Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...

Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...

История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...

Интересное:

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...

Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...

Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Вероятностно-статистиче- ские методы анализа точности обработки

2018-01-30

396

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 99Следующая ⇒

В процессе изготовления деталей машин качество их и, в частности, точность размеров зависят от большего числа технологических факторов, влияющих в различной степени на точность обработки. Зависимости эти носят вероятностный (стохастический) характер. В теории вероятности и математической статистики разработаны методы, с помощью которых можно объективно оценить точностные характеристики реальных технологических процессов. Вероятностно-статистические методы используют дня оценки точности технологических процессов, определения уровня настройки станков, оценки стабильности технологических процессов, определения ожидаемой доли брака, установления зависимости между точностными характеристиками смежных операций и решения других задач.

Определение поля рассеяния, коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеяния погрешности обработки. Полем рассеяния размеров х (рис. 2) называется такой

f(x)i		2A=A_f+A_z
q z\		i I	q v/2.

О т_л-Д_г Л₀т_х т_х+А₂ ^хРис. 2. Поле рассеяния размеров партии деталей

интервал т_х — А _г ^ х^т_х + Д₂ значений х, при котором вероятность Р появления детали с размером х, меньшим чем т_х — А₁ или больше чем т_х + Д₂, практически пренебрежимо мала, т. е. имеет место условие

Р(х <т_х-А₁) = Р(х>т_х + Д₂) = <?/2, (1)

где А! и Д₂ — расстояния соответственно от нижней и верхней границ поля рассеяния до среднего значения т_х; q — вероятность выхода размеров за границы поля рассеяния (обычно принимают q = 0,0027).

Вводя в (1) выражения для дифференциального f(x) или интегрального F(x) законов распределения, получим

т_х — А_х да

J f(x)dx= f f{x)dx = q/2;

-m_x + A₂ (2)

F(m_x-A₁)=l-F(m_x + A₂) = q/2.

Половина поля рассеяния

Д=(Д,+Д₂)/2. (3)

Для симметричных законов распределений Aj = Д₂ = А.

Для закона распределения случайной величины х, область возможных значений которой не ограничена ни слева, ни справа, нижняя и верхняя границы поля рассеяния могут быть найдены, если известен интегральный закон распределения F(z) нормированной случайной величины Z = (х — т_х) /ст_х, для которой m_z = О и <т₂ = 1. В данном случае т_х,, т₂ — средние значения случайных величин X и Z; а_х, cr_z — средние квадратические отклонения тех же величин. С учетом нормированного закона распределения F(z) уравнение (2) принимает вид

F(z₂) = l-q/2.

Нижний Zj и верхний Z₂ квантили, отвечающие уровням вероятности q/2 и 1 — qj2,

Z,=AJa_x; Z₂= Д₂/а_х. (5)

Для заданного уровня вероятности q = — 0,0027 значения квантилей Zj и Z₂ определяются из (4). Если значения квантилей Z_x и Z₂ известны, то по (5) величины Aj и А₂ могут быть определены в долях среднего квадрати- ческого отклонения <з_х:

^Ai =?1<*_х> A₂ = Z₂a_x. (6)

На основании (3) с учетом (6) поле рассеяния погрешности размеров, выраженное в долях cr_v,

ту

(8)

б)

(7)

2А = (Z₂-Z₁)G_X.

Для сопоставления рассеяния при данном законе распределения с рассеянием при нормальном распределении применяют коэффициент относительного рассеяния

К = 3<J_X/A — 6<т_х/ (Aj + Д₂).

Для закона Гаусса К = 1. Для одномо- дальных распределений, более островершинных, чем гауссовское (коэффициент эксцесса у₂ > 0), К < 1. Для одномодальных распределений, более плосковершинных, чем гауссовское (у₂ < 0), значения К > 1.

f(*y

Несимметричность распределения отклонений случайной величины относительно середины А₀ поля рассеяния размеров характеризует коэффициент относительной асимметрии

т_хAt А₀ _ А 2 _ X

ol)

А о А, т_х с, X

Рис. 3. Кривые распределения погрешности размеров с положительным (а) н отрицательным (б) значениями коэффициентов относительной ассиммет- рии ОС

(9)

а = (т_х~ А₀)/А.

