В трубопроводах. Инерционный напор

 

Начнем рассмотрение интересующих нас особенностей динамики  потока с анализа поведения элементарной струйки идеальной жидкости (одномерное течение – рис. 30).

     Параметры струйки в этом случае изменяются по длине  пути, а  также по  времени, т.е.  υ = υ_м(ℓ, t), p = p (ℓ, t).

Выделим элемент струйки длиной d ℓ и площадью сечения d S. Применим основной принцип динамики для выделенного элемента: сумма сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение. Запишем соответствующее уравнение в проекции на касательную к оси элементарной струйки: 

            ,    (*)

 где Р – результирующая сила давления, G – сила тяжести. 

Поскольку P = P₁ – P₂, то

 

                    d P = d P₁ - d P₂.

 

    При этом dP ₁ = p · dS,

 

       

Рис. 30. Структурно-динамическая  схема

неустановившегося движения элементарной струйки

 идеальной жидкости

 

       Отсюда

 

Кроме того, dm = ρ · dV = ρ · dS · d ℓ → dG = dm · g = ρg · dS · d ℓ.

 

Cosα определим из прямоугольного треугольника, где d z – катет, прилежащий к углу α, представляет собой изменение геометрического напора по длине d ℓ, т.е.

 

    Здесь     отрицательно, поскольку z уменьшается по длине ℓ.

        Запишем полную производную   в развернутой форме:

 

После подстановки всех полученных выражений  в основное уравнение (*) получаем:

                    

После сокращения d S, замены ∂ υ  на ∂ (υ ²/2) и переносов:

                        

Интегрируем вдоль пути элементарной струйки от сечения 1 – 1 до сечения 2 – 2 и делим на ρ g:

          

 

После интегрирования и перегруппировки членов уравнения получаем:

                                                                                         

                                                                      

Из сравнения полученного выражения с уравнением Бернулли для установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости следует, что они отличаются наличием в правой части данного уравнения слагаемого, которое называется инерционным напором:

                                                   

Физический смысл инерционного напора – это работа сил инерции, отнесенная к единице веса жидкости.   

∂ υ_м /∂tпо своему смыслу представляет локальное(м естное ) ускорение, при этом знак инерционного напора определяется знаком ускорения, а его величина – особенностями геометрии и условий движения потока на отрезке [0, ℓ].

    Переходя к потоку вязкой жидкости (используя для этого метод, изложенный ранее), получаем:

                       

 

    Типичными примерами неустановившегося движения жидкости, при котором возникает инерционный напор, являются поведение потока по мере открытия или закрытия запорных устройств, а также движение потока во всасывающей и нагнетательной линиях поршневого насоса. При анализе процессов всасывания и нагнетания поршневого насоса обязательно необходимо учитывать влияние инерционных сил (инерционного напора).

Гидравлический удар

  Рассмотрим особый случай неустановившегося движения жидкости, когда влияние инерционного напора становится чрезвычайно существенным или даже определяющим. Речь идет о гидравлическом ударе - резком изменении давления в трубопроводе при напорном движении жидкости, вызванном большими локальными ускорениями (например, при быстром закрытии крана на конце длинного трубопровода). В этом случае ∂ υ /∂ t → - ∞ и h _ин → - ∞,   поэтому для того, чтобы уравнение Бернулли для неустановившегося движения сохранило физический смысл, должно быть р₂ → + ∞, что противоречит опыту. Теоретический анализ этого парадокса показал, что в подобных условиях движения потока нельзя пренебрегать сжимаемостью жидкости и стенок трубопровода.

Гидравлический удар – это волновой колебательный процесс, возникающий в трубопроводе с упругими стенками, заполненном капельной жидкостью, способной к упругой деформации. При внезапной остановке жидкости инерционные силы могут вызвать кратковременное повышение давления в десятки раз и, как следствие, разрушение трубопроводов.  

Впервые это явление было описано Н.Е. Жуковским в конце XIX века, когда он проводил исследования, связанные с авариями на Московском водопроводе. Трубы, рассчитанные на давления, имеющие место при нормальной работе, неожиданно лопались. Было установлено, что виной тому были гидравлические удары, природу которых мы и рассмотрим далее.

Рис. 31.  Схема возникновения гидравлического удара

 

Картину возникновения гидравлического удара можно проанализировать на следующем примере. Пусть жидкость вытекает из резервуара под напором Н по горизонтальной прямой трубе, на конце которой установлен кран  (рис.31). Длина трубы - ℓ, давление и скорость потока – р₀ и υ₀.   При внезапном (резком) закрытии крана кинетическая энергия потока переходит в энергию давления. В свою очередь, повышение давления вызывает упругую деформацию стенок трубопровода и жидкости (жидкость сжимается, стенки растягиваются). Вслед за крайним к точке А слоем очень быстро начнут останавливаться и соседние слои.

