Поляризация света. Фотон. Фотоэффект. Эффект Комптона.

План занятий.

1. Разбор вопросов студентов по домашнему заданию.

2. Решение типовых задач на доске.

3. Самостоятельное решение студентами некоторых задач на занятии и подведение итогов.

4. Формулировка домашнего задания.

 

Темы занятий.

1. Интерференция света.

2. Дифракция света.

3. Поляризация света. Фотон. Фотоэффект и эффект Комптона.

4. Контрольная работа из 4 задач по темам, рассмотренным на первых трех занятиях.

5. Законы теплового излучения. Волны де Бройля. Волновая функция.

6. Стационарное уравнение Шредингера. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме. Одномерный гвантовый гармонический осциллятор. Спектральные серии атома водорода.

7. Заполнение электронных оболочек атомов. Расчет средних величин. Закон радиоактивного распада.

8. Контрольная работа из 4 задач по темам, рассмотренным на 5-7 занятиях.

Занятие 1.

Интерференция света.

   Рассмотрим две бесконечные параллельные нити  и  на расстоянии  друг от друга (рис.1), которые создают переменные электрические поля с одинаковой циклической частотой w:

           и ,          (1.1)

где  и  амплитуды, а  и  начальные фазы колебаний. Такие нити являются источниками цилиндрических электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве со скоростью света. В точке А на экране, удаленном на расстояние  от источников, наложатся две волны с разными фазами  и :

 

    и , (1.2)

где  – волновое число,  – длина волны в вакууме,  – показатель преломления среды.

   Если разность фаз колебаний  и  в точке А не зависит от времени, т.е. , то такие волны называются когерентными и на экране вблизи оси симметрии О будет наблюдаться интерференционная картина – чередующиеся полосы освещенности.

   При различных значениях разности фаз могут возникать светлые полосы (условие максимума) или темные полосы (условие минимума).

   Условие максимума                               (1.3)

   Условие минимума               ,        (1.4)

где  – порядок максимума.

   Часто в задачах волновой оптики рассматривают случай, когда начальная фаза колебаний источников одинакова. В этом случае выражение для разности фаз колебаний в точке А упрощается:

                                         (1.5)

где                                                                      (1.6)

называется оптической разностью хода двух волн.

   Подставляя (1.5) в (1.3) и (1.4) можно получить условия максимума и минимума в другом виде:

   Условие максимума       .                      (1.7)

   Условие минимума        .               (1.8)

   Частным случаем интерференционной задачи является схема Юнга (рис.1), отличие которой от других заключается только в том, что расстояние до экрана намного больше растояния между источниками  и расчет разности хода (1.6) упрощается:

                    (1.9)

   Подставляя (1.9) в (1.7) можно вычислить координату светлой полосы на экране:

                                                            (1.10)

где  номер светлой полосы. Полоса с номером  называется центральной.

   Характеристикой интерференционной схемы Юнга является ширина полосы или расстояние между соседними светлыми или темными полосами с номерами m и m + 1

                                             (1.11)

   Вторым частным случаем интерференции двух волн является интерференция в тонких пленках, когда в результате отражения от двух поверхностей пленки образуется две когерентные волны.

Если волна падает на тонкую плоскопараллельную пластину толщины  под углом a, то отраженные от двух поверхностей под тем же углом a волны будут параллельны и сфокусированные хрусталиком, будут интерферировать на сетчатке глаза. Такой случай называется интерференцией равного наклона. Используя закон преломления и отражения, можно рассчитать разность хода отраженных от пластины лучей:

                  ,          (1.12)

где  – показатель преломления пластины.

   При отражении от границы с оптически более плотным веществом волна скачком меняет свою фазу на p, что эквивалентно приобретению дополнительного оптического хода .

   Различное сочетание показателей преломления  и  сред, разделенных пластиной с показателем преломления , может привести к двум вариантам выражения (1.12).

