Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2019-08-07 | 244 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пространстве индекса два
Линейное преобразование х ′=А х с вещественной матрицей
a 11 | a 12 | a 13 | ||
A = | a 21 | a 22 | a 23 | |
a 31 | a 32 | a 33 |
назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет условию
A = A = I,
где черточка обозначает операцию
= GA Т G,
индекс T – операцию транспонирования, G – метрический тензор,
-α | 0 | 0 | ||
G= | 0 | -β | 0 | |
0 | 0 | αβ | , |
причем a, β =±1, так что G = GT, G 2 = I и
a11 | αβa 21 | -βa 31 | ||
=GATG = | αβa1 2 | a22 | -αa3 2 | |
-βa1 3 | -αa2 3 | a33 | . |
Очевидно, что
=G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= ,
и = =G(G АТ G)TG=GGAGG=A.
Преобразование вращения в трехмерном псевдоевклидовом векторном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразование является собственным вращением, если оно сохраняет также векторное произведение двух векторов и det || A ||=1. Преобразование с det || A ||= -1 является несобственным вращением или вращением с отражением.
Пусть е 1, е 2, е 3 – любой ортонормированный базис, и пусть
х =х1 е 1+х2 е 2+х3 е 3 и х ′=х1′ е 1+х2′ е 2+х3′ е 3.
Каждое преобразование вращения задается формулами
х1′= a 11 х1+ a 12 х2 + a 13 х3,
х2′= a 21 х1+ a 22 х2+ a 23 х3,
х3′= a 31 х1+ a 32 х2+ a 33 х3
или в матричной форме
Х ′= A Х,
где для собственных вращений det (A)=1.
Так как рассматриваемая система координат является ортонормированной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, определяется системой равенств
а11а11+αβа12а12-βа13а13 | αβа11а21+а12а22-αа13а23 | -βа11а31-αа12а32+ а13а33 | ||
А = | а21а11+αβа22а12-βа23а13 | αβа21а21+а22а22-αа23а23 | -βа21а31-αа22а32+ а23а33 | =I |
а31а11+αβа32а12-βа33а13 | αβа31а21+а32а22-αа33а23 | -βа31а31-αа32а32+ а33а33 |
|
или, что равносильно,
а11а11+αβа21а21-βа31а31 | а11а12+αβа21а22-βа31а32 | а11а13+αβа21а23- βа31а33 | ||
А= | αβа12а11+ а22а21-αа32а31 | αβа12а12+ а22а22-αа32а32 | αβа12а13+ а22а23- αа32а33 | =I. |
-βа13а11- αа23а21+ а33а31 | -βа13а12- αа23а22+ а33а32 | -βа13а13- αа23а23+ а33а33 |
Любые три из коэффициентов а ik определяют все остальные. Геометрически коэффициент а ik определяет угол между базисным вектором e i и повернутым базисным вектором
e k ′= A e k = а jk e j,
а ik = ( e i e k ′ ).
Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки трехмерного псевдоевклидового пространства на угол поворота δ вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота δ, а также направляющие углы положительной оси вращения определяются формулами
Chδ= (Tr (A)-1)= (a11+ a22+ a33-1)=2λ02-1
αа23+ а32=2с1 Sh δ=4λ1λ0,
-а31-βа13=2с2 Sh δ=4λ2λ0,
βа12-αа21=2с3 Sh δ=4λ3λ0.
Либо знак угла δ, либо направление оси вращения могут выбираться произвольно.
Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами δ, с1, с2,…, с7, есть
-αс1с1 | -βс1с2 | αβс1с3 | ||
-αс2с1 | -βс2с2 | αβс2с3 | + | |
-αс3с1 | -βс3с2 | αβс3с3 |
0 | βс3 | -βс2 | ||
+ Shδ | -αс3 | 0 | αс1 | . |
-с2 | с1 | 0 |
Четыре симметричных параметра (Эйлера)
λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ,
λ02-αλ12-βλ22+αβλ32=1
-αс12-βс22+αβс32= -1
однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:
-α (λ 1 λ 1 - αλ 0 λ 0) | -β(λ1λ2- λ3λ0) | αβ(λ1λ3- αλ2λ0) | ||
А= - I+2 * | -α(λ2λ1+ λ3λ0) | -β(λ2λ2- βλ0λ0) | αβ(λ2λ3+ βλ1λ0) | . |
-α(λ3λ1+αλ2λ0) | -β(λ3λ2- βλ1λ0) | αβ(λ3λ3+αβλ0λ0) |
При этом
|
-α (λ 1 λ 1 - αλ 0 λ 0) | -β(λ 1 λ 2 + λ 3 λ 0) | αβ (λ 1 λ 3 + αλ 2 λ 0) | ||
= - I+2 * | -α (λ 2 λ 1 - λ 3 λ0) | -β (λ2λ2- βλ 0 λ0) | αβ (λ 2 λ 3 - βλ 1 λ 0) | . |
- α (λ 3 λ 1 - αλ 2 λ 0) | - β (λ 3 λ 2 + βλ 1 λ 0) | αβ (λ 3 λ 3 + αβλ 0 λ 0) |
Будем считать для определенности α=β=1. В принятом предположении
Chδ = (Tr (A)-1)= (a11+ a22+ a33-1)=2λ02-1
βа23+ а32=2с1 Sh δ=4λ1λ0,
-а31-βа13=2с2 Sh δ=4λ2λ0,
βа12-βа21=2с3 Sh δ=4λ3λ0.
-βс1с1 | -βс1с2 | с1с3 | 0 | βс3 | -βс2 | |||
-βс2с1 | -βс2с2 | с2с3 | +Shδ | -βс3 | 0 | βс1 | . | |
-βс3с1 | -βс3с2 | с3с3 | -с2 | с 1 | 0 |
Четыре симмметричных параметра (Эйлера)
λ02-λ12-βλ22+λ32=1,
-βс12-βс22+с32 = -1,
однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:
-β (λ 1 λ 1 - β λ 0 λ 0) | -β(λ1λ2- λ3λ0) | λ1λ3 -βλ2λ0 | ||
-β(λ2λ1+ λ3λ0) | -β(λ2λ2-βλ0λ0) | λ2λ3+βλ1λ0 | ||
-β(λ3λ1+βλ2λ0) | -β(λ3λ2-βλ1λ0) | λ3λ3+ λ0λ0 | , |
при этом
-β (λ 1 λ 1 - β λ 0 λ 0) | -β(λ1λ2+ λ3λ0) | λ 1 λ 3 +β λ 2 λ 0 | ||
= - I+2 * | -β(λ 2 λ - λ 3 λ0) | -β(λ2λ2 - β λ 0 λ0) | λ2λ3 - β λ1λ0 | |
-β(λ3λ1 -β λ2λ0) | -β(λ3λ2 +β λ1λ0) | λ3λ3+ λ0λ0 | , |
а параметры λ 0, λ 1, λ 2, λ 3 и– λ 0, – λ 1, – λ 2, – λ 3 представляют одно и то же вращение.
Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:
1 | 0 | 0 | |
А1(φ)= | 0 | Ch φ | β Sh φ |
0 | Sh φ | Ch φ |
Chφ | 0 | -βShφ | |
А 2 (φ)= | 0 | 1 | 0 |
-Shφ | 0 | Chφ |
cos φ | β sin φ | 0 | ||
А 3 (φ)= | -β sin φ | cos φ | 0 | |
0 | 0 | 1 | . |
Заметим, что
А i (- φ), i = 1, 2, 3.
Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц
в частности, так:
А= A 3 (φ 1)A2(φ2)A3(φ3) =
cos φ 1 | βsinφ1 | 0 | Chφ2 | 0 | -βShφ2 | cosφ3 | βsinφ3 | 0 | ||||
= | -βsinφ1 | cosφ1 | 0 | * | 0 | 1 | 0 | * | -βsinφ3 | cosφ3 | 0 | = |
0 | 0 | 1 | -Shφ2 | 0 | Chφ2 | 0 | 0 | 1 |
|
cos φ 1 Ch φ 2 cos φ 3 - sin φ 1 sin φ 3 | βcos φ 1 Ch φ 2 sin φ 3 +βsin φ 1 cos φ 3 | - βcos φ 1 Sh φ 2 | ||
= | - βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3 | -sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3 | sin φ 1 Sh φ 2 | . |
-Shφ2cosφ3 | -βShφ2sinφ3 | Ch φ 2 |
Три угла (Эйлера) φ1, φ2, φ3, однозначно определяют вращение; в свою очередь они однозначно определяются данным вращением за исключением случая, когда φ2=0 (карданов подвес).
Обратное вращение А-1= (переводящее вектор х ′ в исходный вектор х) представляется матрицей
=A3(- φ 3)A2(- φ2)A3(- φ 1) =
cosφ 1 Chφ 2 cosφ 3 - sinφ 1 sinφ 3 | -βsinφ 1 Chφ 2 cosφ 3 -βcosφ 1 sinφ 3 | βShφ 2 cosφ 3 | ||
= | β cosφ 1 Chφ 2 sinφ 3 +β sinφ 1 cosφ 3 | -sinφ 1 Chφ 2 sinφ 3 + cosφ 1 cosφ 3 | Shφ 2 sinφ 3 | …. |
cosφ 1 Shφ 2 | - βsinφ 1 Shφ 2 | Chφ 2 |
Существуют шесть способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг двух различных осей координат. Кроме того, существует шесть способов представления матриц вращения в виде произведения вращений вокруг трех различных осей координат, в частности, так:
1 | 0 | 0 | Chφ2 | 0 | -βShφ2 | cosφ3 | βsinφ3 | 0 | ||||
A=A1(φ1) A2(φ2) A3(φ3)= | 0 | Chφ1 | βShφ1 | 0 | 1 | 0 | -βsinφ3 | cosφ3 | 0 | = | ||
0 | Shφ1 | Chφ1 | -Shφ2 | 0 | Chφ2 | 0 | 0 | 1 |
Chφ2cosφ3 | -βChφ2sinφ3 | -βShφ2 | ||
= | -βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3 | -Shφ1Shφ2sinφ3+Chφ1cosφ3 | βShφ1Chφ2 | |
-Chφ1Shφ2cosφ3-βShφ1sinφ3 | -βChφ1Shφ2sinφ3+Shφ1cosφ3 | Chφ1Chφ2 |
при =A 3 (- φ 3) A2(- φ2) A 1 (- φ 1) =
Chφ2cosφ3 | -βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3 | βChφ1Shφ2cosφ3+ Shφ1sinφ3 | ||
= | -βChφ2sinφ3 | -Shφ1Shφ2sinφ3+ Chφ1cosφ3 | Chφ1Shφ2sinφ3-βShφ1cosφ3 | . |
Shφ2 | -Shφ1Chφ2 | Chφ1Chφ2 |
Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два
Преобразование Х′=АХ назовем представлением преобразования вращения, если его матрица
|
A= | a 11 | a 12 |
a 21 | a 22 |
комплексна и удовлетворяет условию
A = A = I,
где черточка обозначает операцию
= GA * G,
индекс * – операцию эрмитового сопряжения, а G -метрический тензор
G= | 1 | 0 | |
0 | -β | . |
причем β = ±1, так что G = G *, G 2 = I и
= GA * G = | 11 | -β 21 | |
-β 12 | 22 | . |
Очевидно, что
=G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= ,
и = =G(G А *G)*G=GGAGG=A.
Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает групповыми свойствами.
1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.
Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2; произведение их есть преобразование с матрицей А=А2А1. На основании правил перемножения матриц мы можем написать тождество
А =(А2А1)()=(А2А1)( )= А2(А1 ) .
Отсюда вследствие равенства A = I имеем:
A = А2 I = I.
Тем самым требуемое доказано.
2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является преобразованием вращения.
Действительно, пусть А -матрица некоторого преобразования вращения и В= А-1 - матрица преобразования, обратного ему. Из условия A = I следует, что = А-1. Таким образом В= . Отсюда
В = ()= А= А-1А= I.
Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность преобразований вращения есть группа.
Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям:
А = | а11 11 -β 12 а12 | а12 22 -β 21 а11 | = I, |
а21 11 -β 12 а22 | а22 22 -β 21 а21 |
равным I.
Этим условиям можно придать форму отличную от этой формы
А= | 11 а11-βа21 21 | -β 21 а22+а12 11 | = I, |
-β 12 а11 +а21 22 | 22 а22-βа12 12 |
также равной I. Эти системы равенств равносильны.
Любые два из четырех комплексных коэффициентов а ik определяют все остальные. Более того, они дополнительно связаны соотношением унимодулярности (определитель матрицы А равен ±1), так что два комплексных коэффициента а ik полностью определяются лишь тремя вещественными параметрами.
Если задан ортонормированный базис е 1, е 2, е 3, то каждый действительный вектор х =х1 е 1+х2 е 2+х3 е 3 может быть представлен (вообще говоря, комплексной) матрицей размера 2х2
Х = | -β x3 | - β(x1 - ix2) | = | x1 Е 1 + x2 Е 2 + x3 Е 3, |
x1+ix2 | β x3 |
где спиновые матрицы (Паули)
Е 1 = | 0 | - β | , | Е 2 = | 0 | β i | , | Е 3 = | -β | 0 | |
1 | 0 | i | 0 | 0 | β |
соответствуют базисным векторам е 1, е 2, е 3. Это соответствие является изоморфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа.
Для каждого вращения вектор вращения х ′=х1′ е 1+х2′ е 2+х3′ е 3 представляется матрицей
Х ′= x 1 ′ Е 1+ x 2 ′ Е 2+ x 3 ′ Е 3=А Х ,
где А – (вообще говоря, комплексная) 2х2 матрица с определителем равным 1:
|
А = | β b | = | a | -β b | ||
a | - | , |
где
a = λ 0 - i β λ 3, b = λ 2 + i λ 1,
| a |2-β| b |2= λ 0 2 -β(λ 1 2 + λ 2 2)+ λ 3 2 =1.
А = | | a |2-β| b |2 | 0 | = I. |
0 | | a |2-β| b |2 |
Комплексные числа a, b определяют соответствующее вращение однозначно, но a, b и - a, - b (а потому матрицы А и -А) описывают одно и тоже вращение. Числа a, b и , называются параметрами (Кэли-Клейна) данного вращения.
Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:
А1(φ)= | Ch (φ/2) | i β Sh (φ/2) |
- iSh (φ/2) | Ch (φ/2) |
А2(φ)= | Ch (φ/2) | β Sh (φ/2) |
Sh (φ/2) | Ch (φ/2) |
А3(φ)= | cos (φ/2)+ i β sin (φ/2) | 0 | = | е iβφ/2 | 0 | . |
0 | cos(φ/2)- i β sin (φ/2) | 0 | е -iβφ/2 |
Каждая матрица А, описывающая представление вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц
в частности, так:
А= A 3 (φ 1) A 2 (φ 2) A 3 (φ 3) =
= | е iβ ( φ 1) /2 | 0 | Ch(φ2/2) | βSh(φ2/2) | еiβ(φ3)/2 | 0 | = | ||
0 | е –iβ(φ1)/2 | Sh(φ2/2) | Ch(φ2/2) | 0 | е –iβ(φ3)/2 |
= | Ch (φ 2 /2)е iβ ( φ3+φ1)/2 | β Sh (φ 2 /2)е –iβ ( φ3-φ 1) /2 | . |
Sh (φ 2 /2)е iβ ( φ3-φ 1) /2 | Ch (φ 2 /2)е –iβ ( φ3+φ 1) /2 |
С другой стороны
А = | β b | = | λ 0 + i β λ 3 | β (λ 2 + i λ 1) | , | |
a | λ 2 - i λ 1 | λ 0 - i β λ 3 |
так что
λ0= Ch (φ2/2) cos ((φ3+φ1)/2), λ2= Sh (φ2/2) cos ((φ3-φ1)/2),
λ3= Ch (φ2/2) sin ((φ3+φ1)/2), λ1= -β Sh (φ2/2) sin ((φ3-φ1)/2),
a = Ch (φ2/2) exp (- iβ (φ3+φ1)/2), b = Sh (φ2/2) exp (- iβ (φ3-φ1)/2).
Четыре параметра (Эйлера ) λ 0, λ 1, λ 2, λ 3
λ 0 2 -β λ 1 2 -β λ 2 2 + λ 3 2 =1
однозначно определяют вращение, причем условие
| a |2-β| b |2=1.
Линейные комбинации матриц I, i Е1, i Е2 и i Е3 с действительными коэффициентами образуют представление четырехмерной алгебры псевдокватернионов, скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы I, а образующие соответствуют матрицам i Е1, i Е2, i Е3, причем
-β(Е 1)2= -β(Е 2)2=(Е 3)2= I,
Е 2 Е 3 = - Е 3 Е 2= - i β Е 1, Е 3 Е 1= - Е 1 Е 3= - i β Е 2, Е 1 Е 2= - Е 2 Е 1= i Е 3.
Каждая комплексная матрица размера 2х2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации, в частности,
А =λ0I-i(λ1 Е 1 + λ2 Е 2 + λ3 Е 3),
= λ 0 I + i (λ 1 Е 1 + λ 2 Е 2 + λ 3 Е 3).
Снова матрицы А и -А определяют одно и тоже вращение однозначно.
Представление
Х ′= x 1 ′ Е 1+ x 2 ′ Е 2+ x 3 ′ Е 3=А Х
в координатной форме дает:
x 1 ′=(λ 0 λ 0 -β λ 1 λ 1 +β λ 2 λ 2 - λ 3 λ 3) x 1 -2β(λ 1 λ 2 - λ 3 λ 0) x 2 +2(λ 1 λ 3 - β λ 2 λ 0) x 3,
x 2 ′= -2β(λ 2 λ 1 + λ 3 λ 0) x 1 +(λ 0 λ 0 +β λ 1 λ 1 -β λ 2 λ 2 - λ 3 λ 3) x 2 +2(λ 2 λ 3 +β λ 1 λ 0) x 3,
x 3 ′= -2β(λ 3 λ 1 +β λ 2 λ 0) x 1 -2β(λ 3 λ 2 -β λ 1 λ 0) x 2 +(λ 0 λ 0 +β λ 1 λ 1 +β λ 2 λ 2 + λ 3 λ 3) x 3.
Таким образом, задача описания преобразований вращения вполне разрешима. Преобразования вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два существенно отличаются от преобразований вращения в трехмерном собственноевклидовом пространстве [1]. Свойства группы псевдоортогональных преобразований также существенно отличаются от свойств группы собственноортогональных преобразований. Геометрии собственноунитарной группы [2] (трехмерной собственноевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= -1. Геометрии псевдоунитарной группы (трехмерной псевдоевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= 1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: Высшая школа, 1971. – 576 с.
2. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1977. – 832 с.
УДК 514.12
©2005 г., А.В. Коротков
Векторы в четырехмерном
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!