А₂-А,

Ai -Д₂А_{1 +} А₂

Для симметричных распределений а = 0. Для одномодальных распределений, имеющих положительный коэффициент асимметрии у_1?среднее значение смещено к левой границе поля рассеяния (рис. 3,а). В этом случае А₂ > А₁и согласно (10) имеем а < 0. Для одномодальных распределений, имеющих отрицательный коэффициент асимметрии у_х, центр группирования смещен к правой границе поля рассеяния. При этом условии А₂ < A_t и, применяя (10), получаем а>0 (рис. 3,6).

Так как

то (9) примет вид . Ai-Дг.

(10)

2А

Подставляя (6) и (7) в (8) и (10), получим окончательные выражения для коэффициентов относительного рассеяния и относительной асимметрии:

к =

(11)

■Z_t

Zj+Z₂— Z₂

Определим поле рассеяния 2А и коэффициенты К и а для закона распределения случайной величины X, область возможных значений которой ограничена слева и справа (а = = Хнаим ^ * ^ Хнаиб = Ь). В этом случае границы поля рассеяния принимают равными а и b, т. е.

т_х — Aj = а; т_х + А₂ = Ь. (12)

При этих условиях вместо поля рассеяния пользуются широтой распределения L= 21 или 2А = L= 21 = b — а, где I — параметр закона распределения.

Применяя (8) и (10) и учитывая (12), получим

6а_х 3<j_x 2 т_х — a — b b—a I b—a

a-b

(13)

I

Зависимость вероятного брака деталей от коэффициентов точности и настроенности технологических процессов. Точность геометрических параметров детали обычно задает конструктор; она количественно определяется полем допуска согласно чертежам или техническим условиям. Поле допуска определяется интервалом значений размера х от х₀ — 5 до х₀ + 8, где х₀ — координата середины поля допуска; 8 — половина поля допуска (рис. 4). Технологическая точность количественно определяется законом распределения суммарной погрешности обработки.

О х₀-д х₀т_х x₀+tf х Рис. 4. Вероятный брак деталей q = q_x + q₂

Если задано поле допуска и известен закон распределения f(x) погрешности размера х, то доля вероятного брака

х₀ — 5 да

<?=<?! +42= j" f(x)dx+ J f(x)dx =

- ⁰⁰ -X₀ + 5

= 1 + F(x₀ — 5) — F(x₀ + 5), (14)

где q₂ — вероятность выхода размеров за нижнюю и верхнюю границы поля допуска (доля брака); х₀ — координата середины поля допуска; 5 — половина установленного поля допуска.

Вводя в (14) выражение для интегрального закона распределения F_z (z) нормированной случайной величины Z = (х — т_х) /и_х, получим

Е =

Для определения смещения уровня настройки технологического процесса используют коэффициент настроенности процесса

т_х - х₀

(19)

В случае идеальной точности и настроенности процесса по (18) и (19) с учетом (17) получаем г| = 1, Е = ос.

+F,

Зависимость вероятного брака q от коэффициентов г| точности и Е настроенности процесса найдем при переходе в (15) от вероятностных характеристик т_х и а_х к коэффициентам ц и Е:

"3(1 +£)" -F₂ Г 3(1 — £) 1

КЦ J L Кг) J

(20)

Вероятность того, что изделие окажется годным,

f Г 3(1 — E) — F "3(1 +■£)"

^r z L Kr\ J L Кц J

Р = 1 -q-

Для симметричных распределений в силу равенства F(~z) = l—F(z) вместо (20) можно написать

3(1 -Е) Кц

3(1 + Е) Ki)

(21)

<7 = 2-F,

-F,

(15)

Точность и настроенность технологического процесса считаются идеальными, если поле рассеяния размеров совпадает с заданным полем допуска, т. е.

т_х — А₁—х₀ — д; т_х + Д₂ = х₀ + 5. (16)

Отсюда вытекают требования к точности процесса и его настройки:

А = Ъо_х/К = 5; т_х = х₀ + аб. (17)

В этом случае доля брака не превышает 0,27 %. Если поле рассеяния располагается внутри пределов поля допуска, то это значит, что точность процесса завышена и является экономически невыгодной. Если хотя бы одна из границ поля рассеяния выходит за пределы поля допуска, то доля брака увеличивается выше допустимого значения, равного 0,27%.

