История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2018-01-14 | 167 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы.
Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:
(3.8)
Разрешим первое уравнение относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Тогда систему (3.8) можно переписать в виде:
(3.9)
где (i=1,...,n, k=1,..., n+1)
Правые части системы (3.9) являются функциями переменных x1, x2,..., xn. Обозначив правы части уравнений через Li(x1, x2,...., xn), систему (3.9) можно представить в виде:
(3.10)
Итерации начинаются с задания начального приближенного решения x01, x02,..., x0n, которое может быть получено из физических или других разумных соображений. Чем ближе исходное приближение к решению, тем меньше итераций необходимо для его получения.
Для заданных начальных приближений x01, x02,..., x0n после подстановки этих значений в правые части системы (3.10) получим первые приближения
(3.11)
Полученные первые приближения могут быть таким же образом использованы для получения 2-х, 3-их и т.д., так что для любого m можно получить m-ое приближение xm1, xm2,..., xmn.
Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью, которая не должна превышать заданной погрешности вычислений, т.е. окончание итерационного процесса происходит при выполнении следующего неравенства:
, при i=1,2,…n,
где Е – заданная точность решения.
Естественно возникает вопрос об условиях, выполнение которых обеспечивает сходимость полученных приближений к истинному решению системы. Достаточное условие сходимости, т.е. возможности решения СЛАУ методом итераций, формулируется следующим образом.
Для того чтобы итерационный процесс сходился, достаточно, чтобы в любой строке сумма отношений коэффициентов системы к диагональным коэффициентам, взятым из той же строки была строго меньше единицы.
|
Математически это определение может быть выражено следующим образом:
Или, что то же самое,
,
т.е. можно сказать, что в любой строке исходной матрицы на главной диагонали должен находиться коэффициент, по абсолютному значению превосходящий сумму модулей остальных коэффициентов.
На первом этапе решения СЛАУ система приводится к виду (3.10), после чего происходит проверка условия сходимости итерационного процесса к решению системы. Для этого необходимо выбрать максимальные значения коэффициентов ai,i и провести проверку условия на сходимость итерационного процесса. После этого задаются начальные приближения, обычно для этого используется столбец свободных членов, и проводится расчет по формуле (3.11), которую можно представить в виде
,
до достижения окончательного решения. Здесь используется два вектора переменных: с предыдущими значениями X0 и с последующими значениями X1. В конце каждой итерации производится переприсваивание значений из последующих в предыдущие.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!