Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2018-01-28 | 235 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 2.1. Функциональный ряд вида
(2.1)
называется степенным рядом, числа an Î R, n = 1, 2, ¼ называются коэффициентами степенного ряда.
Замечание 2.1. Степенные ряды замечательны прежде всего тем, что их члены un (x) = an (x - x 0) n, n = 1, 2, ¼, являются сравнительно простыми функ-циями. Частичные суммы степенного ряда Sn (x) – многочлены от переменной х степени не выше п. Относительная простота un (x) и Sn (x) служит причиной мно-гих свойств, присущих степенным рядам, которыми не обладают другие функ-циональные ряды. Область сходимости степенного ряда никогда не является пустым множеством, поскольку ряд (2.1) обязательно сходится в точке x 0.
В ряде (2.1) сделаем замену переменной: y = x - x 0, получим ряд:
. (2.2)
Очевидно, что исследование сходимости ряда (2.1) эквивалентно исследованию сходимости ряда (2.2). Поэтому далее будем рассматривать ряды вида (2.2), но для обозначения переменной будем использовать букву x, а не y.
В основе теории степенных рядов лежит следующая теорема.
Теорема 2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд
(2.3)
сходится при x = x 0 ¹ 0, то он сходится, и притом абсолютно, при x: | x | < | x 0|.
Если степенной ряд (2.3) расходится при x = x 0, то он расходится и при всяком x: | x | > | x 0|.
►Доказательство проведём в два этапа.
1) Пусть ряд (2.3) сходится в некоторой точке x 0 , иными словами, сходится числовой ряд
. (2.4)
Общий член ряда (2.4) стремится к нулю при n ® ¥, и потому последовательность ограничена, т. е. существует такая постоянная M > 0, что , n = 1, 2, ¼.
В силу этого для общего члена ряда (2.3) получается следующая оценка:
.
Если | x | < | x 0|, то ряд есть геометрический ряд со знаменателем , поэтому он сходится. Но тогда по признаку сравнения сходится и ряд , что означает абсолютную сходимость ряда (2.3) при | x | < | x 0|.
|
2) Пусть теперь ряд расходится при некотором x = x 0. Но тогда он будет расходиться при любом x ¢, удовлетворяющем условию | x ¢| > | x 0|. В самом деле, если бы при каком-либо x ¢, удовлетворяющем этому условию, ряд (2.3) сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться в точке x 0, так как | x 0| < | x ¢|. Но это противоречит условию, что в точке x 0ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке x ¢.◄
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (2.3).
Следствие из теоремы 2.1. Пусть в точке x 0 ¹ 0 ряд (2.3) сходится, но тогда ряд (2.3) сходится в каждой точке интервала (-| x 0|, | x 0|). Если же ряд (2.3) расходится в точке x 1, то он расходится в интервалах (-¥, -| x 1|), (| x 1|, +¥).
Из этого можно заключить, что для рассматриваемого степенного ряда су-ществует число R > 0, такое, что при | x | < R ряд абсолютно сходится, а при | x | > R ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (- R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Замечание 2.2. Для ряда (2.1) интервал сходимости имеет вид (x 0 - R, x 0 + R).
Замечание 2.3. На концах интервала сходимости (т. е. при x = ± R для ряда (2.3), при x = x 0 ± R для ряда (2.1)) ряд может или сходиться или расходиться. Здесь необходимо дополнительное исследование.
Замечание 2.4. У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), а у других совпадает со всей осью (R = ¥)
При нахождении радиуса сходимости степенного ряда во многих случаях можно использовать признаки сходимости для знакоположительных рядов.
Пример 2.1. Найти область сходимости ряда .
►Данный ряд является рядом с неортицательными членами. Применим к данному ряду, например, радикальный признак Коши. Так как
,
то ряд будет абсолютно сходиться, если
Þ Þ .
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Пусть , тогда ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Таким образом, область сходимости ряда: .◄
|
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!