   1) Второе слагаемое отсутствует в случае  и  или  и  (например тонкая пленка бензина на поверхности жидкости, или тонкая пленка, напыленная на объектив фотоаппарата)

   2) Второе слагаемое присутствует в случае , и  (пример: мыльная пленка в воздухе) или  и  (пример: тонкий воздушный зазор между двумя стеклянными пластинами).

   Если угол падения на пластину равен a = 0, то выражение для разности хода (1.12) упрощается:

                                                          (1.13)

   Если тонкая пленка имеет в разных местах разную толщину, то разность хода отраженных волн (1.13) может удовлетворять условию максимума (1.7) в разных точках А и С (рис.1.3). Такой случай называют интерференцией равной толщины.

   Примером таких пленок может служить клинообразный зазор между стеклянной плосковыпуклой линзой, положенной на стеклянную пластинку. Этот зазор может быть воздушный или заполняется жидкостью с показателем преломления n. В результате около точки соприкосновения при увеличении, например под микроскопом, можно наблюдать интерференционную картину в виде светлых чередующихся колец (кольца Ньютона).

   Используя совместно (1.7), (1.8), (1.13) и рис.1.4, можно найти выражения для радиусов темных и светлых колец Ньютона с порядковым номером m = 1,2,3...:

Таблица 1

	В отраженном свете	В проходящем свете
светлые кольца (максимум)	(1.14)	(1.15)
темные кольца (минимум)	(1.14а)	(1.15а)

 

   1.1. Точечные источники 1 и 2 испускают световые волны с одинаковой частотой Гц. Вблизи источников их световые векторы колеблются в одной плоскости по законам  и  соответственно. При каком наименьшем расстоянии L  между источниками глаз справа от источника 2 не увидит испущенный свет? Скорость света м/с. Ответ:

   1.2. Расстояние между двумя точечными когерентными источниками монохроматического света с частотой Гц равно 2d = 2 мм. Расстояние до экрана L = 4 м. На сколько полос сместится интерференционная картина в центре экрана, если на пути одного из лучей поставить тонкую стеклянную пластинку толщины h = 20 мкм с показателем преломления n = 1,5? Скорость света в воздухе с = 3^.10 ⁸ м/с. Чему равна ширина одной интерференционной полосы?

Ответ: на  = 20 полос; мм.

   1.3. На плоскопараллельную пленку толщиной d с показателем преломления n = 1,3, находящуюся в воздухе, падает под углом a=30° параллельный пучок лучей белого света. Определить при какой наименьшей толщине пленки (в мкм) зеркально отраженный свет наиболее сильно окрасится в желтый свет (l_ж = 0,6 мкм). Ответ:0,125 мкм

   1.4. На стеклянную линзу объектива фотоаппарата с показателем преломления n _c = 2 нанесена тонкая прозрачная просветляющая плёнка с показателем преломления n _п = 1,4. При какой наименьшей толщине d этой плёнки доля отражённого от объектива света будет минимальной?

Ответ: мкм, где  нм.

   1.5. На мыльную плёнку с показателем преломления n = 1,33, образующую клин с очень малым углом , практически нормально падает плоская световая волна с  нм. Ширина наблюдаемых в отражённом свете на поверхности плёнки интерференционных полос  мм. Найти величину угла .

Ответ:

   1.6. На плоскопараллельной стеклянной пластинке лежит тонкая плосковыпуклая линза из того же стекла с показателем преломления  = 2. Пространство между лин­зой и пластинкой залито прозрачной жидкостью с показателем преломления n = 1,3. Радиус выпуклой поверхности линзы R = 20 см. На линзу сверху нормально падает плоская световая волна. Чему равна длина волны l света, если радиус третьего светлого кольца Ньютона в отражённом свете  =0,5 мм? Чему равен радиус третьего тёмного кольца   в проходящем через систему свете? Ответ:  нм; r_т  = 0,5 мм.

Качественные задачи

   1.7к. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуды и начальные фазы колебаний равны: = 3 см,  = 0; 1 см, ;  2 см, . Амплитуда и фаза результирующего колебания соответственно равны...

