Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев

Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описывается дифференциальным уравнением

или, после преобразования Лапласа,

,

где g(p) – входное воздействие.

Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) 0. Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения должно стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.

Если найдены корни p1, p2,..., pn характеристического уравнения , то решение однородного уравнения запишется в виде .

В каких же случаях система устойчива?

Предположим, что pk = ak – действительный корень.

Ему соответствует слагаемое ck . При ak < 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak > 0, то x(t) , когда t стремится к бесконечности;. Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t стремящемся к бесконечности,

Допустим теперь, что – комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае также будет корнем характеристического уравнения. Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида , .

При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak > 0 – колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk.

Таким образом, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak ³ 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны.

Это определение хорошо иллюстрируется геометрически. Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 15).

Рис. 15.

Если все корни лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, то система устойчива. Если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости комплексного переменного - система неустойчива. Если же корни находятся на мнимой оси и в левой полуплоскости, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему управления c одним интегрирующим звеном. В этом случае H(p) = , , а передаточная функция замкнутой системы

.

Выходной сигнал системы x(p) = W(p)g(p) или . Заметим, что характеристическое уравнение p+k=0 записывается с помощью приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы управления. В данном случае имеется один корень p1= -k < 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . Характеристическое уравнение p2 + + k = 0. Поэтому p1,2= . Система находится на границе устойчивости. В ней существуют незатухающие колебания.

 

33. Критерий устойчивости Найквиста и его логарифмический аналог.

Частотный критерий Найквиста (Nyquist H.) служит для оценки устойчивости замкнутых систем по виду амплитудно- фазочастотной характеристики разомкнуой системы, полученной теоретически или снятой экспериментально. Эта характеристика получила название «годограф Найквиста». Критерий базируется

на подсчете приращения аргумента частотной передаточной функции разомкнутой системы W(jω) представленной в алгебраической форме: W(jω) = U(ω) + jV(ω), где U(ω) – действительная часть, а V(ω) – мнимая часть.

В координатах U(ω) и jV(ω) при изменении частоты ω от 0 до ∞ строится годограф Найквиста и в зависимости от его расположения относительно точки с координатами (–1; j0) (или просто точки –1) выносится суждение об устойчивости замкнутой системы.

Для устойчивых разомкнутых статических систем критерий

Найквиста формулируется следующим образом.

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой при устойчивой разомкнутой системе, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой системы (годограф Найквиста) не охватывала точку с координатами (–1;j0).

Большинство систем как промышленного, так и специального назначения являются астатическими. Для них критерий Найквиста уточняется и принимает следующую формулировку.

Замкнутая система будет устойчивой, если годограф Найквиста, дополненный дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси и стягивающей угол (– π/2)·μ, где μ- порядок астатизма, не охватывал бы точку (–1), если характеристическое уравнение разомкнутой системы не имеет корней, лежащих в правой полуплоскости корней.

С целью пояснения данной выше формулировки приведем два примера годографов Найквиста для систем 1-го и 2-го порядка астатизма (соответственно рис.1, а и рис.1,б).

 

а) б)

Рис.1

На левом рисунке годограф системы 1-го порядка астатизма дополняется дугой бесконечного радиуса (пунктирная кривая), стягивающей угол (–π/2). При этом точка –1 располагается вне контура годографа, что дает основание считать замкнутую систему устойчивой при устойчивой разомкнутой системе. На правом рисунке изображен годограф системы 2-го порядка астатизма. Дополненный дугой (см. пунктирную кривую), стягивающей теперь угол (–π), годограф также не охватывает точку –1, что позволяет сказать, что замкнутая система будет устойчивой при устойчивой разомкнутой системе.

 

34. Динамические показатели качества систем управления и их геометрическое

толкование.

К динамическим показателям относятся: – tр – время регулирования; – s – коэффициент перерегулирования. Эти два динамических показателя определяются по переходной функции, то есть при воздействии на систему единичного скачка, и характеризуют поведение системы в переходном режиме работы. Физический смысл этих показателей иллюстрируется на рис.

Время регулирования – tр определяется отрезком времени от начала движения (t = 0) до момента, когда отклонение регулируемой координаты х(t) от её конечного значения х(∞) составит не более наперед заданной величины Δ:

|x(∞) – x(tр)| ≤ |Δ|. (9)

Время регулирования может рассматриваться как время переходного процесса, по окончании которого начинается рабочий режим. Другой динамический показатель коэффициент перерегулирования – s, определяется отношением разности максимального hmax и конечного h(¥) значений регулируемой координаты к самому конечному значению h(¥), выраженном в процентах. При принятых обозначениях (рис.) коэффициент перерегулирования s определяют по формуле:

 

 

35. Виды регуляторов и их сравнительные характеристики.

Пропорционально-дифференциальный (ПД) регулятор

Управляющее воздействие U(s), приложенное к объекту управления с передаточной функцией WO(s), определяется равенством

где кП и кД – коэффициенты пропорциональности по ошибке и её производной соответственно, а Т1 – постоянная времени. Таким образом, управляющее воздействие (1) имеет две составляющие: одну пропорциональную ошибке, другую пропорциональную скорости ошибки. Особенно эффективен этот регулятор, когда входное воздействие имеет линейно нарастающий характер. Величина ошибки в начальной стадии отработки сигнала воздействия мала, а значение производной от ошибки пропорционально скорости линейного воздействия G(s) (тангенсу угла наклона линейной функции). Когда же ошибка установится, эффект от дифференцирования сводится к минимуму.