Цель исследования: выявление особенностей формирование понятия натального числа в начальной школе.

 

Глава I. Теоретические основы формирования понятия натурального числа в начальной школе.

1.

1. История возникновения натурального числа.

Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие число изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия число определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта[11]. предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального число протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д [8].

Источником возникновения понятия отвлечённого число является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших число стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого число (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду числу продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория[28].

Натуральные числа, кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие числа), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.[12].

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время[6].

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.

Заключительный этап в развитии понятия число — введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в обл