Заполнение электронных оболочек атомов. Расчет средних величин. Закон радиоактивного распада.

   Состояние электрона в атоме описывается системой из четырех квантовых чисел:

· главного

· орбитального

· магнитного

· спинового  или ;

   В одноэлектронном атоме разрешенная энергия электрона зависит только от главного квантового числа n.

   Разрешенные значения момента импульса электрона L, магнитного момента  и их проекций зависят от орбитального и магнитного квантовых чисел:

   ,         (6.1)

где  – магнетон Бора.

   Разрешенные значения величины собственного момента импульса электрона , собственного магнитного момента  и их проекций на выделенную ось  и  зависят от квантового числа  (или ), называемого спиновым квантовым числом.

         (6.2)

   В опытах Штерна и Герлаха эксперимен­тально подтверждено существование разрешенных значений проекции магнитного момента атомов. В неоднородном магнитном поле пучок атомов расщепляется на несколько, так как возникающая сила, действующая на атом, зависит от проекции его магнитного момента. Так как сила со стороны поля выражается через энергию взаимодействия                 ,

где  или , (6.3)

то               или               (6.4)

в зависимости от того, каким магнитным моментом обладает атом.

   Принцип запрета Паули (1925 г.): в одной квантовой системе в один момент времени не могут находиться две тождественные микрочастицы с полуцелым спином в одинаковом состоянии (с одинаковыми четырьмя квантовыми числами). Таким образом в многоэлектронном атоме находятся электроны, отличающиеся значением хотя бы одного квантового числа.

   Совокупность состояний электронов с одинаковым главным квантовым числом n называется электронной оболочкой атома. Каждая оболочка делится на электронные подоболочки, т.е. набор состояний с одинаковыми числами n и l. Оболочки и подоболочки атомов принято обозначать буквами:

n	1	2	3	4	5		l	0	1	2	3	4
оболочки	K	L	M	N	O		подоболочки	s	p	d	f	g

   Естественно, что электроны будут находиться в основном состоянии с наименьшей возможной энергией, а так как собраться на низшем энергетическом уровне 1 s они не могут по принципу Паули, то последовательно начнут заполнять все свободные уровни (состояния), начиная с низших.

   Полностью заполненная подоболочка содержит

                          электронов.                      (6.5)

Эти электроны различаются значениями квантовых чисел m и . В полностью заполненной оболочке будет

                         электронов.              (6.6)

   Правила отбора: при возбуждении электрона электромагнитным полем электрон может перейти в возбужденное состояние с любым главным квантовым числом , но значения орбитального и магнитного квантовых чисел могут измениться только на величину

                                  и                       (6.7)

Вероятности перехода в другие квантовые состояния практически равны нулю или, как говорится, запрещены.

     В металлах атомы кристаллической решетки расположены так близко, что их взаимодействие оказывает влияние на структуру энергетических уровней отдельных атомов. Если в изолированных атомах расматриваются дискретные оболочки, одинаковые для каждого атома, то в металлах электронные оболочки расщепляются и превращаются в энергетические зоны. Распределение электронов в последней частично заполненной зоне (зоне проводимости) описывается функцией распределения Ферми-Дирака:

                         ,              (6.8)

где  – концентрация электронов, обладающих энергией в диапазоне от  до ,  – функция Ферми,  нормировочная постоянная.

   При T = 0 K   (это выражение можно применять и при T = T _комн  300 K с точностью до ~ 1 %).

   Зная распределение (6.8), можно вычислить среднее значение любой функции , зависящей от энергии электрона:

          .        (6.9)

При Т = 0 К приближенный расчет становится точным, так как все электроны в зоне проводимости металла будут располагаться ниже уровня Ферми.

При радиоактивном распаде уменьшение количества ядер в образце за небольшой промежуток времени  пропорционально количеству атомов и этому промежутку времени: . Интегрируя это выражение, приходим к закону радиоактивного распада:

                                 ,                             (6.10)

где l – постоянная распада.