Для сопоставления поля рассеяния с полем допуска применяют коэффициенты точности

А За_х

^-т-ж- ⁽¹⁸⁾

Для закона Гаусса (21) принимает вид

3(1 -£)' Л.

Если область изменения случайной величины X ограничена слева и справа (а ^ X < Ь), то доля брака или дефектных изделий, вышедших за границы поля допуска, определится в зависимости от взаимного расположения поля допуска 25 и поля рассеяния 2Д. Характерны следующие случаи расположения полей.

1. Поле рассеяния размеров находится в границах поля допуска (рис. 5, а). Этот случай имеет место при х₀ — 5 < а; х₀ + 8 ^ а + 21. Выражая эти неравенства через коэффициенты г| точности и Е настроенности процесса, после преобразований получим

Л(1 + а)< 1 + £;

л(1-а)<1 -Е. (22)

3(1 +£) Л

q = 1 -Ф

-Ф

В этом случае брак отсутствует: q₁=q₂=0. Практически это означает, что выбрано излишне точное оборудование и можно, по-ви-

а _0А х₀ т_х а+21 /А

2f

f(4 i

¹ VA

X а ^хо ^тх ^хо* (^а ■k21 X

б)

^^//Л 1 1

а\ Хо -9- _и т_х х₀ а+ 21 х₀ +

2Р *

Рис. 5. Взаимное расположение поля допуска 25 и поля рассеяния 2А размеров: а — поле рассеяния находится в границах поля допуска; б — поле рассеяния размеров выходит за правую границу х₀ -I- 5 поля допуска; в — поле рассеяния выходит за левую границу xq — 8 поля допуска; г — поле рассеяния выходит за обе границы допуска

димому, переити на другие, несколько менее точные, но более производительные или более экономичные технологические процессы.

т

Р X

2. Поле рассеяния размеров выходит за левую границу поля допуска; при этом q_t Ф О, q₂ = 0 (рис. 5, в).

При соответствующих этому случаю соотношениях г| и Е доля брака деталей в партии

3(1 -Е)

(23)

К_П

3. Поле рассеяния размеров выходит за правую границу поля допуска; при этом q_t = = 0, q₂¥^z0 (рис. 5, б). При этих условиях доля брака

3(1 -Е) Кц

4. Поле рассеяния размеров выходит за обе границы поля допуска; при этом q-^фО, q₂ Ф 0 и одна часть деталей идет в брак исправимый, другая часть — в неисправимый (рис. 5, г).

Доля вероятного брака

3(1-я)

— F,

Кц

3(l+£)j

q = 1 + F,

Кц

(25)

В производственных условиях данный случай имеет место при низкой точности процесса. Это значит, что заданный допуск жестче, чем позволяет оборудование и технологический процесс.

5. Поле рассеяния размеров лежит вне поля допуска, т. е. х₀ — 5 ^ а + 21 или х₀ + 5 ^ а. При этих условиях вероятность нахождения размеров в границах поля допуска равна нулю, и, следовательно, все изделия будут составлять брак (q = 1) при выполнении неравенств

Л (1 - а) ^ -1-Е или г| (1 + а) ^ - 1 + Е.

(26)

Полученные общие формулы (23) — (25) позволяют определить долю вероятного брака q по известному закону распределения и заданным его математическому ожиданию т_хи среднему квадратическому отклонению а_хили коэффициентам г| точности и Е настроенности технологического процесса.

Практический интерес представляет решение обратной задачи: по заданным долям брака q_l и q₂ определить коэффициенты г| точности и Е настроенности процесса обработки.

Рассмотрим случай, когда область изменения случайной величины X подчиняющейся закону распределения /(х), не является ограниченной ни слева, ни справа. Будем считать, что нам задан закон распределения f(x) суммарной погрешности х, но неизвестны его параметры: среднее значение т_х и среднее квадратическое отклонение о_х. Тогда можно написать выражения для неисправимого q_l и исправимого q₂брака при наружном обтачивании:

<?2 = 1 - F,

(24)

q₂ = l - F(x₀ + 8).

