Задача на равномерное прямолинейное движение

Три пункта B, C и D расположены на одной прямой, причем п.D ¾ между п.B и п.C (см. рисунок к задаче). Когда в п.D случился пожар, на помощь из п.C отправилась пожарная бригада на машине со скоростью v₁ = 15 м/с. Пожарные из п.B выехали на t₀ = 10 мин позже пожарных из п.C. Однако, двигаясь на машине со скоростью v₂ = 72 км/ч, они смогли прибыть в п.D одновременно с первой машиной. Определить, на каком расстоянии от п.C расположен п.D, если расстояние  L между п.B и п.C равно 72 км.

Краткая запись условия задачи                 Чертеж

Дано:

v₁= 15 м/с

v₂= 72 км/ч

t₀ = 10 мин.

L = 72 км

l –?

Решение

Движение пожарных машин (м.т.) будем рассматривать в системе отсчета, связанной с Землей: ось Oх расположена вдоль прямой, на которой расположены пункты B, C и D, направлена от п.B, где находится начало координат, к п.C. Координаты приведенных в задаче пунктов: х_B = 0; х_D = L – l; х_C = L. Примем для первой пожарной t_1н = 0, тогда t_2н = t₀.

Движение обеих машин является равномерным и прямолинейным, поэтому общий вид зависимости радиус-вектора от времени:

                                r = r _н + v Dt,                              (П7.1)

координаты от времени:

                        x(t) = x_н + v_х(t – t_н).                       (П7.2)

Зависимость координаты от времени для первой машины:

                             x₁(t) = L – v₁t,                           (П7.3)

поскольку x_1н = L, v_1х = –v_1, t_1н = 0.

Зависимость координаты от времени для второй машины:

                           x₂(t) = v₂(t – t₀),                         (П7.4)

поскольку x_2н = 0, v_2х = v₂, t_2н = t₀.

По условию задачи обе машины встретились в момент времени t = t_В в п. D, следовательно:

x₁(t_B) = x₂(t_B) = х_D = L - l.           (П7.5)

Из зависимостей (П5.3), (П5.4) и (П5.5) получим следующую систему уравнений:

                                           (П7.6)

Данная система из двух линейных алгебраических уравнений содержит две неизвестные: t_B и l.

Выразим t_B из 1-го уравнения, а l из 2-го. Для этого раскроем скобки в обоих уравнениях:

                                           (П7.7)

Далее, перенесем слагаемые, содержащие неизвестные в левую часть уравнений (они подчеркнуты), а остальные – в правую часть. Умножим левую и правую части 2-го уравнения на (–1):

                                          (П7.8)

В 1-м уравнении вынесем t_B за скобку и разделим обе части уравнения на (v₁+v₂). Подставим полученное значение t_B во 2-е уравнение:

                                     (П7.9)

Далее 1-е уравнение нам не понадобится.

Правую часть 2-го уравнения системы (П5.9) приводим к общему знаменателю:

      (П7.10)

Раскроем скобки и приведем подобные:

      (П7.11)

Вынесем v₁ за скобку:

                                                 (П7.12)

Проведем проверку единиц, предварительно выразив все величины в одних и тех же единицах, например, скорость v₁ в км/ч: v₁ = 54 км/ч, а время t₀  в часах: t₀ = 1/6 ч:

               (П7.13)

Рассчитаем числовое значение:

      (П7.14)

Ответ:

                                     (П7.15)

Приложение 8

Справочные данные

Таблица П8.1

Плотность r (10³ кг/м³)

керосин	0,8	мрамор	2,7
жидкий азот	0,8	алюминий	2,7
масло	0,9	цинк	7,1
вода	1,0	олово	7,3
четыреххлористый углерод	1,6	сталь (железо)	7,8
ртуть	13,6	медь	8,9
дерево (сосна)	0,5	серебро	10,5
дерево (береза)	0,7	свинец	11,3
лед	0,9	золото	19,3
парафин	0,9	осмий	22,6

Таблица П8.2

Удельная теплоемкость с (10³ Дж/кг×К)

жидкое железо	0,69	латунь	0,38
бензол	1,7	медь	0,4
керосин	2,1	железо	0,46
спирт	2,5	сталь	0,5
вода	4,2	алюминий	0,84
свинец	0,126	стекло	0,84
серебро	0,25	лед	2,1

Таблица П8.3

Температуры плавления t_пл (°С)

лед	0	олово	232
свинец	327	железо	1535

Таблица П8.4

Удельная теплота плавления l (10⁵ Дж/кг)

свинец	0,25	железо	2,7
олово	0,59	лед	3,3

Таблица П8.5

Температуры кипения t_кип (°С)

азот	–196	железо	3050
вода	100

Таблица П8.6

Удельная теплота парообразованияr (10⁶ Дж/кг)

вода

2,3

железо

6,3

Таблица П8.7

Удельная теплота сгорания q (10⁷ Дж/кг)

спирт	2,9	нефть	4,1
природный газ	3,4	керосин	4,3

Таблица П8.8

Характеристики электрона

масса, кг

9,11×10–31

заряд, Кл

–1,60×10–19

Таблица П8.9

Удельное сопротивление r (10^-7 Ом×м)

медь	0,17	константан	5
сталь	1,2	нихром	11,2
свинец	1,92	графит	80

Таблица П8.10

Показатель преломления n

Воздух	1,000292	стекло	1,52
вода	1,33

                                                

ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА

Равномерное движение

1.1. Первый участок пути ∆S₁ = 300 м велосипедист проехал за промежуток времени ∆t₁ = 30 с, второй участок ∆S₂ = 600 м ¾ за ∆t₂ = 40 с, а оставшийся участок ∆S₃ = 400 м ¾ за ∆t₃ = 25 с. Определить среднюю путевую скорость велосипедиста на всем пути.

