Потери напора по длине турбулентного потока.

График Никурадзе

 

 

Как уже отмечалось ранее, не представляется возможным теоретически получить закон распределения местных скоростей по сечению турбулентного потока. Скорости в каждой точке пульсируют по величине и направлению.

Типичная картина изменения компоненты истинной мгновенной скорости υ_м вдоль оси потока для некоторой точки в зависимости от  времени представлена на графике (рис. 26)

υ м

Как видно из графика, компоненты истинных локальных скоростей пульсируют около некоторого осредненного (среднего по времени) значения . Разницу между истинной и осредненной скоростью называют пульсационной скоростью ∆ , при этом истинная (мгновенная) скорость (υ_м) и каждая ее отдельная компонента являются            Рис. 26. Кинетика изменения               суммой:  υ_м = ± ∆

локальных (м естных и м гновенных)

 скоростей турбулентного  потока 

 

Характеристики турбулентности:

 

1. Интенсивность турбулентности – I_T:

                                                

где  - среднее квадратичное значение ( = ) пульсационной скорости. Обычно при движении по трубам

 

                                                I_T  = 0,01 ÷ 0,1.

2. Масштаб  турбулентности – ℓ _T

 

Масштаб турбулентности, называемый также путем смешения, представляет собой расстояние, которое проходит совокупность жидких частиц (вихрь) в поперечном направлении потока с момента возникновения до взаимодействия с другим вихрем, то есть до разрушения. По мнению ряда исследователей, это величина идентична по своему смыслу пути свободного пробега молекулы  в молекулярно-кинетической теории газов, т.е. и в этом случае предполагается, что движение вихря в потоке ограничено аналогичным поведением другого вихря.

3. Турбулентная вязкость – μ_Т  

 

Согласно закону вязкого трения касательное напряжение при ламинарном режиме одномерного течения определяется:

 

                                              

Здесь μ – коэффициент динамической вязкости (является физической константой),   –   изменение местной скорости  вдоль оси, перпендикулярной направлению потока.

 

Напряжение вязкостного трения обусловлено силами  взаимодействия между молекулами жидкости. В отличие от ламинарного, при турбулентном режиме движения макроскопические частицы жидкости существенно перемещаются не только в продольном, но и в поперечном направлении потока, увеличивая касательное напряжение. По аналогии с вязкостным трением Буссинеском предложено выражение для дополнительной (турбулентной) составляющей полного касательного напряжения:

 

                                            

 

где μ_Т – коэффициент турбулентной вязкости. Коэффициент турбулентной вязкости не является физической константой, а зависит от абсолютной величины и степени неоднородности скорости    потока, интенсивности и масштаба турбулентности. Таким образом, полное касательное напряжение в турбулентном потоке есть сумма:

 

                                           

 

 У стенки, в вязком подслое, движение ламинарное, и, следовательно, нет дополнительных касательных напряжений, а в турбулентной области  основную роль играет турбулентная вязкость.

Согласно полуэмпирической теории Прандтля,

 

                           ,    причем   ℓ _T  = k · z,

где k – универсальная постоянная турбулентного потока.

 

Считается, что полное касательное напряжение в пристенной области (вязком подслое) турбулентного потока есть величина постоянная, поэтому:

                                     

 

Распределение местных скоростей по сечению турбулентного потока.

Из предыдущей формулы следует, что

После разделения  переменных и интегрирования получаем:

                            →   ,

И если  обозначить как  динамическую скорость υ_*, то

                                  

 

Как видно из полученного уравнения, осредненная скорость изменяется по сечению в турбулентной области по логарифмическому закону. Опыты показали, что указанное уравнение при определенных условиях может быть распространено на весь турбулентный поток. Однако в инженерных расчетах удобнее  обращаться к формуле Дарси-Вейсбаха, а для определения величины λ использовать экспериментальные данные (график Никурадзе или эмпирические уравнения).

 График Никурадзе. Формула Дарси-Вейсбаха позволяет рассчитывать потери напора по длине потока жидкости при любом режиме движения. Использование теории подобия показало, что коэффициент сопротивления по длине потока зависит в общем случае от   режима  течения   и   шероховатости  стенок  трубопровода,   т.е. λ = f (Re,ε). Проведенные исследования закономерностей ламинарного режима  показали, что в этом случае λ не зависит от шероховатости, а определяется только критерием Рейнольдса:

                                               

                                        ε_{1 >} ε_{2 >} ε_{3 >} ε₄                  Lg Re

                                          

Рис. 2 7. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления (трения) λ от режима течения жидкости, характеризуемого критерием Рейнольдса Re (график Никурадзе).