Выражая величины q_l и q₂ через F_z(z), получим

Я i=F₂

(28)

х_п — m_Y + 5

«2 = 1-^

Вводя обозначения нижнего и верхнего квантилей, отвечающих вероятностям Р₁ и Р₂, получим

х_п — m_v — 5

(30)

Z_P =

(29)

х₀ — т_х + 5

Zp =

Уравнения (28) можно записать в виде F_z(Z_P) = P,=q_x\ F_z(Zp₂) = P₂ = i~q₂.

Если известен нормированный интегральный закон распределения, то значения квантилей Z_P] и Zp₂ находятся из (30).

Решив систему уравнений (29) относительно т_х и ст_х, найдем

(31)

Zp₂ — Zp, Zp + Zp

m_x = X₂ +

Zp, — Zp₂

В зависимости от значения каждой из составляющих погрешности выбирают тот или иной метод управления.

Задача разделения систематической и случайной составляющих решается различными способами.

Рассмотрим дисперсионный метод разделения суммарной погрешности обработки, для которого разработаны критерии оценки систематической и случайной составляющих погрешности обработки.

Для условий изготовления партии деталей на настроенных станках токарного типа (автоматах, полуавтоматах) суммарный закон распределения погрешности размеров х партии деталей во всем заданном промежутке времени t (от t = 0 до t = Т)

dt,

ехр< -

2aJ(t)

м

1 f [x-m_x(t)Y'

1кт\ v_д

]/2л

(34)

где m_x(t) — функция, характеризующая изменения во времени систематических факторов (износ инструмента, тепловые и упругие деформации системы и т. п.); <5_x(t) — функция, характеризующая изменение мгновенного поля рассеяния размеров, обусловленная затуплением режущего инструмента, нестабильностью режима обработки, колебаниями припуска и твердости материала заготовки и т. п.

Начальные моменты первого и второго порядков суммарной погрешности, подчиняющиеся закону распределения (34), определяют по формулам

т

На основании (18) и (19) с учетом (31) получим выражения для определения коэффициентов точности технологического процесса

m_x (t) dt;

(35)

¹ f

-tJ'

(36)

а, =—) 1 _rj

-\[ml(t) + ol(t)-}dL

(33)

и его настроенности

Z_Pi + Zp₂Zp. - Zp

Используя (35) и (36), получим выражение для дисперсии суммарной погрешности:

а х =а,-ат =

Разделение погрешности обработки на систематическую и случайную составляющие. В связи с развитием систем автоматического управления точностью технологических процессов важное значение приобретает задача разделения суммарной погрешности обработки на систематическую и случайную составляющие.

т т

I

(37)

= jjml(t)dt + ±jol(t)dt-

m_x(t)dt

После преобразований получим окончательное выражение для дисперсии суммарной погрешности обработки:

ст² {*} = с² {m_x(t)} + a² K(t)} + М²{а,(г)}, (38) где а² {m_x(t)} = М {ж²(г)} -М² {m_x(t)>;

а²К(г)}=М{^(0}-М²{сгЛО}.

Из (38) следует, что общая дисперсия погрешности обработки складывается из трех частей: a² {m_x(t)}, вызванной изменением функции математического ожидания m_x(t), обусловленной влиянием систематических факторов; ст²{а_х(£)}, вызванной изменением функции среднего квадратического отклонения a_x(t), обусловленной влиянием случайных факторов, параметры рассеяния которых изменяются с течением времени; M²{o_x(t)}, вызванной постоянной составляющей функции o_x(t), обусловленной случайными факторами, параметры рассеяния которых не изменяются во времени.

Поделив обе части (38) на сг²{х}, получим

ки введем следующие показатели:

₂ a²K(Q}

у =------------ •

а² '

M²{*_x(t)}

Согласно (39) коэффициенты (40) — (42) удовлетворяют соотношению

(40) (41) (42)

^Гт + ^Г1 + Г* = 1- (43)

(44)

В (43) левая часть представляет собой сумму трех положительных величин, равную единице. Следовательно, каждое слагаемое не может быть больше единицы, поэтому можно написать

O^r^l.

