Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2018-01-28 | 350 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные свойства сходящихся рядов
Свойство 1. Пусть ряд
(3.1)
сходится, S − его сумма, а c – некоторое вещественное число. Тогда ряд
(3.2)
тоже сходится, и его сумма равна cS.
Свойство 2. Если ряды и сходятся, а A и B – их суммы, то ряд , называемый суммой (разностью) данных рядов, тоже сходится, и его сумма равна A ± B.
Замечание 3.1. Раскрывать скобки в сходящемся ряде, вообще говоря, нельзя. Например, ряд (1 - 1) + (1 - 1) + ¼ + (1 - 1) + ¼ сходится, и его сумма S = 0; если же раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд: 1 - 1 + 1 - 1 + ¼.
Докажем, например, свойство 1.
►Пусть Sn и − n- е частичные суммы рядов (3.1) и (3.2) соответственно. Имеем: = ca 1 + ¼ + can = c (a 1 + ¼ + an) = cSn. По условию ряд (3.1) сходится к сумме S, поэтому . Но тогда Þ Þ ряд (3.2) сходится, его сумма равна cS. ◄
Замечание 3.2. Если ряд сходится, а ряд расходится, то сумма этих рядов есть ряд расходящийся. Действительно, если предположить сходимость ряда , то по свойству 2 сходящихся рядов будет сходиться ряд , а по условию он расходится;
Замечание 3.3. Из расходимости рядов и расходимость ряда не следует. Так, если , , ряды и расходятся, а ряд сходится. Однако, если , , то ряд будет расходиться.
Определение 3.1. Пусть дан ряд (3.1) и любое натуральное число m. Ряд
am +1 + am +2 + ¼ + am + k ¼= (3.3)
называется остатком ряда (3.1) после m -го члена.
Теорема 3.1. Ряд (3.1) и его остаток (3.3) после m -го члена сходятся или расходятся одновременно.
►Обозначим n -ю частичную сумму ряда (3.1) через , а k -ю частичную сумму ряда (3.3) – через . При имеем:
. (3.4)
Здесь Sm − некоторое число, так как m фиксировано.
Пусть ряд (3.1) сходится, и его сумма равна S. Из этого следует, что существует конечный . Но тогда из (3.4) следует, что существует конечный , причём . Последнее означает, что ряд (3.3) сходится и его сумма s равна S − Sm. Итак, из сходимости ряда (3.1) следует сходимость ряда (3.3).
|
Пусть теперь ряд (3.3) сходится и его сумма равна s. Это означает, что существует конечный . Переходя в (3.4) к пределу при k ® ¥ получаем
,
следовательно, ряд (3.1) сходится, и его сумма S равна . Итак, из сходимости ряда (3.3) следует сходимость ряда (3.1).
Вторая часть теоремы доказывается от противного. Пусть один из рядов (3.1), (3.3) расходится. Требуется доказать, что тогда расходится и другой ряд. Допустим, что он сходится. Но тогда, по доказанному выше должен сходиться и первый ряд, что противоречит условию. Значит, ряды (3.1) и (3.3) расходятся одновременно.◄
Следствие 1 из теоремы 3.1. Отбрасывание любого числа первых членов ряда не влияет на его сходимость.
Следствие 2 из теоремы 3.1. Для того, чтобы сходился ряд (3.1) необходимо и достаточно чтобы его остаток после n -го члена стремился к нулю при .
Глава 2. Cходимость числовых рядов
С неотрицательными членами
Интегральный признак Коши
Теорема 3.1 (интегральный признак Коши). Пусть функция f (x) непрерывна, положительна и убывает при x ³ 1. Тогда ряд , где an = f (n) для n Î N, и несобственный интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Пример 3.1. Исследовать на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от значения параметра a.
► Заметим, что при a £ 0 общий член ряда не стремится к нулю с увеличением номера, следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, поэтому в этом случае обобщённый гармонический ряд расходится.
При a = 1 получаем гармонический ряд, он расходится.
В случае a > 0, a ≠ 1 рассмотрим функцию . Легко проверить, что она удовлетворяет при x ³ 1 всем условиям теоремы 3.1. Исследуем на сходимость несобственный интеграл при данных значениях a.
1. 0 < a < 1Þ 1 - a > 0 Þ – несобственный интеграл расходится и, следовательно, рассматриваемый ряд расходится при 0 < a < 1.
|
2. a > 1 Þ 1 - a < 0 Þ , поэтому несобственный интеграл сходится, а вместе с ним сходится и обобщённый гармонический ряд при указанных значениях a.
Итак, ряд расходится при a £ 1 и сходится при a > 1. ◄
Пример 3.2. Исследовать сходимость ряда .
►Пусть . Легко проверить, что функция f (x) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1. Но интеграл
сходится.
Следовательно, сходится и данный ряд.◄
В ряды Маклорена
Пусть функция f (x) имеет производные любого порядка в некоторой окрестности точки . В равенстве (3.3) положим a = 0, ряд (3.3) принимает вид:
. (4.1)
Ряд (4.1) называют рядом Маклорена. Ряд Маклорена − это ряд по степеням х.
Напишем для f (x) формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
, . (4.2)
Используя равенство (4.2) и теорему 3.2, разложим в ряд Маклорена функции: ex , sin x, cos x, ln(1 + x), acrtg x, (1+ x)α. Предварительно докажем лемму.
Лемма. R.
►Рассмотрим ряд и исследуем его на абсолютную сходимость по признаку Даламбера. Имеем:
при R.
Данный ряд сходится абсолютно на всей вещественной оси, поэтому его общий член стремится к нулю при при R, т.е. .◄
1. , R. Имеем f (n)(x) = ex, f (n)(0) = 1, f (n +1)(θ х) = e θх для R и n Î N. Напишем для f (x) = ex формулу Маклорена вида (4.2):
, .
Для остаточного члена Rn (x) справедливо неравенство:
для R.
Отсюда следует с учётом леммы, что Rn (x) 0 при для R. Но тогда ряд Маклорена
(4.3)
в силу теоремы 4.2 сходится к функции ex всей вещественной оси.
2. f (x) = sin x, R. Имеем f (n)(x) = ,
f (n)(0) =
f ( n +1)(θ х) = для R и n Î N,
Имеем , Z. Отсюда для производных от функции f (x) = sin x в точке х = 0 имеем равенство:
f (2 k)(0)=0, f (2 k −1)(0)=(−1) k +1.
Напишем для f (x) = sin x формулу Маклорена вида (6.2):
, .
Для остаточного члена Rn (x) верно неравенство:
для R.
Отсюда, с учётом леммы, следует, что Rn (x) 0 при для R. Но тогда ряд Маклорена
(4.4)
в силу теоремы 4.2 сходится к функции sin x на всей вещественной оси.
3. f (x) = cos x, R. Ряд Маклорена можно получить, рассуждая так же, как в случае функции sin x. Однако рациональнее применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Запишем ряд (6.4) в несколько ином виде:
и продифференцируем обе части полученного равенства:
, R. (4.5)
Основные свойства сходящихся рядов
Свойство 1. Пусть ряд
(3.1)
сходится, S − его сумма, а c – некоторое вещественное число. Тогда ряд
|
(3.2)
тоже сходится, и его сумма равна cS.
Свойство 2. Если ряды и сходятся, а A и B – их суммы, то ряд , называемый суммой (разностью) данных рядов, тоже сходится, и его сумма равна A ± B.
Замечание 3.1. Раскрывать скобки в сходящемся ряде, вообще говоря, нельзя. Например, ряд (1 - 1) + (1 - 1) + ¼ + (1 - 1) + ¼ сходится, и его сумма S = 0; если же раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд: 1 - 1 + 1 - 1 + ¼.
Докажем, например, свойство 1.
►Пусть Sn и − n- е частичные суммы рядов (3.1) и (3.2) соответственно. Имеем: = ca 1 + ¼ + can = c (a 1 + ¼ + an) = cSn. По условию ряд (3.1) сходится к сумме S, поэтому . Но тогда Þ Þ ряд (3.2) сходится, его сумма равна cS. ◄
Замечание 3.2. Если ряд сходится, а ряд расходится, то сумма этих рядов есть ряд расходящийся. Действительно, если предположить сходимость ряда , то по свойству 2 сходящихся рядов будет сходиться ряд , а по условию он расходится;
Замечание 3.3. Из расходимости рядов и расходимость ряда не следует. Так, если , , ряды и расходятся, а ряд сходится. Однако, если , , то ряд будет расходиться.
Определение 3.1. Пусть дан ряд (3.1) и любое натуральное число m. Ряд
am +1 + am +2 + ¼ + am + k ¼= (3.3)
называется остатком ряда (3.1) после m -го члена.
Теорема 3.1. Ряд (3.1) и его остаток (3.3) после m -го члена сходятся или расходятся одновременно.
►Обозначим n -ю частичную сумму ряда (3.1) через , а k -ю частичную сумму ряда (3.3) – через . При имеем:
. (3.4)
Здесь Sm − некоторое число, так как m фиксировано.
Пусть ряд (3.1) сходится, и его сумма равна S. Из этого следует, что существует конечный . Но тогда из (3.4) следует, что существует конечный , причём . Последнее означает, что ряд (3.3) сходится и его сумма s равна S − Sm. Итак, из сходимости ряда (3.1) следует сходимость ряда (3.3).
Пусть теперь ряд (3.3) сходится и его сумма равна s. Это означает, что существует конечный . Переходя в (3.4) к пределу при k ® ¥ получаем
,
следовательно, ряд (3.1) сходится, и его сумма S равна . Итак, из сходимости ряда (3.3) следует сходимость ряда (3.1).
Вторая часть теоремы доказывается от противного. Пусть один из рядов (3.1), (3.3) расходится. Требуется доказать, что тогда расходится и другой ряд. Допустим, что он сходится. Но тогда, по доказанному выше должен сходиться и первый ряд, что противоречит условию. Значит, ряды (3.1) и (3.3) расходятся одновременно.◄
|
Следствие 1 из теоремы 3.1. Отбрасывание любого числа первых членов ряда не влияет на его сходимость.
Следствие 2 из теоремы 3.1. Для того, чтобы сходился ряд (3.1) необходимо и достаточно чтобы его остаток после n -го члена стремился к нулю при .
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!