 

Явный вид критериального уравнения для определения λ в случае турбулентного режима течения может быть получен только эмпирическим путем. Соответствующие эксперименты были проведены Никурадзе и обобщены в виде графика (рис. 27).

Шероховатость в опытах Никурадзе создавалась исскуственно путем наклеивания песчинок определенных размеров на внутреннюю поверхность трубопроводов (создавалась равнозернистая поверхность, имитирующая «шероховатость»). На плоскости графика можно отметить пять характерных  зон.

I. Зона ламинарного режима течения (Re < 2300). Опыты проводились с трубами разной шероховатости (ε₁, ε₂, ε₃, ε₄), однако опытные точки ложатся на одну прямую линию. Следовательно, λ не зависит от относительной шероховатости ε, а получаемое из эксперимента аналитическое уравнение прямой нам хорошо знакомо:

 

                                                

 

Таким образом, экспериментальные данные для ламинарного режима течения  хорошо согласуются с формулой, ранее полученной теоретическим путем.

 

II. Узкий диапазон, где 2300 < Re < 3000 - зона перемежающейся («мерцающей») турбулентности. В ней наблюдается неустойчивость, порождаемая периодическим возникновением очагов турбулентности и их исчезновением. Сопротивление изменяется скачкообразно, поэтому надежной формулы для расчета λ₂ в этой области нет. Но для приближенных вычислений можно использовать эмпирическое выражение: λ₂ = 0,029 + 0,775(Re – 2320) ^. 10^-5.

III. Зона гидравлически гладких труб (3000 < Re < ). Здесь экспериментальные точки для труб с различной шероховатостью также хорошо укладываются на одну прямую и λ снова не зависит от ε.  В этой области толщина ламинарного подслоя у стенки трубы δ больше абсолютной шероховатости ∆. Ламинарная пленка покрывает микронеровности стенки и турбулентная область скользит как бы в гладкой трубе. Экспериментальные данные для этой зоны хорошо описываются уравнением:

 

                                           

 

IV. Зона частично шероховатых труб (  < Re < ) (диапазон между прямой линией III - ей  зоны и линией К - К). Здесь толщина ламинарной пленки у стенки трубы δ становится меньше абсолютной шероховатости ∆ (δ < ∆), поэтому вершины микронеровностей оказываются в пределах турбулентной области и уже заметно тормозят движение потока, увеличивая гидравлическое сопротивление. Для этой зоны можно рекомендовать эмпирическое уравнение:

                                       

 

V. Зона шероховатых труб   (Re > ). На графике видны прямые, параллельные оси абсцисс, т.е. λ₅  не зависит от Re. В этом диапазоне δ = δ _min << ∆ и не изменяется с дальнейшим ростом Re. Микронеровности стенки в этом случае полностью оказываются в зоне турбулентной области и интенсивно тормозят ее движение. Здесь опытные данные описываются уравнением:

 

                                        

 

Для проведения инженерных расчетов можно рекомендовать универсальную формулу, справедливую для всех диапазонов турбулентного режима течения потоков:

 

                                 

 

Если в этом выражении пренебречь влиянием шероховатости (для гидравлически гладких труб ε → 0), то получаем формулу для определения λ₃, а если пренебречь влиянием критерия Re (для шероховатых труб Re → ∞), то получается формула для расчета λ₅.

 

1.21. Местные потери напора. Теорема Борда`

      Рассмотрим три (из четырех) вида местных сопротивлений (рис.28): внезапное сужение потока, внезапное расширение потока, поворот потока на 90⁰ (отвод). Четвертым видом местных сопротивлений (которое можно приближенно рассматривать как частный случай сужения потока) являются запорные устройства (краны, вентили, задвижки).

 

d2

           

 

 

d₂

 

 

             

 

          1                                      2                                      3

Рис. 28.   Виды местных сопротивлений:

1 - внезапное сужение потока;   2 - внезапное расширение потока;

              3 – поворот потока на 90^о (отвод)

 

При течении жидкости через местное сопротивление (рис. 28) происходит деформация потока, отрыв основной (транзитной) струи от стенок канала, образование циркуляционных вихревых зон. Вихри непрерывно уносятся из циркуляционных зон транзитной струей, дробятся, обмениваются энергией с основным потоком.