1.2. Школьник, опаздывая в школу, бежал ∆t₁ = 5 мин со скоростью v₁ = 10 км/ч. Потом остановился на ∆t₂ = 1 мин, чтобы завязать шнурок, и оставшийся промежуток времени ∆t₃ = 3 мин бежал со скоростью v₃ = 15 км/ч. Определить среднюю путевую скорость школьника на всем пути.

1.3. Автомобиль проехал половину времени со скоростью v₁ = 54 км/ч, остальное время — со скоростью v₂ = 20 м/с. Найти среднюю путевую скорость за все время движения.

1.4. Пешеход часть пути прошел со скоростью v₁ = 3 км/ч, затратив на это две трети времени движения. За оставшуюся треть времени он прошел остальной путь со скоростью v₂ = 6 км/ч. Определить среднюю путевую скорость движения пешехода за все время движения.

1.5. Первую часть пути автомобиль двигался со скоростью v₁ = 80 км/ч, затратив на это 1/3 времени движения. Затем он попал в пробку и половину оставшегося времени двигался со скоростью v₂ = 10 км/ч. Последний промежуток времени автомобиль ехал со скоростью v₃ = 90 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автомобиля за все время движения.

1.6. Автомобиль проехал половину пути со скоростью v₁ = 15 м/с, оставшийся участок пути — со скоростью v₂ = 72 км/ч. Найти среднюю путевую скорость на всем пути.

1.7. Поезд двигался на подъеме со скоростью v₁ = 10 м/с и затем на спуске со скоростью v₂ = 25 м/с. Какова средняя путевая скорость поезда на всем пути, если длина спуска в 2 раза больше длины подъема?

1.8. Первую четверть пути до кормушки хомяк прошел со скоростью v₁ = 1 м/с. Одну треть оставшейся части пути он пробежал со скоростью v₂ = 2 м/с, остальную часть пути – со скоростью v₃ = 3 м/с. Найти среднюю путевую скорость хомяка на всем пути.

1.9. Весь путь автомобиль проехал со средней путевой скоростью <v_s> = 80 км/ч. Скорость на первой четверти пути равнялась v₁ = 120 км/ч. Какова была скорость v₂ на оставшейся части пути?

1.10. Первую половину пути автобус прошел со скоростью в n = 8 раз большей, чем вторую. Средняя путевая скорость автобуса на всем пути равна <v_s> = 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.

1.11. Из одного пункта в другой мотоциклист двигался со скоростью v₁ = 72 км/ч, на обратном пути первую половину времени он двигался со скоростью v₂ = 14 м/с, вторую — со скоростью v₃ = 10 м/с. Определить среднюю путевую скорость мотоциклиста за все время движения.

1.12. По условиям задачи 1.3, постройте графики зависимостей путевой скорости от времени v_s(t) и пути от времени S(t), если все время движения t_дв = 80 с.

1.13. По графику зависимости пути от времени, представленному на рисунке, написать зависимость S(t).

1.14. Какие линии, состоящие из отрезков прямых (см. рисунок), являются графиками зависимостей пути от времени? Написать, используя найденные графики, зависимости S(t).

1.15. Первый участок дистанции ∆S₁ = 240 м бегун пробежал за время ∆t₁ = 30 с, второй участок ∆S₂ = 140 м ¾ за ∆t₂ = 20 с, а оставшийся участок пути ∆S₃ = 150 м ¾ за ∆t₃ = 25 с. Построить графики v_s(t) и S(t), если на всех участках бегун бежал равномерно, и определить его среднюю путевую скорость за первые 0,8 всего времени движения.

1.16. Путь S₁ = 300 км между городами автомобиль проехал со скоростью v₁ = 60 км/ч. Обратно он возвращался со скоростью v₂ = 30 км/ч. Построить графики v_s(t) и S(t) автомобиля и определить его среднюю путевую скорость на первых 3/4 всего пути.

1.17. Из пункта A выбежал бегун. Через t = 45 мин за ним из того же пункта выбежал второй бегун. Скорость первого бегуна v₁ = 10 км/ч. Скорость второго бегуна v₂ = 15 км/ч. Определить, используя зависимости S(t) бегунов, через какое время t_в после начала движения первого бегуна, второй бегун догонит его. Решить задачу также графически.

1 .18. Из точки A по направлению к точке B вышел жук со скоростью v₁ = 2 см/с. Одновременно навстречу ему из точки B выбежал таракан со скорость v₂ = 5 см/с. Расстояние между т. A и т. B L = 49 см. Определить, используя зависимости S(t), через какое время встретятся жук и таракан после начала их движения. Решить задачу также графически.

Векторы

2.1. Начертить следующие векторы (см. рисунок): а) h ₁ = , б) k ₁ = , в) w ₁ = , г) n ₁ = , д) p ₁ = , е) v ₁ =

2.2. Построить следующие векторы: а) h ₂ = , б) k ₂ = , в) w ₂ = , г) n ₂ = 0,4(d - q), д) p ₂ = , е) v ₂=

2.3. Какой из представленных на рисунке векторов может быть радиус-вектором. Определите его проекции на оси координат.

2.4. Найти проекции векторов a, b, c, e, f на оси Ox и Оу.

2.5. Найти проекции векторов, построенных в задаче 2.1, на ось Ox.

2.6. Найти проекции векторов, построенных в задаче 2.2, на ось Oу.

2.7. Построить вектор m =  и найти его проекции на оси Ox и Oy.

2.8. Проекции векторов k, l, p на ось Oy имеют следующие значения: k_y = -4, l_y = 2, p_y = 3. Найти проекцию h_y вектора h = .