КМ)

= 1. (39)

Для характеристики доли систематической составляющей, вызванной изменением функции т_х (t), количественной оценки доли случайной составляющей от изменения функции и доли собственно случайной составляющей, вызванной постоянной составляющей функции a_x(t), в общей погрешности обработ

Если г_т = 0, то a² {m(t)} = 0, и, следовательно, отсутствует смещение уровня настройки, обусловленное влиянием систематических факторов (рис. 6, а, в). Равенство г_т = 0 является количественным признаком стабильности процесса по положению центра группирования. Случай r_m = 1 показывает строгую функциональную зависимость систематической погрешности размеров х от времени t (рис. 6,6). Если г_а = 0, то a² {o_x(t)} = 0, и отсутствует

х \r_m=0,r₆=0) г = 1

--- п

—- m_x(t)= const

----------------------- m_x(t)= 6_x(t)

6_X (t) = const ~~ ^T

r_m*0i m_x(t)+6_x(t)

^------ m_xft)

\r_m=h r₆=0,r=0

\r_m*0ir₆*0i m_x(t)+ 6_x(t) r¥=0 ^ m_x(t) m_x(t)-6_x(t)

6_x(t)= const

—m_x(t)-6_x(t)

=0i r₆*0, rjt 0

------ m_x(t)+6_x(t)

___

------------------- const

------- m_x(t)-6_xft )

Рис. 6. Примеры изменения уровня настройки и мгновенного рассеяния во времени: а — уровень настройки и мгновенное рассеяние сохраняют постоянное значение; б — функциональная зависимость погрешности размеров от времени; в — изменение рассеяния при постоянной настройке; г — изменение уровня настройки при постоянном рассеянии; д — одновременное изменение уровня настройки и мгновенного рассеяния

Рис. 7. График точности обработки деталей при изменении уровня настройки по степенной зависимости и постоянному мгновенному рассеянию размеров:

/ t \^1,п

Х_В (0 = ^т* (0 + ^3ао; ™х (t) = то + 2l_m I — 1;

(0 = ^тх (t) - За₀; т_х = т₀ + 2l_m ^ * ^ ;

⁶ Г 2 ^ ____________ ~|^1/2

переменная составляющая функции ст_х (г), обусловленная влиянием случайных факторов, параметры рассеяния которых изменяются во времени (рис. 6, а, в, г). Условие г_с = 0 свидетельствует о стабильности процесса по рассеянию.

Если г = 1, то уровень настройки и поле рассеяния не изменяются во времени, т. е. m_x(t) = т_х~ const; o_x(t) = о_х = const (рис. 6,а). Равенство г = 1 является количественным признаком стабильности процесса как по рассеянию, так и по положению уровня центра группирования.

Рассмотрим пример расчета показателей ^rm> ^rl ^{и г2}- Пусть уровень настройки технологического процесса изменяется по степенному закону, а мгновенное рассеяние размеров остается постоянным (рис. 7):

/ t У¹" _m (t) = _m +2/ —;

a_x(t) = ст₀ = const, п > О,

где т₀, а₀ — параметры мгновенного гауссов- ского распределения в начальный момент времени t = 0; l_m — половина диапазона изменения функции m_x(t).

Показатели систематической и случайных составляющих погрешности обработки получают следующие значения:

r*(n,\_m=const) Рис. 8. Зависимость показателя г_т² систематической составляющей погрешности обработки от аргумента пи различных значений параметра Х_тпри изменении уровня настройки по степенному закону и постоянном мгновенном рассеянии

'2=0; (46)

(п+1)^{^[3]}(п + 2) 4пк²_т + (п+\)²(п + 2У

гдеА^-к

Графики семейства функций (Х_т = const, л), определяемых (46), показаны на рис. 8. Для этих функций характерно наличие максимума при п = (|/5 — 1)/2 «0,6. Практически это означает, что при значении п={\/5—1)/2 доля систематической составляющей, вызванной изменением уровня настройки, в общей погрешности обработки (будет наибольшей. Отсюда следует, что для приближенных расчетов точности можно рассматривать изменение уровня настройки по линейной зависимости. В этом случае доля систематической составляющей в общей погрешности обработки будет мало отличаться от максимального значения, но при этом выполнение точностных расчетов существенно упрощается.