   Из формулы (6.10) следует, что число ядер, распавшихся в промежуток времени от  до  равно

                                 .            (6.11)

   Периодом полураспада называется время, за которое распадается половина первоначального количества радиоактивных ядер. Используя формулу (6.10), можно показать, что

                                        .                          (6.12)

   Среднее время жизни ядра можно рассчитать по формуле

                                             (6.13)

Использование понятия периода полураспада и вида закона распада (6.10) возможно только для образцов с огромным количеством ядер, так как явление распада процесс вероятностный и необходимо применять статистические методы расчета.

Ядерной реакцией называется столкновение материнского ядра с другим ядром или частицей, в результате которого возникает другое дочернее ядро или частицы. При рассмотрении ядерных реакций используются следующие точные законы сохранения:

   1) закон сохранения энергии;

   2) закон сохранения импульса;

   3) закон сохранения момента импульса;

   4) закон сохранения электрического заряда;

   5) закон сохранения барионного заряда;

   6) закон сохранения лептонных зарядов.

   Барионный заряд  это разность числа барионов и антибарионов в системе. Барионы это семейство элементарных частиц с полуцелым спином, участвующих в сильных взаимодействиях. К этому классу, например, относятся протоны и нейтроны, то есть нуклоны. Кроме нуклонов выделяют группы -, -, -, - и -барионы.

   Лептоны это фундаментальные частицы с полуцелым спином, не участвующие в сильном взаимодействии. Существует три поколения лептонов:

• первое поколение: электрон  и электронное нейтрино
• второе поколение: мюон  и мюонное нейтрино
• третье поколение: тау-лептон  и таонное нейтрино

(плюс соответствующие античастицы).

   Ранее считалось, что каждое поколение лептонов обладает своим лептонным зарядом , , , — иными словами, лептон может возникнуть только вместе с антилептоном из своего поколения, так, чтобы разность количества лептонов и антилептонов каждого поколения в замкнутой системе была постоянной. Эта разность называется электронным, мюонным или таонным числом, в зависимости от рассматриваемого поколения. Лептонное число лептона равно =+1, антилептона — −1.

 

   6.1. В некоторой подоболочке (А)некоторой полностью заполненной оболочки атома находится в k =1,4 раза больше электронов, чем в соседней подоболочке (В)из этой же оболочки. Во сколько раз больше орбитальный магнитный момент электрона из подоболочки B, чем его собственный (спиновый) магнитный момент.            Ответ: в 1,41 раза

   6.2. В некотором атоме конфигурация электронных оболочек имеет вид: 1s²2s²p⁶3s²p⁶d¹⁰4s²p⁶d¹⁰f⁸5s²p⁶. Определить максимальную возможную величину суммарной проекции орбитальных моментов импульса всех его электронов на выделеное направление. Принять  Дж×с.                          Ответ: 12×10^–34 Дж×с

   6.3. Узкий пучок атомов водорода вылетает из источника, нагретого до температуры Т = 500 К. Пучок расщепляется в поперечном неоднородном магнитном поле с градиентом   пролетая в этом поле в продольном направлении расстояние = 1 м и попадая на экран, поставленный перпендикулярно к направлению нерасщеплённого пучка. Найти расстояние s между точками на экране: в которые попадают атомы пучка.

Ответ:

   6.4. Сколько различных спектральных линий будет наблюдаться в спектре возбуждённых атомов, находящихся во внешнем магнитном поле, если электроны совершают переходы из состояния с главным квантовым числом n = 3 в состояние с главным квантовым числом n=2? Спиновыми эффектами пренебречь.

 Ответ: 9 различных линий: триплеты 3p ® 2s, 2p ® 3s, 3d ® 2p.

   6.5. Средняя величина скорости свободного электрона в решётке проводника при Т = 0 К равна м / с. Определить среднюю энергию такого электрона (в эВ).

Ответ:  эВ.

