Итак, задачи 14 из ЕГЭ – 2015. Какие же это задачи?

Из заданий

 ЕГЭ – 2015

Методом координат»

 

Автор:

Пигасов Александр

                                                               МБОУ «Ергачинская СОШ», 10  класс.

 

2016

 

Наука не является и никогда не будет

являться законченной книгой.

А. Эйнштейн

 

Представляю Вашему вниманию проект на тему «Решение задач 14 из заданий ЕГЭ – 2015 методом координат».

 

 

Аннотация.

 

Целью моего проекта является определить виды стереометрических задач, включённых в Единый Государственный Экзамен, и методы их решения.

 Объектом исследования являются сами стереометрические задачи.

Предмет исследования: методы решения этих задач.

Планируемый результат: найти более рациональный метод решения стереометрических задач и научиться его применять.

При написании проекта я изучала различную литературу для подготовки к итоговой аттестации и выяснила, что задачи по стереометрии встречаются в ЕГЭ в блоке повышенного уровня сложности, т.е. в задании 14.

Решать такие задачи – по сути задачи аналитической геометрии – можно методом координат.

 

 Введение.

Немного из истории координатного метода.

В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.

Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.

  Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

   Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

   В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ.

 Основная часть.

Итак, задачи 14 из ЕГЭ – 2015. Какие же это задачи?

 Я бы хотел показать Вам разбор задач типа 14 двумя методами: вычислительно-аналитическим и векторно-координатным.

 

Пример.

В кубе ABCDA₁B ₁ C ₁ D₁ найдите угол между прямыми A₁D и D₁E, где Е – середина ребра CC₁.

 

 

Решение.

 

1-й способ.

 Пусть F – середина ребра ВВ₁, а –ребро куба, φ- искомый угол.

Так как A₁ F ǁ D₁ E  , то φ- угол при вершине A₁ в треугольнике A₁FD.

Из треугольника BFD имеем

FD ²= BD ²+ BF ²= 2 a ² + = ,

 

 а из треугольника A₁B₁F  получаем

 

A₁F² = A₁B₁² + B₁F² = a² + = , откуда

A₁F =

 

Далее в треугольнике A₁FD используем теорему косинусов

 

FD ² = A₁D² + A₁F² –2 A₁D·A₁F cosφ,

=2а² + - 2 ·  ·cosφ, откуда

 

cosφ = иφ = arccos .

Ответ: arccos  .

 

Й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

Тогда А₁(0; а; а), D(а; а; 0), D₁(а; а; а),

Е(а; 0; ).

Найдём координаты направляющих векторов прямых A₁D и D₁E

= , = .

 

Тогда

 

сosφ = = = .

cosφ = и φ = arccos  .

 

Ответ: arccos  .

 

Пример.

В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка Е – серединаребра A₁ В₁. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁.

 

Решение.

Й способ.

Угол между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁ будем искать как угол между данной плоскостью и прямой DЕ₁, параллельной прямой АЕ.

Из точки Е₁ опустим перпендикуляр Е₁Е₂ на прямую В₁D₁.

Искомый угол – это угол между прямыми DE₂ и DE₁.

Пусть сторона куба равна а.

А₁С₁ =  а .

Е₁Е₂ = · А₁С₁ = ·а = .

 

DE₁ = = .

 

= =  : = =  = .

 

Ответ: .

 

Й способ.

 

 

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

За вектор нормали плоскости ВDD₁ возьмем вектор

Найдём координаты нужных точек.

А(0; 0; 0), Е(0; ; а), С(а; а; 0).

Тогда = , = .

 

sin φ = =  =  .

 

Ответ: .

 

Пример.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD =  . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.

 

 

Решение.

1-й способ.

 

Решение этой задачи вычислительно-аналитическим методом очень громоздкое и сложное, даже выполнить чертеж к этой задаче крайне сложно, поэтому я его не привела, а методом координат эта задача решается легко и просто.

 

2-й способ.

 

Легко видеть, что этот угол равен углу между нормалями к этим плоскостям.

 

Вектор – вектор нормали плоскости основания.

А вектором нормали плоскости, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD₁ будет вектор .

 

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Найдём координаты нужных точек, т.е. точек А, А₁, В, D₁.

А (0; 0; 0), А₁(0; 0; 5), В(0; 12; 0),

 D₁(; 0; 5).

 

Тогда = , = .

 

= = =

 = = .

 

Ответ: .

 

Заключение.

Я прорешал множество задач типа 14 из литературы, для подготовки к Единому Государственному Экзамену, и выяснил, что стереометрические задачи на нахождение углов в пространстве можно разделить на три группы:

1) это задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми,

2) задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью и

3)  на нахождение угла между двумя плоскостями.

Так как, я считаю, что векторно-координатный метод является более рациональным, то я сформулировала алгоритмы решения стереометрических задач данным методом по озвученной теме.

Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

1) мы ввели прямоугольную систему координат,

2) нашли координаты нужных точек,

3) затем нашли координаты направляющих векторов прямых и

4) вычислили косинусугла между ними.

Следующий алгоритм несущественно отличается от предыдущего.

Литература

1) Газета «Математика» №8, 2015 г, издательский дом «Первое сентября».

2) Математика ЕГЭ – 2015, задания 14,Корянов А.Г., г Брянск.

3) Семенов А.Л, Ященко И.В. ЕГЭ – 2015. Типовые тестовые задания, МИОО, «Экзамен», 2015.

 

 

Из заданий

 ЕГЭ – 2015

Методом координат»

 

Автор:

Пигасов Александр

                                                               МБОУ «Ергачинская СОШ», 10  класс.

 

2016

 

Наука не является и никогда не будет

являться законченной книгой.

А. Эйнштейн

 

Представляю Вашему вниманию проект на тему «Решение задач 14 из заданий ЕГЭ – 2015 методом координат».

 

 

Аннотация.

 

Целью моего проекта является определить виды стереометрических задач, включённых в Единый Государственный Экзамен, и методы их решения.

 Объектом исследования являются сами стереометрические задачи.

Предмет исследования: методы решения этих задач.

Планируемый результат: найти более рациональный метод решения стереометрических задач и научиться его применять.

При написании проекта я изучала различную литературу для подготовки к итоговой аттестации и выяснила, что задачи по стереометрии встречаются в ЕГЭ в блоке повышенного уровня сложности, т.е. в задании 14.

Решать такие задачи – по сути задачи аналитической геометрии – можно методом координат.

 

 Введение.

Немного из истории координатного метода.

В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.

Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.

  Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

   Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

   В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ.

 Основная часть.

Итак, задачи 14 из ЕГЭ – 2015. Какие же это задачи?

 Я бы хотел показать Вам разбор задач типа 14 двумя методами: вычислительно-аналитическим и векторно-координатным.