Функциональный подход к решению уравнений и неравенств

Функциональный подход к решению уравнений и неравенств

 

Стахейко Михаил,

Капский Роман

учащиеся XI «Б» класса

Руководитель - 

Колесникович Светлана Павловна

 

             

Пинск

2019 год

 

                                ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙИ И НЕРАВЕНСТВ…………………….………..….4

1.1История понятия функция ………………………………………..…………..4

1.2Сущность и применение функционального метода решения уравнений и неравенств…………….…………………………………………………………...5

1.3 Использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств…………………………………………………………………………6

1.3.1. Область определения функции …………………………………...………6

1.3.2. Область значений функции ………………………………….…...……….7

1.3.3. Монотонность функции……………………………………..………….….7

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ………………………………………………………………………...9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………..……………...18

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ……………….…….…….19

 

ВВЕДЕНИЕ

Существуют уравнения и неравенства стандартного вида  и стандартные методы их решения. Однако не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. Как известно, в математике, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, более рациональное. Целесообразность этого метода и состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений и неравенств. Остановимся на применении одного из таких методов. Тема нашей исследовательской работы «Функциональный подход к решению уравнений и неравенств».

Актуальность работы: обусловлена появлением возможности более рационального решения уравнений и неравенств, которые часто встречаются на ЦТ,  с помощью функционального подхода.

Объект исследования: методы  решения уравнений и неравенств.

Предмет исследования: функциональный подход к решению уравнений и неравенств.                                                                                                                                                                                    

Практическая значимость: составление памятки с решением уравнений и неравенств на основании функционального метода, с целью подготовки потенциальных абитуриентов к централизованному тестированию.

Цель: изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

Задачи:

1) проанализировать материал по теме исследования;

2) описать сущность функционального метода;

3) решить уравнения и неравенства, используя свойства функции;

4) сделать выводы о преимуществах и недостатках, об эффективности функционального метода.

Гипотеза исследования: использование функционального метода позволяет прийти к рациональному и наиболее быстрому способу решения уравнений и неравенств.

Методы исследования: структурно-логический анализ учебного материала по проблеме исследования, методы статистической обработки данных.

 

 

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

История понятия функция

 

Понятие функции – одно из фундаментальных понятий математики – науки и современного школьного курса математики. Впервые идея функции встречается у Декарта, который обратил внимание на соответствие между отрезками – ординатой и абсциссой некоторой точки. В 1673 г. Он ввел термин «функция». Аналогичную характеристику функции дал Лейбниц. Первая трактовка функции носила геометрический характер. Постепенно понятие функции приобретает аналитический характер. Современное определение функции как соответствия между множествами любой природы принадлежит Н.И.Лобачевскому. В 1834 г. Он определяет функцию как зависимость между объектами, понимая под объектами числа.

Великий математик П. Дирихле в 1837 году дал следующее определение функции «у есть функция от х, если всякому значению х соответствует вполне определённое значение у, причём совершенно не важно, каким именно способом установлено указанное соответствие».

 «Справочник по высшей математике» М. Я. Выгодского: «Величина у называется функцией переменной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует одно или несколько определённых значений у. При этом переменная величина х называется аргументом».

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались задачи, решаемые с помощью уравнений. Однако общее правило для решения уравнений первой степени с одним неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми в своем сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала». Великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита мы обязаны Виета - Рене Декарту.

Впервые всем нам известный знак равенства ввел Роберт Рекорд в 1557 году, за образец он взял два параллельных отрезка. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины.

Понятие равенство наряду с понятиями «больше» и «меньше» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Знаки неравенств ввел английский математик Томас Гарриот, объясняя это тем, что, если величины равны, то отрезки не должны быть параллельны, а должны пересекаться слева и справа. Книга, где впервые были применены эти знаки, вышла в 1631 году.

В 1734 году французский математик Пьер Бугер ввел знаки «не больше» и «не меньше», которые позднее приняли более привычные для нас очертания.

Уравнения и неравенства имеют очень большую роль в математике, потому что любая задача сводится к построению математической модели как в виде уравнения либо неравенства, поэтому спектр применения этих понятий очень велик.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Функциональный метод решения применяют тогда, когда уравнение или неравенство в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Не всегда следует пытаться решать его стандартным методом, достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, которая приведет нас к более рациональному способу. От нас требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает умение схематизировать; развивает интуицию, логику мышления; развивает творческие исследовательские способности.  Умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит нам решать их на сознательной основе.

В результате исследования нами были решены следующие задачи:

1. мы проанализировали теоретический материал по теме исследования;

2. описан функциональный метод, его сущность;

3. приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функций, входящих в данное уравнение и неравенство;

4. сделаны выводы о преимуществах и недостатках, об эффективности функционального метода.

Гипотеза, выдвинутая в начале исследования о том, что использование функционального метода позволяет прийти к рациональному и наиболее быстрому способу решения уравнений и неравенств получила положительные подтверждения. Опираясь на полученные положительные результаты, можно сделать вывод, что цель работы была достигнута.

 

Функциональный подход к решению уравнений и неравенств

 

Стахейко Михаил,

Капский Роман

учащиеся XI «Б» класса

Руководитель - 

Колесникович Светлана Павловна

 

             

Пинск

2019 год

 

                                ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙИ И НЕРАВЕНСТВ…………………….………..….4

1.1История понятия функция ………………………………………..…………..4

1.2Сущность и применение функционального метода решения уравнений и неравенств…………….…………………………………………………………...5

1.3 Использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств…………………………………………………………………………6

1.3.1. Область определения функции …………………………………...………6

1.3.2. Область значений функции ………………………………….…...……….7

1.3.3. Монотонность функции……………………………………..………….….7

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ………………………………………………………………………...9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………..……………...18

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ……………….…….…….19

 

ВВЕДЕНИЕ

Существуют уравнения и неравенства стандартного вида  и стандартные методы их решения. Однако не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. Как известно, в математике, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, более рациональное. Целесообразность этого метода и состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений и неравенств. Остановимся на применении одного из таких методов. Тема нашей исследовательской работы «Функциональный подход к решению уравнений и неравенств».

Актуальность работы: обусловлена появлением возможности более рационального решения уравнений и неравенств, которые часто встречаются на ЦТ,  с помощью функционального подхода.

Объект исследования: методы  решения уравнений и неравенств.

Предмет исследования: функциональный подход к решению уравнений и неравенств.                                                                                                                                                                                    

Практическая значимость: составление памятки с решением уравнений и неравенств на основании функционального метода, с целью подготовки потенциальных абитуриентов к централизованному тестированию.

Цель: изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

Задачи:

1) проанализировать материал по теме исследования;

2) описать сущность функционального метода;

3) решить уравнения и неравенства, используя свойства функции;

4) сделать выводы о преимуществах и недостатках, об эффективности функционального метода.

Гипотеза исследования: использование функционального метода позволяет прийти к рациональному и наиболее быстрому способу решения уравнений и неравенств.

Методы исследования: структурно-логический анализ учебного материала по проблеме исследования, методы статистической обработки данных.