Используем критериальное уравнение установившегося напорного движения:

 

                                          Eu = f (Re, Г₃,Г₄,…)

где Г₃, Г₄,… - симплексы геометрического подобия, влияющие на величину местных потерь напора. Необходимо определиться, какие же геометрические параметры влияют на потери напора. Очевидно, что для первого и второго вида местных сопротивлений в качестве симплекса Г₃ нужно использовать соотношение диаметров d₁ и d₂, в качестве Г₄ для третьего вида – соотношение R и d:

 

                                            ;

 

В качестве симплекса Г₅ для запорного устройства (например, вентиля или задвижки) следует использовать:

 

                                                    

где h – высота подъема клапана запорного устройства (ЗУ), регулирующего зазор (степень сужения) отверстия для прохождения жидкости через ЗУ, d – внутренний диаметр запорного устройства, по которому движется клапан,  Г₅ – степень открытия ЗУ.  Тогда:

 

                           , откуда

                          

    По аналогии с λ  определим

 

    В гидравлике коэффициент ξ («дзета»), в отличие от λ («лямбда»), называют коэффициентом местного сопротивления. Выразим потерю напора в местном сопротивлении через потерю давления ∆ p _м:

                             , откуда следует: 

                             - формула Вейсбаха

 

Опыт показывает, что ξ зависит от Re только в случае, когда Re<5·10⁴. В промышленной практике, как правило, Re > 5·10⁴ и поэтому ξ обычно определяется только симплексами геометрического подобия. Это позволяет экспериментально устанавливать их значения и полученные результаты заранее размещать в справочной литературе (например: [12]).  

Однако существует одно исключение, когда коэффициент местного сопротивления может быть определен из теоретических соображений, а именно, при анализе  внезапного расширения потока.

Результаты теоретического анализа этой ситуации могут быть сформулированы в виде так называемой теоремы Борда `.

 

Теорема Борда`: Потеря напора при внезапном расширении потока равна скоростному напору, определенному по разности скоростей до и после расширения.

  Рассмотрим два сечения

горизонтального турбулентного потока -

1 - 1 и 2 – 2 (рис. 29).

Обозначим давление, скорость и площадь  в сечении  1 - 1 как p ₁, υ ₁, S ₁, в сечении  2 - 2  –  как   p ₂, υ ₂, S ₂.   При этом  будем считать, что

силой трения можно пренебречь, поскольку расстояние между сечениями 1 - 1 и 2 - 2 мало и поверхность трения незначительна.

                       Запишем уравнение Бернулли

Рис. 29. Структурно-динамическая                   для сечений 1 - 1 и 2 - 2

схема внезапного расширения потока              (плоскость сравнения

                                                                                      проводим по оси

                                                              горизонтального потока):

                          

 

Решаем относительно ∆ h _м:

                               

 

Используем теорему об изменении количества движения, применив  ее  к  объему   жидкости  между   сечениями  1 - 1  и  2 - 2 (в проекции на горизонтальную ось):  

 

                                   ,       (*)

 

где m – масса жидкости, вошедшей в указанный объем, ∆υ – изменение скорости движения, Р – равнодействующая  сил давления, ∆t – время движения жидкости от сечения 1 - 1 к сечению 2 - 2.

 Тогда, исходя из верхней (максимальной) оценки соотношения (*) (для этого заменяя S₁ на сечение с большей площадью S₂), можно записать:

                               

 

где ρ Q – массовый расход, и   Q = υ₁ · S ₂ = υ ₂ · S ₂ (в соответствии с уравнением неразрывности). Отсюда после сокращения   ∆ t:

                                

 

         и    после сокращения   S ₂:

Подставляем  в исходное выражение для ∆ h _м:

 

                       

                                                              

         Отсюда:  - формула Борда`

Приведем полученную формулу Борда к виду уравнения Вейсбаха. Для этого выразим υ ₂ из уравнения неразрывности:

 

                                                 . Тогда:

 

                

 

Сравнивая полученное выражение с формулой Вейсбаха, находим:

 

                                       

 

Если S₂>>S₁ (например, на входе из трубы в резервуар), то ξ _в.р.≈ 1   и

 

                                         

 

1. 22. Неустановившееся движение несжимаемой жидкости