Методы оценки детерминированности и нелинейности технологического процесса. Для оценки уровня точности процессов обработки используют критерии точности, настроенности, стабильности и устойчивости. Большое значение имеет также определение детерминированности и нелинейности хода технологического процесса. Показатель степени детерминированности позволяет выявить систематические погрешности, найти их долю в общей погрешности обработки, получить меру определенности процесса и исходя из этого обоснованно подойти к решению задач прогнозирования, контроля и управления точностью технологического процесса. Показатель степени нелинеиности дает возможность оценить погрешность аппроксимации при замене нелинейного изменения центра настройки линейной зависимостью.

Технологический процесс можно назвать детерминированным (регулярным), если каждому значению времени t отвечает одно вполне определенное значение показателя х качества изделия. Это обычная схема чисто функциональной зависимости между переменными, когда показатель качества х является некоторой функцией от времени, т. е. х = = f(t). Для детерминированного процесса можно точно предсказать значения показателя качества в данный или последующие моменты времени. Воздействуя на доминирующие факторы, вызывающие погрешность обработки, можно управлять точностью технологических процессов.

Для недетерминированного (нерегулярного) процесса показатель качества может принимать любые (априори неизвестно какие) значения, и их невозможно предсказать по данным значениям t, от которых они зависят. В этом случае показатель качества определяется совокупностью неконтролируемых факторов, и, следовательно, управление точностью технологического процесса невозможно.

Фактически реальные процессы не являются полностью детерминированными или нерегулярными, т. е. изменение показателя качества изделия во времени можно рассматривать как случайный (стохастический) процесс. Поэтому важно оценить количественную степень детерминированности технологического процесса.

В качестве показателя для количественной характеристики степени детерминированности технологического процесса примем величину, определяемую выражением (40):

KW

(47)

где а² {m_JC(t)} — дисперсия, вызванная изменением функции математического ожидания m_x(t); а² {х} — общая дисперсия погрешности обработки партии деталей. Для детерминированного процесса г² = 1, а для нерегулярного г² == 0. Действительно, согласно определению для детерминированного процесса имеет место точная функциональная зависимость погрешности размеров от времени [т. е. о_х (t) = = 0], и, таким образом, а |х} = ст {m_x(t)}. Тогда согласно (47) получим r_m = 1. Для нерегулярного процесса a {m_x(t)} =0 и, следовательно, г_т = 0.

Рис. 9. Графики для определения критерия нелинейности технологического процесса

Таким образом, показатель детерминированности может принимать значения от нуля до единицы (0 ^ r_m ^ 1). Чем ближе г_т к единице, тем выше степень детерминированности процесса.

Функция математического ожидания m_x(t), характеризующая смещение во времени центра настройки технологического процесса, в общем случае является нелинейной. Однако в практических расчетах удобно аппроксимировать ее линейной зависимостью. При этом важно определить погрешность аппроксимации (рис. 9).

Центр настройки процесса изменяется по некоторой кривой m_x(t) (рис. 9, я). Естественно считать нелинейностью кривой ее среднее ква- дратическое отклонение от некоторой прямой m_x(t), для которой это отклонение будет наименьшим. Тогда степень нелинейности смещения центра настройки

8² = M{[_m_x(t)-m_x{t)Y}. (48)

Преобразуя (48) и используя уравнение линии регрессии

~ т_х t - щ

---- 1------- = Pxr----,

запишем (48) в виде 5а² К(')}-

2p_xt —М {[m_x(t) - mj [it - mj} + a,

(49)

M{[m_x(t)-mJ [г-т,]} = К_х,= = P*r<W M{[t-m_t']²}=af.

Поэтому вместо (49) можно написать

5² = a²K(t)}-p^. (50)

Эту формулу можно представить геометрически, как показано на рис. 9,6; при замене нелинейного изменения центра настройки линейной зависимостью общая дисперсия погрешности размеров а² уменьшается на величину 5 ² и принимает значение^ равное а².

