Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-05-14 | 645 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть векторная функция r (t) определена на множестве { t }.
Говорят, что векторная функция r (t) имеет производную в точке t, если существует предел
lim (r (t+Dt)− r (t))/ Dt при Dt ®0
Обозначения: r' (t) ≡ d r (t) / dt.
Геометрический смысл производной векторной функции ясен из рис. 11.
Рис. 11. Вектор r' (t) направлен по касательной к годографу векторной функции r = r (t) в точке М
Если r' (t) ≠ 0, то существует касательная к годографу L векторной функции r (t) в точке М, отвечающей значению t параметра, и вектор r' (t) направлен по этой касательной.
Пусть j(t),y(t),χ(t) — координаты векторной функции r (t).
Если функция r (t) имеет производную в точке t, то каждая из функций j(t),y(t),χ(t) также имеет производную в точке t.
Верно и обратное: если функции j(t),y(t),χ(t) имеют производные в точке t, то и векторная функция r (t) имеет производную в этой точке.
Если каждая из функций r (t), R (t) и λ(t) имеет производную в точке t, то функции r (t)± R (t), λ(t) r (t), r (t)´ R (t), r (t) • R (t) также имеют производные в этой точке, причем выполняются следующие соотношения:
(r ± R) ' = r' ± R', (λ(t) r (t)) ' = λ(t) 'r (t) + λ(t) r (t) ',
Производная векторной функции r' (t) называется второй производной векторной функции r (t). Аналогично определяются третья и последующие производные.
Вторая и третья производные обозначаются соответственно через r "(t) и r '"(t).
Для производных n-го порядка обычно используются обозначения r ( n ) (t) или dn r (t) / dtn.
Если j(t),y(t),χ(t) — координаты векторной функции r (t), то
r (n)(t) = j(n)(t)i + y(n)(t) j + χ(n)(t) k. (2)
Если у векторной функции r (t) существуют и непрерывны все производные до порядка n включительно, то пишут r (t) Î Cn.
Пусть функция r (t) Î Cn- 1 в некоторой окрестности точки t0 и существует производная r n(t0). Тогда для r (t) справедлива формула Тейлора [2]:
|
Формула (3) получается так.
Разложим координатные функции j(t),y(t),χ(t) вектора r (t) по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано[3] o((t-t0)n)
Умножая первое соотношение на орт i, второе — на орт j, третье — на орт k, складывая и используя формулы (1) и (2), получим разложение (3).
Интеграл Римана (t)dt для векторной функции r (t), a£t£b, определяется как предел интегральных сумм.
Достаточные условия гладкости кривой
ТЕОРЕМА 1 (достаточные условия гладкости в точке).
Пусть кривая L задана векторной функцией r = r (t), имеющей в некоторой окрестности значения t0Î{t} непрерывную производную r' (t), причем r' (t0) ≠ 0.
Тогда кривая L является гладкой кривой в точке М0, отвечающей значению t0.
ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия гладкости кривой).
Пусть кривая L задана векторной функцией r = r (t), tÎ{t}, имеющей непрерывную производную r' (t). Если r' (t) ≠ 0 для любого tÎ{t}, то кривая L гладкая.
Поскольку r' (t) ≠ 0, то согласно теореме 1 кривая L является гладкой в любой своей точке. Из условия r' (t) ≠ 0 и непрерывности r' (t) следует непрерывность касательной к кривой L. Значит, L — гладкая кривая.
Регулярные кривые
Пусть гладкая кривая L задана векторной функцией r = r (t). Если r (t) Î Cn, n >2, то кривая L называется регулярной кривой (кривой класса Сп).
Достаточные условия регулярности кривой.
Для того чтобы заданная векторной функцией r (t), tÎ{t}, кривая L была регулярной, достаточно, чтобы на множестве {t} изменения параметра были выполнены следующие условия: r (t) Î Cn, n >2, r' (t) ≠ 0.
Эти условия вытекают из достаточных условий гладкости (теорема 2) и определения регулярности.
Замечание. Если производная r' (t) непрерывна и r' (t0) ≠ 0, то r' (t) ≠ 0 в некоторой окрестности, значения t0. Если, кроме того, r (t) Î Cn, n >2, на множестве {t}, то в окрестности точки М0, отвечающей значению t0, кривая L регулярная. Тем самым условия r (t) Î Cn, n >2, и r '(t0) ≠ 0 являются условиями локальной регулярности кривой.
|
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!