а)  см;      б) 6 см;     в) 2 см; 0 г)  см;

   1.8к. На рисунке представлена "фотография" электрической составляющей электромагнитной волны, переходящей из среды 1 в среду 2 перпендикулярно границе раздела АВ. Напряженность электрического поля в первой и второй среде изменяется согласно уравнениям:

 и

.

Относительный показатель преломления двух сред равен...

а) 1,6 б) 1,5 в) 0,6 г) 1

   1.9к. Два гармонических осциллятора, колеблющихся с одинаковыми частотой и начальной фазой, находятся на расстоянии  друг от друга, где l – длина волны излучения. Расстояние  до точки наблюдения М много больше расстояния  между осцилляторами. Амплитуда результирующей волны максимальна при угле излучения j, равном... а) 10° б) 60° в) 30° г) 45°

 

Задачи для самостоятельной работы.

   1.1с. На тончайшую плоскую стеклянную пластинку с показателем преломления n_с =1,8, находящуюся в воздухе, с показателем преломления n _в = 1, падает нормально белый свет. Пластинка в наименьшей степени отражает лучи красного света с длиной волны _к = 700 нм, и при этом условии толщина пластинки d минимальна. Слой какой толщины d надо сошлифовать с пластинки, чтобы она в наименьшей степени стала пропускать синий свет с длиной волны _с = 500 нм?

   1.2с. В опыте Юнга на пути каждого интерферирующего луча перпендикулярно поместили тонкие стеклянные пластинки толщиной  = 1 мкм и  = 3 мкм с одинаковым показателем преломления n. При этом центральная светлая полоса сместилась на две полосы. Найти показатель преломления n, если длина волны равна l = 0,5 мкм.

   1.3с. Луч белого света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n = 2 под углом . Наблюдатель видит отражённый от плас­тинки свет максимально окрашенным в зелёный цвет с длиной волны нм. На какой угол следует повернуть пластинку, чтобы наблюдатель видел интерференционный максимум отражённого синего цвета  нм того же самого порядка? 

   1.4с. Монохроматический свет с длиной волны l = 500 мкм падает нормально на поверхность воздушного клина с некоторым углом a, образованном в стекле с показателем преломления n _с = 2. При этом расстояние между интерференционными полосами, наблюдаемыми в отраженном свете, равно D х ₁ = 0,1 мм. Определить расстояние между интерференционными полосами (в мм), если воздушное пространство клина заполнить жидкостью с показателем преломления n _ж = 1,33.

   1.5с. Диаметры двух светлых колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, соответственно равны = 1 мм и = 1,192 мм. Между этими кольцами расположено еще три светлых кольца. Найти порядковый номер кольца с диаметром .

 

Занятие 2

Дифракция.

   Дифракционная решетка – это плоская прозрачная пластинка, на которую нанесены непрозрачные параллельные полосы равной ширины через равные промежутки. Расстояние между соседними щелями d называется периодом решетки (или постоянной решетки).

   Если на дифракционную решетку падает монохроматический свет с длиной волны l под углом j₀ к нормали (см. рис.2.1), то за ней можно наблюдать перераспределение интенсивности света под разными углами j. Для некоторых значений угла j выполняется условие максимума:

                                 ,                    (2.1)

где  порядковый номер главного максимума.

   Если свет падает на дифракционную решетку нормально, то условие максимума упрощается:

                                 .                                   (2.2)

   В этом случае на экране видна симметричная картина освещенности, в центре которой располагается центральный глав­ный максимум. По бокам видны максимумы 1-го, 2-го и т.д. порядков попарно. Таким образом всего можно увидеть  главных максимумов, где  – самый большой порядок максимума, который определяется из следующего условия:

                         .                            (2.3)

   Как видно из рис.2.2 интенсивность спектра любого порядка одинакова. Такая картина справедлива только в случае бесконечно узких щелей.

   Если плоская волна с длиной l нормально падает на узкую щель шириной а в плоском бесконечном непрозрачном препятствии, то на экране, расположенном параллельно этому пре­пятствию на расстоянии , будет наблюдаться дифракционная картина (см. рис.2.3). Условие главных минимумов интенсивности I выглядит следующим образом:                                ,                            (2.4)

где  – порядок главного минимума, j – угол дифракции (см.рис.2.3).

