Фундаментальные основы теории игр

«Покер не является азартной игрой». Вы, конечно же, слышали эту фразу от других игроков. Возможно, вы и сами так говорите. Кто бы ни говорил эту фразу, в действительности подразумевается следующее:

«На длинной дистанции каждый получает равное соотношение плохих и хороших комбинаций карт. Победителем на длинной дистанции вас делает не удача, а ваше умение играть лучше противников. В конечном итоге все плохие игроки проигрывают, а хорошие остаются с прибылью». Это несколько многословно, но, тем не менее, наиболее полно отражает смысл фразы «Покер не является азартной игрой», вкладываемый в нее большинством игроков. Однако вам такое сокращение ни к чему, так как первое утверждение не верно. Верным является второе утверждение. Покер – азартная игра.

Фактически, это безопасное клише, утверждающее, что покер не является азартной игрой, может спровоцировать вас совершать систематические ошибки. Опытные игроки в покер делают свои деньги в основном так же, как их делают казино, букмекеры, игровые комнаты и любые другие люди и организации, зарабатывающие на азартных играх на длинной дистанции. С каждым решением они стараются увеличить норму своей прибыли.

Ожидаемая прибыль

Ожидаемая прибыль – это сумма денег, которую вы выиграете или проиграете в среднем, делая ставки. Предложите своему другу сыграть в игру «орел – решка». Если монета упадет решкой вверх, он заплатит вам $1. Если монета упадет орлом вверх, то вы заплатите ему

$1. Ваша ожидаемая прибыль от этой ставки равна нулю. В половине случаев вы будите выигрывать $1, а в другой половине случаев проигрывать по $1. В среднем эта ставка – безубыточна. Для того чтобы вычислить ожидаемую прибыль, вам необходимо вычислить среднее значение всех возможных результатов с учетом вероятности выпадения каждого из них. В данном случае мы имеем только два возможных результата: (+$1) и (-$1). Каждый результат имеет вероятность выпадения равную 1 / 2. Таким образом, ваша ожидаемая прибыль (обозначим ее «EV» от сокращения английских слов «expected value») будет равна 0.

0= (  1 1(1) + (  1 1(- 1)

1 2 1     1 2 1

\)     \)

Предположим, что ваш друг решил вам платить по $2 за выпавшую решку, а вы продолжаете ему платить по $1 за выпавшего орла. В этом случае ваша EV будет равна $0,5

0.5= (  1 1(2) + (  1 1(- 1)

1 2 1     1 2 1

\)      \)

При любом броске монеты вы или выигрываете $2 или проигрываете $1, но в среднем вы будите выигрывать пятьдесят центов за один бросок монеты. Точно также можно рассчитать и EV вашего друга, которая будет равна: -$0.5.

-0.5= (  1 1(- 2) + (  1 1(1)

1 2 1        1 2 1

\)        \)

Если вы выигрываете пятьдесят центов за бросок, то он должен проигрывать пятьдесят центов за бросок. Деньги не появляются ниоткуда и не исчезают никуда. Если один человек имеет положительную ожидаемую прибыль, то второй должен иметь отрицательную, а сумма всех ожидаемых прибылей должна равняться нулю.

Вот более сложный пример, который приближенно иллюстрирует, как ожидаемая прибыль работает в покере. Вы с двумя друзьями, Аланом и Бетти, решили сыграть на деньги, бросая кубик. Если кубик выпадает сторонами от 1 до 5, то вы платите Алану $1. Если выпадет 6, то Алан заплатит вам $6. Если выпадет 1 или 2, то Бетти заплатит вам

$5. Если кубик останавливается в диапазоне от 3 до 6, то вы заплатите Бетти $2. Алан и Бетти не делают ставки по отношению друг к другу. Обобщим эти договоренности в таблице.

 

Выпавшее число	Победа над Аланом	Победа над Бетти	Чистый выигрыш
1	–$1	+$5	+$4
2	–11	+$5	+$4
3	–$1	–$2	–$3
4	–11	–$2	–$3
5	–$1	–$2	–$3
6	+$6	–$2	+$4

Каждый из этих бросков кубика будет давать нам один из шести результатов. Производим вычисление и получаем EV равное $0.50.

0. 50 = (  1 1(4) + (  1 1(4) + (  1 1(- 3) + (  1 1(- 3) + (  1 1(- 3) + (  1 1(4)

1 6 1      1 6 1      1 6 1        1 6 1        1 6 1        1 6 1

\)      \)      \)        \)        \)        \)

Вы ожидаете выигрывать в среднем по пятьдесят центом при каждом броске кубика. Если вы зарабатываете по пятьдесят центов за каждый бросок, то Алан и Бетти вместе должны проигрывать эти пятьдесят центов. Давайте, вычислим их ожидаемую прибыль:

EV = (  5 1(1) + (  1 1(- 6) = - 1

                                                

= - 0. 17

Алан 1  6 1    1  6 1 6

\)     \)

EV = (  2 1(- 5) + (  4 1(2) = - 2

                                                          

= - 0. 33

Бетти 1  6 1       1  6 1 6

\)        \)

В среднем за бросок Алан теряет 17 центов, а Бетти 33 цента. Вместе они теряют именно те пятьдесят центов, которые вы выигрываете.