Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2019-10-30 | 213 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема Коши
Начнем с уравнения первого порядка в нормальной форме. Пусть поставлена задача Коши (1.4)
Оказывается, если функция голоморфна в точке , то задача Коши (1.4) имеет голоморфное в точке решение, и притом единственное. Это решение имеет вид (1.6),
Можно считать начальные данные , нулевыми ( = 0, = 0), ибо этого всегда можно добиться преобразованием . Таким образом, вместо задачи Коши (1.4) мы можем рассматривать задачу
(2.1.1)
Теорема Коши. Если голоморфна в точке (0, 0), т.е. допускает разложение
( 2.1.2)
То задача Коши (2.1.1) имеет единственное решение, голоморфное в точке 0:
(2.1.3)
Доказательство. Утверждение теоремы, будет доказано, если покажем, что все коэффициенты Сk могут быть найдены ( единственным образом) и что ряд ( 2.1.3) сходится в указанной окрестности точки 0. В связи с этим разобьем доказательство на две части.
Часть 1 (построение (единственного) формального решения (2.1.3)). Будем искать (2.1.3) методом неопределенных коэффициентов. Подставляя ряд (2.1.3) в уравнение
(2.1.4)
Получим
(2.1.5)
(Здесь выполнены формальные операции почленного дифференцирования степенного ряда и подстановки ряда в ряд, законность которых следует из сходимости ряда (2.1.3), которую мы восстановим во второй части доказательства.)
Считая равенство (2.1.5) тождеством (т.к.2.1.3) - решение дифференциального уравнения (2.1.4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , будем иметь
Мы видим, что С1 и С2 выражены через некоторые первые коэффициенты разложения функции .
Аналогично, приравнивая в (2.1.5) коэффициенты при , найдем
(2.1.6)
Где Рk - полиномы от своих аргументов с положительными коэффициентами (у Р2 эти коэффициенты равны ).
|
Таким образом, формальное решение (2.1.3) построено. Из единственности определения Сk следует, что если голоморфное решение задачи Коши (1.4) существует, то оно единственно.
Часть 2. Докажем теперь, что ряд (2.1.3) сходится в некоторой окрестности точки 0. Для этого достаточно построить степенной ряд, мажорирующий ряд (2.1.3), т.е. ряд
(2.1.7)
С положительными коэффициентами, сходящийся в некоторой области
(2.1.8)
И такой, что
(2.1.9)
Тогда, как известно, ряд (2.1.3) будет заведомо сходиться в той же области (2.1.8)
Для построения ряда (2.1.7) рассмотрим мажорантную задачу Коши:
(2.1.10)
Где - некоторая мажоранта функции . В качестве возьмем мажоранту Коши
Где, а M - сумма ряда
(2.1.11)
(который сходится вследствие абсолютной сходимости ряда (2.1.2) в области ), Мажоранта F конструируется на основе оценки Коши коэффициента сходящегося степенного ряда (2.1.2)
(2.1.12)
Вытекающей из (2.1.11).
Взяв ряд по степеням и y с коэффициентом А тп, получим
Мажорантная задача Коши (2.1.10) примет вид
(2.1.13)
Дифференциальное уравнение, входящее в задачу (2.1.13), называется мажорантным уравнением для уравнения задачи (1.4)
Мажорантная задача (2.1.13) имеет единственное решение. Найдём его.
Интегрируя мажорантное уравнение, имеем
, (2.1.14)
Удовлетворяя начальному условию , найдем . Подставляя это значение С в (2.1.14) и умножая обе части на , получим
Разрешая относительно , найдем
(2.1.15)
Это решение голоморфно в точке 0 как суперпозиция двух голоморфных функций:
Таким образом, решение (2.1.15) представимо в виде
(2.1.16)
Где ряд справа в некоторой окрестности точки 0 (по определению голоморфной функции). Оценим область сходимости ряда (2.1.16).
Согласно известной теореме Абеля достаточно ограничиться исследованием положительных значений . Так как радиус сходимости логарифмического и биномиального рядов равен 1, то допустимые значения должны удовлетворять системе двух неравенств
|
(2.1.17)
Последнее неравенство следует из неравенства с учётом того, что
Решая второе из неравенств (2.1.17), имеем
Первое из неравенств (2.1.17) выполняется автоматически. Таким образом, ряд (2.1.16) сходится в области
Остается показать, что все коэффициенты ряда (2.1.16) положительны и что имеют место оценки (2.1.9).
Но это следует из того, что можно найти методом неопределенных коэффициентов по тому же алгоритму, что и Сk. Получим
(2.1.6 ‘)
Где Pk - те же самые полиномы, что и в (2.1.6), только аргументы другие: не коэффициенты разложения функции , а коэффициенты разложения мажоранты F. Из формулы (2.1.6 ‘) в силу положительности коэффициентов полиномов Pk и оценок (2.1.12) следует, что все положительны и мажорируют Ck, т.е. имеют место оценки (2.1.9). Мажорирующий ряд (2.1.7) построен.
Таким образом, ряд (2.1.16) мажорирует формальное решение (2.1.3), чем завершается доказательство теоремы Коши.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!