   Если на дифракционную решетку падает свет с разными длинами волн, то максимум освещенности для каждой длины волны наблюдается под разными углами, и дифракционные картины налагаются друг на друга. При падении белого света на экране вместо одиночных пиков одного цвета виден набор сплошных спектров разного порядка. По критерию Рэлея два пика интенсивности еще можно увидеть раздельно, если минимум первого пика совпадает с максимумом второго, т.е можно различить две волны, если их длины отличаются не менее, чем на . Отношение

                                                                        (2.5)

называется разрешающей способностью дифракционной решетки. Ясно что, чем больше число щелей, тем лучше разрешающая способность решетки.

   Пусть точка наблюдения  находится на оси небольшого круглого отверстия в непрозрачном листе на расстоянии b от его центра (см. рис.2.4). Если на отверстие падает монохроматическая волна с длиной l, то отверстие открывает только   зон Френеля. При этом, если отверстие открывает четное количество зон Френеля (m = 2, 4, 6...), то в точке Р будет наблюдаться минимум освещенности, если нечетное (m = 1, 3, 5...) – максимум. В зависимости от формы волновой поверхности меняется способ расчета радиуса зоны Френеля.

   Если в точку  на оси отверстия на расстоянии а  от его центра (см. рис.2.4) поместить точечный источник света, то радиус зоны Френеля с порядковым номером m рассчитывается по формуле:

          ,         (6.1)

   Если же на ту же преграду будет падать плоская световая волна (см. рис.2.5), то радиус зоны Френеля будет находиться по формуле:

 

          ,        (6.2)

 

   2.1. Плоская световая волна с l = 600 нм падает под углом a = 30 ⁰ на плоскую про зрачную плёнку ширины l = 6 см, на которой равномерно нанесено N = 5^. 10⁴ тонких параллельных штрихов. Под каким углом b к нормали будет виден за пластинкой первый главный интерференционный максимум?

Ответ: .

   2.2. Радиопередатчик состоит из большо­го числа точечных излучателей, испускаю­щих радиоволну с l = 6 мм в одной фазе. Расстояния между соседними излучателями одинаковы и равны d = 2,1 см. В скольких направлениях излучает данный передатчик?

       Ответ: в 14 разных направлениях

   2.3. На плоскую дифракционную решётку с периодом   d =3 мкм нормально падает плоская световая волна с l = 500 нм. Ширина каждой щели в решётке а = 1 мкм. Сколько интерференционных максимумов можно наблюдать за решёткой?

Ответ: 9 максимумов

   2.4. На узкую прорезь ширины а = 0,5 мм в непрозрачном экране падает нормально плоская световая волна с l = 500 нм. За прорезью на удалении b = 5 м от неё стоит стенка-экран. Во сколько раз ширина дифракционного изображения щели на стенке-экране больше ширины геометрического изображения?

Ответ: в  раз.

   2.5. На узкую щель-прорезь ширины а = 2 мм в непрозрачной плоской преграде падает нормально плоская световая волна с l = 600 нм. За прорезью установлена тонкая линза с фокусным расстоянием F = 1 м, а в её фокальной плоскости – экран. (Оптическая ось линзы совпадает с направлением падающей волны). Найти расстояние D x между первым и вторым дифракционными минимумами на экране.             Ответ:  мм.

   2.6. Определите разность длин волн, разрешаемых дифракционной решеткой длиной l = 2,5 см, для света с длиной волны l = 0,5 мкм в спектре второго порядка. Постоянная решетки равна d = 5 мкм.             Ответ: 50 пм

   2.7. Расстояние от точечного источника монохроматического света S до экрана равно L = 4 м. Если посредине между источником и экраном поставить плоское непрозрачное препятствие с вырезанным в нём круглым отверстием (ось отверстия проходит через точку S), то в центральной точке Р экрана наблюдается самая большая освещённость. На какое расстояние x надо сдвинуть препятствие с вырезом в сторону источника света (или в сторону экрана), чтобы освещённость в точке Р стала самой малой? Ответ:  м.