   6.6. В музей принесли две античные деревянные скульптуры. Анализ показал, что в одной из них содержится в 10 раз больше атомов изотопа калия с периодом полураспада 900 лет. Этот изотоп образуется только в растущей древесине. Что можно сказать о ценности обеих скульптур? Ответ: одна из них действительно античная.

Качественные задачи

   6.7к. Закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на возможные переходы электрона в атоме с одного уровня на другой (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис.) запрещенным переходом является...

а)       

б)     

в)       

г)

 

   6.8к. В закрытой колбе в начальный момент находилось 20 ядер радоактивного вещества. Через 10 секунд распалось 10 ядер. Сколько ядер останется в колбе еще через 10 секунд?

Ответ: любое количество от 0 до 10.

   6.9к. Постоянная распада изотопа радия  равна . Число радиоактивных ядер уменьшится в  раз  за время... а) 0,0014 с б) 96 с в) 0,01 с г) 0,0028 с

   6.10к. В центральной части атома, занимая небольшой объем и обладая его основной массой, находится положительно заряженное ядро. Неверным является утверждение, что...

а) масса ядра равна сумме масс образующих ядро нуклонов

б) ядерные силы, удерживающие ядро, обладают зарядовой независимостью

в) протоны, входящие в состав ядра, определяют его заряд

г) наиболее устойчивы ядра с четными числами протонов и нейтронов

   6.11к. В ядерной реакции  буквой  обозначена частица...

а) нейтрон б) позитрон в) электрон г) протон

   6.12к. Реакция  не может идти из-за нарушения закона сохранения...

а) лептонного заряда             б) барионного заряда

в) спинового моента импульса г) электрического заряда

   6.1 3 к.  Нуклоны в ядре взаимодействуют посредством обмена виртуальными частицами. Процесс их образования соответствует схеме...

а)     б)     в)    г)

   6.14к. Известно четыре вида фундаментальных взаимодействий. В одном из них выполняются все законы сохранения; оно характеризуется сравнительной интенсивностью, равной 1; радиус его действия составляет  м. Все перечисленное относится к ________ взаимодействию.

а) сильному

б) гравитационному

в) электромагнитному

г) слабому

   6.15к. Собственная функция электрона в атоме водорода  содержат три целочисленных параметра  и . Параметр  называется главным квантовым числом, параметры  и  – орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно. Магнитное квантовое число  определяет...

а) проекцию орбитального момента импульса электрона на некоторое направление

б) модуль собственного момента импульса электрона

в) модуль орбитального момента импульса электрона

г) энергию электрона в атоме водорода.

       

Задачи для самостоятельной работы.

   6.1с. В p -подоболочке некоторой полностью заполненной оболочки атома находится k = 12% электронов из всей оболочки. Найти максимальную возможную величину проекции орбитального магнитного момента электрона в этой оболочке.

   6.2с. В некотором атоме конфигурация электронных оболочек имеет вид: 1s²2s²p⁶3s²p⁶d¹⁰4s²p⁶d¹⁰f⁴5s²p⁶. Определить максимальную возможную величину суммарной проекции орбитальных моментов импульса всех его электронов на выделеное направление. Принять  Дж×с.

   6.3с. Пучок атомов водорода, находящихся в одном и том же возбуждённом состоянии, расщепляется в неоднородном магнитном поле с | grad B | = 100 Тл / м на 15 отдельных пучков. Найти максимальную величину силы, действующей на отдельный атом в таком поле и величину орбитального магнитного момента электрона в нём. Спиновыми эффектами пренебречь.

   6.4с. Найти отношение среднего квадрата энергии к квадрату средней энергии  для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К.

   6.5с. Радиоактивный образец, содержащий N = 6,4×10²⁰ ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Среднее время жизни этого изотопа равно t= 2 мин. Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от  = 1 мин до  = 3 мин?

   6.6 c к. Реакция  не может идти из-за нарушеия закона сохранения...

а) лептонного заряда             б) барионного заряда

в) спинового моента импульса г) электрического заряда