Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2018-01-13 | 365 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть где Хi – независимые СВ с математическими ожиданиями и дисперсиями (i= ). Применяя свойства математического ожидания и дисперсии к случайной величине Z, получим: . В частности, если все , , то . Можно показать, что , если
Теорема Чебышева. Если последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с и (i= ), то для (краткая запись: ), т.е. сходится к a по вероятности.
Теорема Бернулли. Является частным случаем теоремы Чебышева для схемы Бернулли, в которой каждая случайная величина имеет распределение Бернулли, т. е. принимает значение 1 (с вероятностью p) или 0 (с вероятностью 1–p). Тогда – частость.
Обе теоремы определяют так называемый закон больших чисел. На них основана вся математическая статистика.
Центральная предельная теорема Ляпунова.
Пусть последовательность независимых случайных величин с (i = ), причем ни одна из них не оказывает существенного влияния на их сумму. Тогда распределение СВ при n ® ¥ приближается к нормальному, а распределение сходится к .
Эта теорема объясняет, почему случайные величины часто имеют нормальное распределение. На практике замечено, что если имеют разные распределения, но дисперсии не сильно отличаются друг от друга, то при числе слагаемых n> 10 распределение суммы часто можно заменить нормальным.
Распределение Пирсона
Пусть читается: «хи-квадрат»), где независимые СВ, при Распределение этой случайной величины называется распределением Пирсона (или распределением c2) с n степенями свободы. Плотность распределения СВ c2 имеет вид:
где С = Г – значение гамма-функции Г (х) в точке n /2, Г(х) –табулированная гамма-функция. В частности, если х – целое число, то Г(х)= х! На рис.10 изображены плотности вероятности при n=2 и n=6.
|
Рис10. Плотность распределения величины c2
При n=2 f(z) –функция монотонная. Математическое ожидание МZ=n, дисперсия DZ=2n.
Распределение Пирсона (оно, как видно из формулы, – однопараметрическое) является частным случаем двухпараметрического гамма-распределения, часто используемого на практике, когда СВ не может принимать отрицательные значения.
В табл.3П приложения содержатся квантили плотности распределения случайной величины для различных значений степени свободы n≡k и различных значений вероятности р т.е. такие значения , при которых справедливо равенство .
Распределение Стьюдента.
Пусть где X и независимы, .
Распределение этой случайной величины называется распределением Стьюдента (или Т-распределением) с n степенями свободы.
Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис. 11):
,
где an = Г , bn = Г , Г(х) – гамма-функция.
Рис.11. Плотность распределения Стьюдента
Математическое ожидание, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса случайной величины Z равны 0, дисперсия DZ = при n >2. Из этого следует, что распределение Стьюдента имеет чуть больший разброс по сравнению со стандартным нормальным N (0;1). При n ® ¥ fn (z) сходится к нормальному с математическим ожиданием а =0 и дисперсией .
В табл.2П приложения содержатся квантили tp плотности распределения случайной величины T (n) для различных значений степени свободы n ≡ k и различных значений вероятности р, т.е. такие значения tp, при которых справедливо равенство .
Распределение Фишера.
Распределением Фишера (F -распределением) с m и n степенями свободы называется распределение случайной величины , где и – независимые случайные величины. Из формулы видно, что ≥ 0. Плотность распределения Фишера fF (z) также выражается через гамма-функцию (ее выражение, ввиду громоздкости, не приводится). Следует заметить, что fF (z) имеет один максимум, при z → ∞ fF (z) → 0, а при z ≤ 0 fF (z)=0. В табл.4П приложения содержатся правосторонние квантили плотности распределения случайной величины для различных значений степеней свободы, т.е. такие значения , при которых (р= 0,05).
|
Распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера широко используются в математической статистике. Значения квантилей этих и других распределений в зависимости от вероятностей попадания случайной величины в интервал, а также от числа степенейсвободы можно найти не только в учебниках и справочниках, но и в компьютере при наличии необходимого программного обеспечения.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!