 

Качественные задачи

   2.8к. Постоянная дифракционной решетки равна 2 мкм. Наибольший порядок спектра желтой линии натрия l=589 нм равен...

   2 .9к. На диафрагму с круглым отверстием радиусом 1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны 0,5 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, на расстоянии 1 м помещают экран. В центре экрана в точке М будет наблюдаться...

а) темное пятно, так как в отверстии укладывается 2 зоны Френеля

б) светлое пятно, так как в отверстии укладывается 3 зоны Френеля

в) светлое пятно, так как в отверстии укладывается 5 зоны Френеля

г) темное пятно, так как в отверстии укладывается 4 зоны Френеля

Задачи для самостоятельной работы.

   2.1с. Белый свет падает нормально на плоскую одномерную дифракционную решётку. Максимум 4-го порядка для света с длиной волны l ₂ = 600 нм виден за решёткой под вдвое большим углом, чем максимум 4-го порядка для света с длиной волны l ₁ = 500 нм. Найти период решётки.

   2.2с. Плоская электромагнитная волна с длиной l = 2 мм падает нормально на бесконечный плоский металлический лист с вырезанным в нём отверстием радиуса r = 40 см. Найти расстояние D x между точками на оси отверстия за листом, в которых интенсивность прошедшего излучения самая большая и самая маленькая.

   2.3с. Точечный источник монохромати­ческого электромагнитного излучения нахо­дится на оси отверстия с радиусом r = 6 мм, вырезанного в бесконечном металлическом листе. Детектор Д, находящийся на этой же оси за отверстием, фиксирует два последовательных минимума интенсивности излучения на расстояниях b ₁ = 40 м и b ₂ = 36 м от ме-таллического листа. Найти длину волны излучения.

   2.4с. Дифракционная решетка длины l = 1 см способна разделить в спектре третьего порядка две спектральные линии с длинами волн l₁ = 0,596 мкм и l₂ = 0,6 мкм. Найти период дифракционной решетки.

 

Занятие 3.

Качественные задачи.

   3.8к. Естественный свет с интенсивностью  падает на вход устройства, состоящего из двух скрещенных поляроидов. Между поляроидами поместили третий поляроид, ось которого составляет с осью первого угол a. Отношение интенсивности света, прошедшего через систему, к интенсивности падающего на систему равно...          а)    б)    в) 0 г)

   3.9к. На пути естественного света помещены две пластинки турмалина. После прохождения пластинки 1 свет полностью поляризован. Если  и  – интенсивности света, прошедшего пластинки 1 и 2 соответственно, и угол между направлениями оптических осей ОО и O'O' j=60°, то  и  связаны соотношением...

а)    б)    в)    г)

   3.10к.  На рисунке представлены графики зависимости интенсивности  света, прошедшего через поляризатор, от угла поворота j поляризатора для трех разных световых пучков.

 

  

          a)                                         b)                               c)

Для данных графиков верным соотношением степеней поляризации падающих на поляризатор световых волн всех трех пучков будет

1)       2)     3)    4)

   3.11к.  При освещении металла излучением с длиной волны l₀ фототок прекращается при задерживающем напряжении . Если изменить длину волны излучения в 1,5 раза, то задерживающее напряжение увеличится в 2 раза. Работа выхода электронов из металла А = 4 эВ. Задерживающее напряжение  в вольтах для излучения с длиной волны   равно...

   3.12к. Эффект Комптона наблюдается на почти свободных электронах. На рисунке показаны направления падающего фотона , рассеянного фотона  и электрона отдачи . Угол рассеяния 90°, направление движения электрона отдачи составляет с направлением падающего фотона угол j= 30°. При рассеянии импульс фотона...

а) уменьшится в  раз б) увеличится в  раз

в) уменьшится в 2 раза г) не изменится

   3.13к. В явлении Комптона энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен . Комптоновская длина волны электрона: м. Длина волны рассеянного фотона в фемтометрах  равна...

