История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2019-08-07 | 176 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
Из курса математики средней школы известны такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные. Все перечисленные множества чисел являются подмножествами множества действительных чисел.
Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени . Оно равносильно уравнению .
Ясно, что последнее уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Для Возможности решения подобных уравнений необходимо дальнейшее расширение понятия «числа».
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Представим число в виде
,
т.е. в виде суммы действительного числа и чисто мнимого .
Определение. Форма записи
Называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Она позволяет производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.
Примеры: 1) Вычислить , если , , .
Решение:
2) Найти произведение комплексного числа на действительное число .
Решение: Действительное число можно записать в виде , тогда по правилу умножения .
Определение. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу .
Ясно, что и если , то .
Найдем произведение , т.е. произведение взаимносопряженных комплексных чисел есть всегда действительное число.
Из определения комплексно сочетательных чисел легко получить выражение , .
Операция вычитания и деления комплексных чисел определяются на основание определенных операций сложения и умножения.
Вычитании - действие обратное сложению.
Определение. Комплексное число называется разностью и , т.е. , если, .
|
Отсюда, если , , ,
то , ,
или , .
Итак, ,
т.е. вычитание комплексных чисел производится по правилу вычитания многочленов.
деление – действие, обратное умножению.
Определение. Комплексное число называется частным от деления на , т.е. , если . Для получения алгебраической формы записи результата деления умножим две части последнего равенства на
Теперь умножим обе части этого равенства на действительно число
получим, ,
т.е.
.
Пример. Вычислить , если .
Решение:
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
Из курса математики средней школы известны такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные. Все перечисленные множества чисел являются подмножествами множества действительных чисел.
Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени . Оно равносильно уравнению .
Ясно, что последнее уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Для Возможности решения подобных уравнений необходимо дальнейшее расширение понятия «числа».
Аксиоматика комплексных чисел.
Комплексное число характеризуется упорядоченной парой действительных чисел . Это условие записывается Числа называются компонентами. Первая компонента x называется действительной частью комплексного числа и обозначается , вторая – мнимой частью комплексного числа и обозначается .
По определению полагают комплексное число .
Определение. Два комплексные числа и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. .
В частности .
Замечание. Отношение «больше», «меньше» для комплексных чисел не определены. Действия сложения и умножения комплексных чисел определяется аксиоматически.
Определение. Суммой комплексных чисел и называется комплексное число , где , т.е. , иначе говоря, сложение комплексных чисел выполняется покомпонентно.
Из определения ясно (проверить самостоятельно), что для операции сложения комплексных чисел сохраняются законы сложения, имеющие место для действительных чисел, а именно –
|
а) переместительный (коммутативности)
б) сочетательный (ассоциативности)
Так же как и для действительных чисел верно равенство . Очевидно (доказать самостоятельно), что существует единственное комплексное число , обладающее этим свойством.
Пример: Найти сумму двух чисел и .
Решение: .
Определение. Произведением комплексных чисел и
называется комплексное число
.
Умножение подчиняется законам (убедиться самостоятельно):
а) переместительному (коммутативности)
б) сочетательному (ассоциативности)
в) распределительному (дистрибутивности) относительно суммы
.
Пусть , . Найдем и . По определению операций сложения и умножения комплексных чисел
.
Таким образом операции сложения и умножения комплексных чисел , , у которых мнимая часть равна нулю, сводится к операциям сложения и умножения действительных чисел и . Это позволяет отождествить пару с действительным числом и ввести обозначение . В частности .
Из сказанного следует, что множество всех действительных чисел можно рассматривать как часть (или подмножество) множества комплексных чисел.
Найдем произведение комплексного числа на действительную единицу.
,
то есть умножение на действительную единицу не меняет комплексного числа.
Рассмотрим комплексное число . В силу определения произведения комплексных чисел .
Определение. Комплексное число называется мнимой единицей и обозначается символом , т.е. .
Из предыдущего рассмотрения получаем
.
Комплексное число вида называется чисто мнимым. Покажем, что . Действительно, .
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!