Определение и основные свойства — КиберПедия 

Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Определение и основные свойства

2017-05-14 558
Определение и основные свойства 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Пусть L — простая кривая, r (t), a£t£b, — ее радиус-вектор.

Разобьем сегмент [ а, b ] на части точками

а=t0 < t1,…, < tn = b

Отметим на кривой L точки Мi, отвечающие значениям ti, и построим ломаную M0M1... Мп-1Мп, вписанную в кривую L (рис. 12).

Рис. 12. Ломаная M0M1,... Мп-1Мп правильно вписана в кривую L Рис. 13. Всякую ломаную, правильно вписанную в простую кривую V, можно достроить до ломаной, вписанной в кривую L

 


Определение. Кривая L называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломаных, вписанных в простую кривую L указанным выше способом, ограничено. Точная верхняя грань этого множества называется длиной дуги кривой L или просто длиной кривой L.


Свойства длины дуги кривой.

1. Если простая кривая L ' является частью спрямляемой простой кривой L, то кривая L ' также спрямляема.

Всякая ломаная, вписанная в L ', является частью ломаной, вписанной в L (рис. 13). Поэтому множество длин ломаных, вписанных в кривую L ', ограничено, т. е. кривая L ' спрямляема.

Ясно, что длина дуги кривой L ' меньше длины дуги кривой L.


2. Если простая кривая L разбита точкой N на спрямляемые части L ' и L ", то кривая L спрямляема и для длин s(L ' ), s(L " ) и s(L) дуг кривых L ', L " и L выполняется соотношение

s(L ' ) + s(L " ) = s(L).

Рассмотрим произвольную ломаную, вписанную в кривую L (рис. 14).

Добавим к ее вершинам точку N.

Получим новую ломаную, длина которой больше длины исходной ломаной и равна сумме длин ломаных, вписанных в кривые L ' и L ".

Рис. 14. Объединение ломаных, вписанных в кривые L' и L", правильно вписано в кривую L=L'ÈL" Рис. 15. Разбиению отрезка изменения параметра соответствует вписанная в кривую ломаная

Отсюда следует, что множество длин ломаных, вписанных в кривую L, ограничено сверху числом s(L ' ) + s(L " ).

Так как мы всегда можем выбрать вписанную в кривую L и содержащую вершину N ломаную так, что ее длина будет отличаться от s(L ' ) + s(L " ) меньше чем на заданную положительную величину, то s(L ' ) + s(L " ) — точная верхняя грань длин ломаных, вписанных в кривую L.

Тем самым s(L) = s(L ' ) + s(L " ).

 

Пусть А и В — граничные точки спрямляемой кривой L, М — точка кривой L, соответствующая некоторому значению i из сегмента [ а, b ], j(t),y(t),χ(t) — координаты векторной функции r (t).

Обозначим через s(t) длину дуги кривой AM (рис. 15).

3. Функция s(t) строго монотонна и непрерывна на сегменте [ а, b ] и положительна при t > a.

Положительность s(t) очевидна.

Монотонность вытекает из свойства 2.

Доказательство непрерывности предварим вспомогательными рассмотрениями.

а) Пусть e — любое положительное число. Из определения длины дуги вытекает существование вписанной в кривую L ломаной, длина которой отличается от длины кривой L меньше чем на e /2. Естественно рассматривать ломаную, имеющую точку М одной из своих вершин.

Ясно, что и длина части этой ломаной, вписанной в кривую AM, отличается от ее длины s(t) меньше чем на e /2.

Конечно, длина любого звена рассматриваемой ломаной отличается от длины стягиваемой ею дуги меньше чем на e /2.

б) Длины звеньев ломаной со свойством а) можно считать меньше e /2. Действительно, из свойства равномерной непрерывности координат j(t),y(t),χ(t) радиуса-вектора r (t) кривой L на сегменте [ а, b ] вытекает, что по данному e >0 найдется такое положительное число d, что при разбиении сегмента [ а, b ] на частичные сегменты [ ti-1, ti ], t=1, 2, п, с длинами меньше d колебания функций j(t),y(t),χ(t) на каждом частичном сегменте [ ti-1, ti ], будут меньше e /(2Ö3). Тогда длина i-го звена ломаной будет меньше e /2:

в) Рассмотрим ломаную со свойствами а) и б). Дуга, стягиваемая произвольным звеном этой ломаной, имеет длину, меньшую e. В самом деле, по свойству а) длина такой дуги отличается от длины стягивающего ее звена меньше, чем на e /2, а по свойству б) длина любого звена меньше e /2.

Докажем теперь непрерывность функции s(t).

По данному e >0 построим ломаную со свойствами а), б), в) и соответствующее этой ломаной разбиение сегмента [ а, b ]. Пусть точка М на кривой L отвечает значению t=tk.

Обозначим через d наименьшую из длин сегментов [ tk-1,t ], [ t, tk+1 ].

Если 0<Dt<d, то s(t) < s(t+ Dt ) <s(tk+1). Отсюда вытекает, что

0 < s(t+ Dt )s(t) < s(tk+1) − s(t) < e,

так как длина дуги, стягиваемой звеном ломаной, меньше e.

Случай (−d)<Dt <0 рассматривается аналогично. Таким образом,

| s(t +Dt )s(t) |< e,

если только |Dt|< d.

В силу произвольности выбора точки М на кривой L непрерывность функции s(t) на сегменте [ а, b ] доказана. *

Пусть S — длина кривой L. Вследствие того что функция s=s(t) на сегменте [ а, b ] строго возрастает от нуля до S и непрерывна, на сегменте [0, S]существует строго возрастающая и непрерывная функция t=t(s). Это означает, что параметр t на спрямляемой кривой есть строго монотонная и непрерывная функция длины дуги s. Отсюда следует, что на спрямляемой простой кривой в качестве параметра может быть выбрана длина дуги s.

Такая параметризация спрямляемой кривой называется натуральной или естественной, а параметр s (длина дуги) — натуральным параметром.

Задача. Доказать, что для спрямляемости простой кривой L необходимо и достаточно, чтобы функции j(t),y(t),χ(t) были функциями ограниченной вариации.

Замечание. Понятие длины дуги можно ввести и для кривых, заданных параметрически. Длина дуги такой кривой по определению равна сумме длин простых кривых, из которых она составлена, при условии, что эта сумма ограничена. И в этом случае длина дуги может быть параметром на кривой.


Поделиться с друзьями:

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.016 с.