 

Задачи для самостоятельной работы.

   3.1с. Стеклянный шар с показателем преломления n _с = 1,5 находится в жидкости с показателем преломления n _ж = 1,33. В точку А шара падает луч естественного света и отражается полностью поляризованный. Найти угол j между падающим и преломленным лучами.

 

   3.2с. Степень поляризации частично поляризованного света составляет Р = 0,75. Определите отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.

   3.3с. Естественный свет интенсивностьтю I ₀ = 1 Дж/м²×спроходит последодвательно через два поляризатора П1 и П2. Угол между плоскостями поляризаторов был равен 90°, а затем он стал равен a = 45°. На сколько изменилась интенсивность света, вышедшего из поляризатора П2?  

   3.4с. Определить скорость электрона, кинетическая энергия которого равна энергии фотона с длиной волны λ = 100 мкм.

   3.5с. Определите частоту фотонов n, падающих на металл и вырывающих электроны, которые полностью задерживаются при приложении обратного напряжения U = 1 В. Фотоэффект для этого металла начинается при частоте падающего монохроматического света n_о = 10¹⁴ Гц.

   3.6с. Фотон с энергией Е = 1 МэВ рассеялся на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите угол рассеяния фотона, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской длине волны.

Занятие 4.

Качественные задачи

   4.7к. Площадь, ограниченная графиком спектральной плотности энергетической светимости r _ω,т черного тела, при переходе от термодинамической температуры Т ₁ к температуре Т ₂ увеличилась в 16 раз. Во сколько раз возросла температура?

Ответ: 2

   4.8к. На рисунке показаны кривые зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при разных температурах. Если кривая 2 соответствует спектру излучения тела при температуре 1450 К, то кривая 1 соответствует температуре (в К)...

а) 5800 К б) 2900 К в) 1025 К г) 725 К

   4.9к. Отношение длин волн де Бройля для дейтрона и a-частицы, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов равно...

   4.10к. Если позитрон, протон, нейтрон и a-частица имеют одинаковую длину волны де Бройля, то наибольшей скоростью обладает...

а) протон б) позитрон в) нейтрон г) a-частица

   4.11к. Если -функция электрона в одномерном потенциальном ящике шириной  с бесконечно высокими стенками имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке  равна

а)     б)     в)     г)

 

Задачи для самостоятельной работы.

   4.1с. Поток энергии, излучаемой из смотрового окошка плавильной печи площадью S = 10 см² равен Ф = 100 Вт. Принимая, что отверстие печи излучает, как черное тело, определить температуру печи.

   4.2с. Исследование спектра излучения некоторой звезды показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ = 100 нм. Принимая звезду за абсолютно черное тело определить ее энергетическую светимость. (ГВт/м²).

   4.3с. Электрон находится на третьей боровской орбите атома, радиус которой 0,48 нм. Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля этого электрона при переходе на четвертую орбиту? Принять  Дж×c; m = 9,1×10^–31 кг.

   4.4с. Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками имеет волновую функцию 

, где А ² = 3×10 ⁴⁶ м ^–5/2. Найти ширину ямы а.

4.5с. Найти максимальную плотность вероятности нахождения микрочастицы в одномерной потенциальной яме шириной а= 10^–9 м с бесконечными стенками, если волновая функция имеет вид . А² = 2,52×10⁸³ м^–9

Занятие 5.

Качественные задачи

   5.7к. Из предложенных утверждений:

1) уравнение стационарно;

2) уравнение соответствует трехмерному случаю;

3) уравнение характеризует состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике;

4) уравнение характеризует движение частицы вдоль оси ОХ под действием квазиупругой силы, пропорциональной смещению частицы от положения равновесия,

являются справедливыми для уравнения Шредингера

...

а) 2, 3 б) 1,4 в) 1,3 г) 1,2

   5.8к. На рисунке изображена схема энергетических уровней атома водорода. Показаны состояния с различными значениями орбитального квантового числа. Серию Бальмера дают переходы...

а)

б)

в)

г)

д)    е)

   5.9к. На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условн