Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2019-06-06 | 158 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция f (x) непрерывна и положительна на [ a; b ]. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD, интегральная сумма
дает сумму площадей прямоугольников с основаниями . Ее можно принять за приближенное значение площади криволинейной трапеции ABCD, т.е.
Данное равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при
В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.
1.4. Свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель выносим за знак интеграла, т.е. если c – некоторое число, то
Доказательство:
2. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых
Доказательство:
3. Для любых трех чисел a, b, c справедливо следующее равенство
если все эти интегралы существуют.
составим интегральную сумму так, чтобы точка с была точкой деления, тогда:
Переходя к пределу при получили доказательство.
Если a<b<c, то, по только что доказанному получим:
Или
4. Если на [ a; b ] (a < b) f (x)≤ g (x), то
Следствия:
1. Если a < b и
2. Если a<b
3. Теорема об оценке определенного интеграла
Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на [ a; b ], a < b, то
Доказательство:
т.к. , то по 4 свойству
отсюда мы знаем, что
Следовательно:
4. Теорема о среднем
Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке найдется такая точка
Доказательство:
Пусть a<b, m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на [a;b]. По свойству 5 получаем:
Тогда
Так как функция f (x) Непрерывна на [a;b], она принимает на нем все промежуточные значения между m и M, то есть существует . Тогда:
|
Глава 2. Вычисление определенного интеграла
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом
(теорема Барроу)
Теорема.
Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то интеграл с переменным верхним пределом
имеет производную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.
Доказательство.
Пусть - приращение аргумента x. тогда по свойству 3 определенного интеграла
По теореме о среднем (свойство 6) , при чем
При и по непрерывности функции
Таким образом,
Замечание.
Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции f(x) на отрезке [a;b]:
То есть, установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.
Формула Ньютона-Лейбница
В предыдущем пункте показано, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a;b], имеет первообразную. В качестве первообразной можно взять следующую функцию
то есть интеграл с переменным верхним пределом.
Теперь поставим обратную задачу, то есть зная одну из первообразных Ф(х) функции f (x) на [ a; b ], вычислить определенный интеграл от f(x) на этом отрезке или найти определенный интеграл по известному неопределенному.
Следующая теорема показывает основную формулу интегрального исчисления, то есть формулу Ньютона-Лейбница (выражает определенный интеграл, через неопределенный).
Теорема.
Если F (x) является первообразной непрерывной функции f (x), то справедлива формула:
Доказательство.
По теореме Барроу - первообразная функции f (x), поэтому F (x) и отличаются на константу C, то есть
Пусть x = a, тогда
Но приняв в этом равенстве x = b, получается формула Ньютона – Лейбница:
Символ называется двойной подстановкой в функцию F(x) в пределах от a до b, таким образом формулу:
Можно записать в виде:
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Замена переменных
Теорема.
Рассмотрим
где f (x) непрерывна на [a,b]. Введем новую функцию , заданную на и удовлетворяющую следующим условиям:
|
1. непрерывны на ;
2. может быть определена сложная функция ;
3. .
Тогда:
Доказательство.
Для проверки можно заметить, что если F(x) является первообразной для f(x), то очевидно - первообразная для подынтегральной функции в правой части полученной формулы, значит:
Пример 1.
Сделаем замену . Найдем
и вычислим новые пределы интегрирования Тогда:
Пример 2.
Сделаем замену . Вычислим новые пределы интегрирования Тогда:
Интегрирование по частям
Теорема.
Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то справедлива следующая формула:
Или в компактной форме можно записать:
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Доказательство.
Применим формулу Ньютона – Лейбница и формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
Теорема доказана.
Пример 1.Вычислить:
Решение: пусть , тогда . По формуле интегрирования по частям:
Пример 2. Найти:
Решение: , тогда , и по формуле интегрирования по частям:
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!