Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2018-01-30 | 262 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Свойство 1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела:
Свойство 2. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то
Свойство 3. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то
Интуитивные соображения. Пусть . Тогда где – некоторая бесконечно малая величина. Следовательно,
Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:
Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:
Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.
Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .
Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→aсправа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .
Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей
1° Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.
2° Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.
3° Если - б.м.п., то - ограниченная последовательность.
4° Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.
5° Если - б.м.п. и , то , т.е.
6° Если - б.м.п. и , то последовательность - б.б.п.
7° Если - б.б.п., то и последовательность - б.м.п.
|
Вопрос 9. Эквивалентные функции. Предел отношения бесконечно малых (больших) функций.
Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если
Обозначают: при .
Пример
Задание. Проверить, являются ли функции и эквивалентными бесконечно малыми при .
Решение. Проверим вначале, что данные функции являютсябесконечно малыми функциями в точке :
Найдем предел отношения этих функций:
Ответ. Заданные функции и являются эквивалентными бесконечно малыми.
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
.
Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).
Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
.
Пример. .
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
.
Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример. .
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное
.
Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c2≠0.
Примеры.
|
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u (x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если
, то .
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.
Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.
Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0, следовательно, по теореме 5 , или .
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!