Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента

Условия вариантов задачи

В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [ a,b ]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 7.1

Вариант		a	b
7.1		-1
7.2
7.3		-3
7.4		-6
7.5		-4
7.6		-1
7.7		-1
7.8	x4	-2
7.9		-2
7.10		-2
7.11		-4
7.12		-3
7.13
7.14		-4
7.15			0,75p
7.16			p/2
7.17		p/6	p/3
7.18		-p/4	p/2
7.19	ex
7.20		-1
7.21
7.22	x 1/3	-1
7.23	1/3	-8
7.24		-p/2	p/3
7.25		-p/6	p/2
7.26			1,5p
7.27
7.28		-1
7.29
7.30	1/4	-1
7.31		-3
7.32		-1
7.33		-2
7.34		-3
7.35			0,75p
7.36		-p/4	p/2
7.37
7.38		-p/2	p/3
7.39
7.40	1/4	-1

Методические указания

 

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента . Если X – непрерывная случайная величина с известной плотность вероятности , то алгоритм получения плотность вероятности g (y) величины Y следующий:

1. Построить график и определить диапазон значений .

2. Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых одинаковая степень неоднозначности k_i, i =1,2, …, M:

.

Степень неоднозначности k_i – число значений Х, соответствующих одному значению Y, или число обратных функций для данного интервала, j = 1,2, …, k_i.

3. Определить обратные функции и вычислить модули производных обратных функций . В общем случае число обратных функций в i -м интервале равно k_i.

4. Определить плотность вероятностей по следующей формуле:

(7.1)

Примеры

Пример 7.1. Определить плотность вероятности величины , если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Решение. 1. Построим график величины для x в интервале и определим диапазон значений Y: (рис. 7.1).

Рис. 7.1

 

2. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:

3. На интервалах и обратные функции не существует.

В интервале две обратных функции:

и .

Вычислим модули производных обратных функций :

В интервале одна обратная функция , следовательно,

.

4. Так как Х равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности равна

По формуле (7.1) получим плотность вероятности величины Y

Задача 8. Двухмерные случайные величины

 

Условия вариантов задачи

 

В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

 

Рис. 8.1

Таблица 1.4

Вариант	x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12				5.5	5.5
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21				6,5	6,5
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27				2,5	2,5
8.28
8.29
8.30
8.31
8.32
8.33
8.34
8.35
8.36
8.37
8.38
8.39
8.40

 

Методические указания

 

Двухмерная случайная величина (Х,Y) – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта. Двухмерную случайную величину (Х,Y) геометрически можно представить как случайную точку (Х,У) на плоскости хOу.

Двухмерная случайная величина (X,Y) является непрерывной, если ее функция распределения F(х,у) представляет собой непрерывную, дифференцируемою функцию по каждому из аргументов и существует вторая смешанная производная .

Двухмерная плотность распределения f(х,у) характеризует плотность вероятности в окрестности точки с координатами (х,у) и равна второй смешанной производной функция распределения:

. (8.1)

Свойства двухмерной плотности:

1. .

2. . (8.2)

3. . (8.3)

4. Условие нормировки: . (8.4)

Геометрически интеграл условия нормировки вычисляет объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью хOу.

5. ; . (8.5)

 

Математические ожидания компонент двухмерной непрерывной случайной величины (X,Y) вычисляются по формулам

(8.6)

(8.7)

Дисперсии компонент двухмерной непрерывной случайной величины (X,Y) вычисляются по формулам

(8.8)

(8.9)

Корреляционный момент характеризует степень тесноты линейной зависимости величин X и Y, а также рассеивание их значений относительно точки (m_X, m_Y):

. (8.10)

Коэффициент корреляции характеризует только степень линейной зависимости величин и равен нормированному корреляционному моменту:

. (8.11)

Для любых случайных величин |. Если величины X и Y независимы, то .

Примеры

Пример 8.1. Двухмерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри области B, выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y, если координаты вершин области B приведены в таб. 8.2.

Таблица 8.2

x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
						0,5

 

Решение. Построим область B. Соединим последовательно точки с координатами из таб. 8.2 согласно рис. 8.1:

– точку (x1;0) = (0;0) c точкой (x2; y2) = (1; 1),

– точку (x2; y2) = (1; 1) c точкой (x3; y2) = (1; 1) (т.е. остаемся на месте),

– точку (x3; y2) = (1; 1) c точкой (x4; y1) = (2; 0,5),

– точку (x4; y1) = (2; 0,5) c точкой (x5; y1) = (2; 0,5) (т.е. остаемся на месте),

– точку (x5; y1) = (2; 0,5) c точкой (x6; 0) = (3; 0).

В результате получим следующую фигуру (рис. 8.2):

Рис. 8.2

Совместная плотность вероятности примет вид

Неизвестную константу c определим, используя условие нормировки плотности вероятности (см. (8.4)):

Таким образом

Проверим геометрически полученный результат. Объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью xOy должен быть равен единице, т.е. объем прямой треугольной призмы равен .

Вычислим математические ожидания по формулам (8.6) и (8.7):

Вычислим дисперсии по формулам (8.8) и (8.9)

Корреляционный моментвычислим по формуле (8.10):

После нормировки по формуле (8.11) получаем коэффициент корреляции