Граф состояний системы. Система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Рассмотрим некоторую систему S с дискретными состояниями , ,…, , которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то потоков событий. Будем считать, что эти потоки простейшие. Тогда вероятность перехода из состояния в состояние за малый промежуток времени равна , т.е. , где – переходная вероятность,

– плотность потока, переводящего систему из состояния в состояние .

Предполагая, что известны плотности вероятности перехода , построим граф состояния системы и над дугами напишем соответствующие плотности . Такой граф называется размеченным графом состояний.

Зная размеченный граф, можно определить вероятности состояний , как функции времени.

Для описания процессов с непрерывным временем используем модель в виде так называемой «Марковской цепи с дискретными состояниями», считая время непрерывным. В этом смысле будем говорить, что имеем дело с непрерывной Марковской цепью.

Рассмотрим однородный процесс, т.е. процесс, в котором не зависит от t.

Время обслуживания – характеристика функционирования каждого отдельного канала. Этот показатель характеризует не качество обслуживания, а пропускную способность, т.е. показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одной заявки одним каналом. Время обслуживания непостоянно и зависит от многих неконтролируемых факторов. Поэтому время обслуживания – величина случайная. Время обслуживания может быть полностью охарактеризовано с помощью функции распределения случайной величины: F(t)= P( ).

Закон распределения времени обслуживания является показательным. В этом случае функция распределения имеет вид: F(t)=1– , а плотность распределения: f (t)= , где – положительный параметр (интенсивность обслуживания) и .

Параметр определяет среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Основное свойство показательного закона времени обслуживания состоит в том, что закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от времени, которое уже было затрачено на это обслуживание.

Действительно, для условной вероятности того, что обслуживание будет закончено в малом интервале времени ( при условии, что оно длится уже не менее времени имеем:

Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим:
P(, где – величина более высокого периода малости, чем . А это означает, что вероятность окончания обслуживания в течение малого промежутка времени постоянна и зависит от того, сколько времени уже продолжается обслуживание.

64. Расчет СМО с отказами.

1 тип: СМО с отказами.

Граф состояний имеет вид:

Вероятности состояний для СМО с отказами:

(начальное число каналов)

Временные характеристики СМО с отказами:

1. Вероятность отказа: =

2. Вероятность обслуживания: – относительная пропускная способность

3. – абсолютная пропускная способность; среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени

4. Среднее число занятых каналов:

5. Среднее число свободных каналов:

6. – коэффициент загрузки каналов

7. – коэффициент простоя