Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f (х) и g (х), то множество Е (f > g) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r_1, r₂, r₃, …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) = Е (f > r_k) Е (g < r_k),

откуда и следует лемма.

Теорема 1.  Пусть f (х) и g (х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f (х) – g (х), 2) f (х) + g (х), 3) f (х) ^. g (х), и если g (х) ¹ 0, то измерима также функция 4) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g ), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) – g(х).

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

f(х) + g(х) = f(х) – [ - g (х)].

3) Измеримость произведения f(x) ^. g(x) вытекает из тождества

f(x) ^. g(x)= {[f(x)+g(x)] -[f(x)-g(x)] }

и теоремы 7

4) Наконец, измеримость частного  есть следствие тождества

=f(x) · .

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f ₁ (x), f ₂ (x), … Если в каждой точке х Е существует (конечный или бесконечный) предел

F(x)= f_n(x),

то функция F (х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а  и введем в рассмотрение множества

А =Е(f > a + ),  В = .

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

E(F>a) = .

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть х Е (F>a), тогда F (x₀) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x₀) > a + 1/m. Поскольку же f_k (x)  F (x₀), то найдется такое n, что при k nбудет

f_k(x₀) > a + .

Иначе говоря, х₀  А  при всех k n, а тогда х₀  В  и тем более х₀ . Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

 E (F > a),

и теорема будет доказана.

 Пусть х₀ . Тогда х₀  В при некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х₀  А  для k n. Иначе говоря для k n будет f_k(x₀) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x₀)>a, т.е. x₀ ÎE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f ₁ (x), f ₂ (x), … и некоторая функция F (x). Если соотношение

                      (a)

выполняется почти везде на Е, то F (x) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X Î Е, в которых соотношение (a) не имеет места (в этих точках предела  может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.

 

 

Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.

 

В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|f – g| ³ s), Е (|f – g| < s), где f(x) и g(x) суть функции заданные не множестве Е, а s некоторое положительное число. При этом точки, в которых обе функции f(x) и g(x) принимают бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность f(x) – g(x) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся эти точки относить к множеству Е (|f – g| ³ s). При таком соглашении очевидно

Е = Е (|f – g| ³ s) + Е (|f – g| < s)

и слагаемые правой части не пересекаются.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f ₁ (x), f ₂ (x), f ₃ (x), …, которая почти во всех точках Е сходится к почти везде конечной функции f (x). Тогда, каково бы ни было s > 0, будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.

Положим

А = Е(|f| = + ¥), A_n = E(|f_n| = + ¥),      B = E (f_n не ® f)

.

Очевидно,

MQ = 0                                           (1)

Пусть, далее,

, , .

Все эти множества измеримы.

Так как R₁(s)ÉR₂(s)ÉR₃(s)É…, то, в силу теоремы 12, при n ®¥ будет

mR_n(s)®mM.                         (2)

Убедимся в том, что

MÌQ.                                       (3)

В самом деле, если , то , причем все числа f₁(x₀), f₂(x₀), … и их предел f (x₀) – конечны. Значит найдется такое n, что для k ³ n будет |f_k(x₀) – f(x₀) <  s.

Иначе говоря  (k ³ n), а потому и тем более , откуда и следует (3).

Но тогда, в силу (1), nM=0, и (2) принимает вид

                           (4)

Этим и доказана теорема, ибо Е_n(s) Ì R_n(s).

Замечание. Отметим, что нами установлен результат (4), более сильный, чем то, что мы хотели доказать. Ниже при доказательстве теоремы Д.Ф. Егорова, нам придется воспользоваться именно этим более сильным результатом.

Доказанная теорема дает повод установить следующее

Определение. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций

f₁(x), f₂(x), f₃(x), …

и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если, каково бы ни было положительное число s, оказывается, что

,

то говорят, что последовательность (^*) сходится к функции f (x) по мере.

Мы будем, следуя Г.М.Фихтенгольцу, обозначать сходимость по мере символом

f_n(x) Þ f(x).

С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать теорему Леберга так.

Теорема 1*. Если последовательность функций сходится почти везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.

Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.

П р и м е р. Определим на полусегменте [0, 1) для каждого натурального k группу из k функций: f₁^(k) (x), f₂^(k) (x), …, f_k^(k) (x), полагая

В частности, f₁⁽¹⁾ (x) º 1 на [0, 1). Нумеруя все построенные функции подряд одним значком, мы получим последовательность

j₁ (x) = f₁⁽¹⁾ (x), j₂ (x) = f₁⁽²⁾ (x), j₃ (x) = f₂⁽²⁾ (x), j₄ (x) = f₁⁽³⁾ (x), …

Легко видеть, что последовательность функций j_n (x) сходится по мере к нулю. В самом деле, если j_n (x) = f_i^(k) (x), то при любом s>0 будет

и мера этого множества, равная 1/k, стремится к нулю с возрастанием n.

