Формулировка и доказательство теоремы.

22. Примеры применения к расчету электростатических полей: плоскости и шара.

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N_E. Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4). Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

 где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

Так как , то  где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

Теорема Остроградского-Гаусса: Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заря­дов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоян­ную e₀.

Доказательство:

Определим поток напряженности электростати­ческого поля вакууме (e=1) через произвольную замкнутую сферическую повер­х­ность радиусом R, окружающей один заряд +q, нахо­дящийся в ее центре

, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно .

Площадь поверхности сферы равна . Отсюда следует, что

.

Рассмотрим самый общий случай поверхности про­извольной формы, охватывающей n зарядов.По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q₁,q₂,...q_n равна векторной сумме напряженностей, создавае­мых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора - результирующей на­пряженности поля на направление нормали к пло­щадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов на это направле­ние: , отсюда .

Когда заряд  расположен внутри поверхности S, он дает вклад в поток, равный . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q, поток Φ равен нулю. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде . Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помо­щью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

Физический смысл этого утверждения заключается в том, что силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Поэтому непрерывная деформация поверхности не изменит полного числа линий напряженности, выходящих наружу.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, таккак поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Электростатическая теорема Гаусса. Она устанавливает математическую связь между потом вектора напряженности через замкнутую поверхность и зарядами, находящимися в объеме, ограниченном данной поверхностью. Предположим, что имеется некоторый объем V, ограниченный поверхностью S и точечный заряд Q внутри этого объема. Рассмотрим поток N напряженности сквозь эту поверхность. Так как Q точечный заряд. То напряженность поля равна ; Bведем понятие телесного угла dΩ: ; (Количественной мерой телесного угла является отношение площади поверхности фрагмента сферы, вырезаемой конусом с вершиной в центре сферы. К квадрату радиуса этой сферы Таким образом, - телесный угол.) Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри объема, равен 4π, а поток ;

Дифференциальная форма теоремы

Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.

,отсюда .

**************(http://tsput.ru/res/fizika/1/KR_ELEC/l4.htm более-менее о дивергенции)****************

Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

1.Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны. Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать:

- поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ:

Поле равномерно заряженного шара.

Металлический шар. При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара. Поэтому при r < R (внутри шара) электрическое поле отсутствует:

Вне шара r > R электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:

Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда.