Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2018-01-28 | 195 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть даны точки и . Требу-ется найти координаты точки , делящей отрезок прямой, заключенный между М 1 и М 2, в отношении , (рис. 7.6).
Рис. 7.6
Рассмотрим векторы
и . Они коллинеарны и одинаково направлены, то есть могут отли-чаться только длиной. По условию
,
поэтому
или в координатной форме
.
Из равенства этих двух векторов следует равенство их соот-ветствующих координат:
, ,
Отсюда
, , ,
В частности, если точка М делит отрезок М 1 М 2 пополам, то и , , , то есть координаты точки, делящей отрезок пополам, равны полусуммам соответствующих координат концов отрезка.
Пример 7.12. Найти координаты точки М, делящей по-полам отрезок прямой , заключенный между плоскостями Oxz и Оxу.
Решение. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью Oxz, полагая в уравнениях прямой . Тогда получим
или
Из последней системы находим , . Эти коор-динаты вместе с определяют точку Анало-гично, полагая в уравнениях прямой , имеем: или откуда , . Получим точку пересечения прямой с плоскостью Оxу. Зная координаты концов и отрезка АВ, по формулам деления отрезка пополам определим координаты точки М – середины отрезка АВ: ; ; Итак, – искомая точка.
Пример 7.13. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти: 1) длины ребер АВ и AC; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды ABCD; 5) уравнение прямой АВ; 6) уравнение плоскости АВС; 7) уравнение высоты пирамиды, опущенной на грань АВС. Сделать чертеж.
Решение
1) Длина ребра AB совпадает с длиной вектора , поэтому определим координаты векторов и
,
.
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть
2) Угол между ребрами AB и AC совпадает с углом между векторами и , который можно определить по формуле:
, .
3) Грань ABC представляет собой треугольник, его пло-щадь найдем через векторное произведение:
так как
.
4) Объем пирамиды вычислим по формуле:
.
Здесь
5) Уравнение прямой, проходящей через точки А, В, имеет вид:
, то есть .
6) Уравнение плоскости ABC определим из равенства
, или
.
7) Так как высота – это прямая, перпендикулярная плос-кости ABC, ее направляющим вектором будет вектор-нормаль плоскости ABC, тогда уравнение высоты имеет вид:
.
Выполним чертеж (рис. 7.5).
Рис. 7.5
ТЕМА 8. Функции. Теория пределов
Понятие функции
В теме 5 мы уже встречались с понятием функции, информация о которой основывалась на материале из школьного курса математики. Здесь это понятие получит свое дальнейшее развитие.
Пусть на действительной оси R заданы два числовых множества и .
Определение. Будем говорить, что на множестве X задана функция f действительной переменной x, если известен закон (отображение), по которому каждому значению по закону f ставится в соответствие единственное значение и обозначается . Переменная x называется аргументом функции f, множество X – областью определения функции, переменная y – значением функции или зависимой переменной, а множество Y – областью значений функции.
Замечание. Область Y значений функции обычно не указыва-ется, так как множество принимаемых значений функции определяет сам закон.
Допускаются многозначные функции (то есть одному x соответствует более одного значения y). Обычно эти случаи оговариваются особо.
Замечание. Для обозначения функциональной зависимос-ти вместо символа функции f можно использовать любую дру-гую букву (но не число) любого алфавита.
Определение. Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена, назы-вается областью определения, или областью существования функции, и обозначается .
Определение. Пусть задана функция . Тогда называется значением этой функции при
Пример 8.1. Найти значения функции .
Решение. Вычислим значения функции при заданных значениях аргумента ; .
Способы задания функции
Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее по известному значению x находить соответствующее значение y.
Наиболее популярные следующие способы задания функции.
1) Табличный. При табличном задании просто выписы-вается ряд значений независимой переменной и соответствую-щие им значения функции.
Табличный способ задания функций особенно распространен в естествознании и технике. Например, при изучении зависимости электрического сопротивления r некоторого медного стержня от тем-пературы t была получена следующая таблица:
t | 19,1 | 25,0 | 30,1 | 36,0 | 40,0 | 45,1 | 50,0 |
r | 76,30 | 77,80 | 79,75 | 80,80 | 82,35 | 83,90 | 85,10 |
2) Аналитический. Аналитическое задание функции сос-тоит в том, что дается формула, с помощью которой по задан-ным значениям независимой переменной можно получать соот-ветствующие им значения функции.
Например, или – формулы, которые определяют y как функцию от х.
В свою очередь аналитическое задание функции бывает явное, неявное, параметрическое и др.
Определение. Функция, заданная формулой (аналитически) вида , то есть разрешенной относительно зависимой переменной, называется явной.
Рассмотрим функцию . Здесь y однозначно не выражается через x, это неявная функция. Графиком этой функции является окружность с центром в точке и радиусом .
Определение. Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной функцией.
Неявная функция может быть как однозначной, так и многозначной. Например, функция является однозначной неявной функцией.
Для доказательства существования неявной функции следует доказать, что существует решение этого уравнения, то есть найти функцию , такую, что вы-полняется равенство , .
Определение. Функция задана параметрически, если соответствующие значения x и y выражены через третью переменную t, называемую параметром, то есть .
Например, – уравнение окружности радиуса а.
3) Графический
Определение. Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной х, а ординаты – соответствующими значениями функции Равенство называется уравнением этого графика [3].
Функция задана графически, если начерчен ее график.
Если график функции построен (рис. 8.1), то, чтобы найти значение функции , отвечающее какому-нибудь зна-чению , необходимо отложить это значение по оси абсцисс и из полученной точки восстановить перпендикуляр до пересе-чения с графиком функции. Длина этого перпендикуляра, взятая с надлежащим знаком, и равна значению функции . Например, .
Рис. 8.1
4) Содержательный. При таком способе задания варианты независимой переменной, функции и ее значения формулируются в виде правил, законов и т. д. Например, конституция, УК и т. п.
Замечание. Представленные способы задания имеют свои достоинства и недостатки. К недостаткам табличного способа задания относится то, что, зная таблицу значений функций, не всегда можно найти аналитическое уравнение функции и соответственно значения функции в точках, не представленных в таблице. Наглядность графического способа задания оказывается неоспо-римым плюсом, к недостаткам относится неточность определяемых значений функции. Абсолютно точным способом задания функции является аналитический, так как если известно уравнение (правило) функции, то для любого возможного x всегда найдется значение y. Самый общий способ задания функции – содержательный, однако он чаще используется в гуманитарных дисциплинах и реже в математике, например, в теории вероятностей.
Элементарные функции
Определение. Функции, построенные из простейших эле-ментарных функций и постоянных при помощи конечного чис-ла арифметических действий и конечного числа операций взя-тия функции от функции, называются элементарными.
Простейшими считаются функции:
1) степенная , ;
2) показательная , а >0, а ¹1;
3) логарифмическая , а >0, а ¹1, ;
4) тригонометрические: , , , ;
5) обратные тригонометрические: , , , .
Примером неэлементарной функции является
Пусть у является функцией от u, , u Î U, а u – функцией от х, , x Î X, тогда у называется сложной функцией, то есть , определенной для тех x Î X, для которых значения входят во множество U.
Например, ; – сложные функции.
Пусть функция определена на симметричном интервале относительно начала координат, то есть .
Определение. Функция называется четной, если она не изменяет свое значение при изменении знака аргумента, т. е. . Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется, то есть .
Замечание. Отметим, что график четной функции симметри-чен относительно оси Оу, а нечетной – относительно начала координат.
Определение. Функция , , называется периодичес-кой, если существует число такое, что , . Наименьшее число T называется периодом (основным периодом).
Задание функций в полярной системе координат
Зададим на плоскости точку O, которую назовем полюсом. Проведем из полюса направленную полупрямую, которую назо-вем полярной осью.
Пусть M – произвольная точка плоскости. Соединим точку M с полюсом. Длина отрезка OM равна r и называется полярным радиусом, а угол j, откладываемый от полярной оси к отрезку OM против движения часовой стрелки, – полярным углом (рис. 8.2).
Рис. 8.2
Таким образом, положение точки М на плоскости опреде-ляется двумя координатами r и j, причем r – всегда величина неотрицательная, а угол j может принимать значения от 0 до 2 π, то есть , .
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!