Вместе с тем, соотношение j_n (x)®0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0, 1). Действительно, если так что f_i^(k) (x₀) = 1. Иначе говоря, как далеко мы не продвинемся вдоль ряда чисел j₁ (x₀), j₂ (x₀), j₃ (x₀), …, мы всегда будем встречать в этом ряду числа, равные 1, что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие, существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и тем более, чем понятие сходимости везде.

Естественно спросить, в какой степени соотношение

f_n(x) Þ f(x)

определяет функцию f(x), т.е. единственна ли предельная функция при сходимости по мере.

Теоремы 2 и 3 позволяют ответь на этот вопрос.

Теорема 2. Если последовательность функций f_n (x) сходится по мере к функции f (x), то эта же последовательность сходится по мере ко всякой функции g (x), эквивалентной функции f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом s > 0 будет

E(êf_n – g ê ³ s) Ì E(f ¹ g) + E(çf_n  - f ç ³ s),

откуда (поскольку mE (f ¹ g) = 0)

mE (êf_n – g ê³ s) £ mE(çf_n – f ç³ s),

что и доказывает теорему.

Теорема 3. Если последовательность функций f_n (x) сходится по мере к двум функциям f (x) и g (x), то эти предельные функции эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что при s > 0 будет

         (*)

ибо точка, не входящая в правую часть этого соотношения, и подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения

f_n Þ f, f_n Þ g

показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что mE (êf_n – g ê³ s) = 0.

Но так как

то f ~g, что и требовалось доказать.

Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство единственной предельной функции для сходимости по мере, мы должны были бы условиться считать эквивалентные функции за тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах теории функций, т.е. в тех вопросах, где все свойства функций изучаются с помощью меры множеств, на которых функция обладает или не обладает тем или другим свойством. В интегральном исчислении мы надем много примеров подобного подхода к вещам.

Хотя сходимость по мере общее сходимости почти везде, имеет место все же следующая теорема.

Теорема 4 (Ф.Рисс). Пусть { fn (x)} последовательность функций, которая сходится по мере к функции f (x). В таком случае существует подпоследовательность

fn₁(x), fn₂(x), fn₃(x),... (n₁<n₂<n₃<...),

сходящаяся к функции f (x) почти везде.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем последовательность положительных чисел s₁>s₂>s₃>¼, для которой lim s_k=0.

Пусть, далее, h₁+h₂+h₃+¼ (h_k>0) есть сходящийся положительный ряд.

Теперь мы можем построить требуемую последовательность индексов

n₁ < n₂ < n₃ <...                               (*)

следующим образом: обозначим через n₁ натуральное число, для которого

mE(½f_n1-f½³s₁)<h₁.

Такое число обязательно существует, ибо

mE(½f_n-f½³s₁)®0 при n®¥.

Затем через n₂ обозначим то натуральное число, для которого

mE(½f_n2-f½³s₂)h₂, n₂>n₁.

Вообще через n_k мы обозначаем такое число, что

mE(½f_nk-f½³s_k)< h_k, n_k>n_k-1.

Последовательность (*), таким образом, построена.

Теперь установим, что почти везде на множестве E будет

     (**)

Действительно, пусть

, .

Так как R₁ÉR₂ÉR₃É..., то (теорема 12)

mR_i®mQ

C другой стороны, очевидно, что так что mR_i®0 и, стало быть, mQ=0.

Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q.

Пусть x₀ Î E - Q. Тогда x₀ R_io. Иначе говоря, при k ³ i₀

x₀ E(|f_nk-f|³s_k),

и, следовательно,

|f_nk(x₀) – f(x₀₎|<s_k,   (k ³ i₀)

и, поскольку s_k®0, ясно, что f_nk(x₀) ®f(x₀).

Теорема доказана.

Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы можно установить весьма важную теорему Д.Ф.Егорова.

Теорема 5 (Д.Ф.Егоров). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f ₁ (x)^, f ₂ (x)^, f ₃ (x), …, почти везде сходящаяся к измеримой и почти везде конечной функции f (x):           

В таком случае, для любого d >0 существует такое измеримое множество Е _d Е, что:

1) mE _s > mE - d;

2) на множестве E _d стремление(*) происходит равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s >0 будет

                   (1)

где .