Таким образом, волна  повышения давления р₀+∆р_уд. с высокой скоростью побежит от крана к резервуару. Это – прямая ударная волна. По достижении резервуара часть жидкости из трубы выталкивается в резервуар, поскольку давление в трубе значительно выше, чем в резервуаре, на величину ∆р_уд. При этом давление в    сечении трубы рядом с резервуаром упадет до р₀, и волна дальнейшего (по инерции) понижения давления от резервуара побежит к крану, одновременно стенки трубы будут сжиматься, выталкивая жидкость. Таким образом, работа деформации стенок и жидкости переходит в кинетическую энергию потока, направленного в  обратном (до закрытия крана) направлении, и возникает обратная ударная волна. Время, за которое проходит прямая и обратная ударные волны, называется фазой  гидравлического удара:

 

 , где с – скорость ударной волны

 

Волна понижения давления до р₀ доходит до крана, но жидкость продолжает по инерции двигаться в сторону резервуара. При этом давление у крана становится равным разнице р₀ ^__ ∆р_уд, стенки трубы при этом сжимаются, выталкивая жидкость. Возникает отрицательная ударная волна, которая снова движется в сторону резервуара. Кинетическая энергия вновь переходит в энергию деформации стенок и жидкости, но с обратным знаком. Как только отрицательная ударная волна достигнет резервуара, жидкость из резервуара устремится в трубу, поскольку давление в ней ниже, чем в резервуаре. При этом давление возрастет до р₀ и жидкость со скоростью v₀ устремится в трубу, стенки которой будут растягиваться до первоначального состояния. Таким образом, ситуация повторится, и начнется новый колебательный цикл, и т.д. В результате наблюдается колебательный процесс, который является затухающим, поскольку энергия жидкости расходуется по крайней мере на преодоление сопротивлений. Развитие гидравлического удара во времени можно представить в виде графика р_изб.А  = f (t) (рис.32).

 

Рис. 32. Кинетика изменения избыточного давления  p_изб

          в трубопроводе после возникновения гидравлического удара 

 Определим величину ударного давления. Для этого рассмотрим перемещение  ударной волны на участке трубопровода длиной dℓ (рис. 33).

               Будем исходить из того, что

в момент возникновения ударной волны давление  жидкости  в  сечении   

трубы   в   точке   А   равно р₀ + ∆р_уд.,

а  скорость υ₀ = 0. Используем теорему

об изменении количества движения,

применив ее к элементу потока длиной dℓ. Тогда в проекции на горизонтальную ось и  без учета  силы

Рис. 33. Схема динамических                        тяжести и силы трения 

параметров гидравлического удара                          можно записать:  

                                 

                                       dm ∙ ∆ υ = P ∙ dt,    (*)

 

                      где Р – результирующая силы давления.    

За время dt ударная волна проходит путь dℓ, откуда

 

dm = ρ ∙ dV = ρ ∙ S ∙ d ℓ,

      где ρ – плотность жидкости, S – площадь сечения потока.

 

Возвращаемся  к основному  уравнению  (*)  и  записываем  его  в развернутом виде:

ρ ∙ S ∙ dℓ ∙ (υ ₀  ^_  0) = [(р₀ + ∆р_уд)  ^_ p₀] ∙ S ∙ dt, → 

 

→   ∆р_уд = ρ ∙ υ ₀ ∙ c,

где    - скорость ударной волны. Отсюда получаем

    формулу Жуковского: ∆р_уд = ρ ∙ C ∙ υ ₀

Данная формула справедлива для прямого гидравлического удара, когда время закрытия t_закр.≤ t_ф. При t_закр. > t_ф, т.е. в условиях непрямого гидроудара необходимо вносить следующую поправку:

 

∆р_уд = ρ ∙ C ∙ υ ₀ ∙ (t _ф / t _закр)

    Скорость ударной волны зависит от целого ряда факторов: упругости стенок трубы и сжимаемости жидкости, диаметра трубы и толщины ее стенок. Для воды С  ≈ 1 км/с.

    Когда уменьшение скорости жидкости в трубе происходит не до нуля, а до некоторого значения υ ₁ (при неполном закрытии крана), возникает неполный гидравлический удар, для которого справедливо:

 

∆р_уд = ρ ∙ C ∙ (υ ₀ ^_   υ ₁)

Поскольку давления, возникающие при гидравлических ударах, способны разрушить трубопроводы, необходимо применять защитные меры противодействия, уменьшающие последствия гидравлических ударов и(или) полностью исключающие условия их возникновения. Среди этих мер можно отметить следующие технологические приемы (пункты 1 и 2) и технические средства (пункты 3 и 4):

 

1. Увеличение времени закрытия запорных устройств;

 

2. Снижение рабочей скорости движения потока υ ₀;

 

3. Установка предохранительных клапанов, срабатывающих при достижении опасных давлений;

 

4. Применение пневматических компенсаторов (резервуаров со сжатым газом), устанавливаемых около запорных устройств и присоединяемых к трубопроводам.