Корреляционный момент, входящий в (54). т т

tm_x(t)dt-~jm_x(t)dt. о (56)

М {(х-m_x)(t-.m_x)}= —

Подставляя (55) и (56) в (54) и учитывая х(0 = ^т0+ ²К°0

Разделив обе части (49) на а², получим показатель относительной степени нелинейности технологического процесса

получим коэффициент корреляции

_52_ (J2

(51)

= Г2 - р2, ■

т

где

dt-

(52)

on_t

o{m_x(t)} г_т =; Р^:

В некоторых случаях удобно рассматривать показатель относительной степени нелинейности изменения центра настройки:

(53)

ДО)

Показатели v и 0 относительной степени нелинейности технологического процесса могут принимать значения от нуля до единицы: O^v^ 1; 0^0^ 1.

Для линейного изменения центра настройки согласно определению 5 = 0 и, следовательно, г² — р². В этом случае, применяя (51) и (53), имеем V = 0, 0 = 0. Чем ближе v к единице, тем выше степень нелинейности технологического процесса.

1 -

В качестве примера определим степень нелинейности технологического процесса при изменении центра настройки по степенному закону и постоянном рассеянии. В этом случае функции математического ожидания m_x(t) и среднего квадратического отклонения <J_x(t) описываются (45). Для условий данного примера вычислим величины г_т и р, характеризующие степень нелинейности хода процесса. Величина г_т определена ранее [см. (46)]. Для нахождения показателя р воспользуемся (52)

(54)

Поскольку величина t распределена равномерно в интервале (0, Г), имеем

Т т

М{(х-т_х){1-щ)}

р = - dt},

или принимая во внимание, что 4 Цп

1+-

(п+1)²(п + 2)_ приходим к окончательному результату

(57)

4п\1

1 -

4пХ²_т + (п+\)²(п + 2)

(58) (59)

Рис. 10. Зависимость показателя 0² степени не- Р-[4]) линейности Процесса от параметра и, характеризующего степенной закон изменения центра настройки

2]/зХ_ти(и + 2)^1/2

Р =

[4пХт + (и + 1)² (и + 2)]^1/2 (2п + 1)

Подставляя вместо р и г² их значения из (57) и (46) в (51) и (53), получим показатели v²и 0² относительной степени нелинейности технологического процесса:

3(и + 2)л' (2л + I)².

(п- I)²

(2 п + I)²

По формуле (59) были выполнены расчеты, результаты которых представлены на рис. 10.

Щ

0Л

Рис. 11. График для определения периодичности подналадки г_под технологического процесса

Определение оптимального настроечного размера на обработку партии деталей. При

обработке партии деталей под влиянием систематических и случайных погрешностей происходит смещение уровня настройки m_x(t) и увеличение мгновенного поля рассеяния A_x(t) (рис. 11). Эти изменения могут привести к выходу размеров деталей за границы поля допуска. С целью восстановления первоначально установленной требуемой точности процесса следует проводить подналадку технологической системы. Время между подналадками можно определить несколькими способами.

Рассмотрим определение периодичности подналадки станков по методу предельных отклонений, используемое в тех случаях, когда заданы аналитически или установлены экспериментальным путем виды функции смещения уровня настройки и изменения мгновенного рассеяния: х = т_х (г), А = А_х (t).

Так как мгновенное распределение размеров является почти всегда гауссовским, то А_х (t) = 3о_х (t). При реализации метода предельных отклонений требуется, чтобы вид функций m_x(t) и A_x(t) практически был одинаковым для всех партий деталей. Кроме того, предполагается, что для момента проведения подналадки задана вероятность выхода контролируемого размера за верхнюю или нижнюю границы поля допуска q = 0,0027.

На основании рис. 11 верхняя и нижняя границы мгновенного поля рассеяния размеров деталей соответственно

Если функция x_B(t) принимает значение ^ х₀ + 5, то размеры деталей выходят за верхнюю границу поля допуска. В случае, когда размеры деталей выходят за нижнюю границу поля допуска, функция x_H(t) принимает значения меньше хо — Таким образом, момент подналадки t_no_д в общем случае равен меньшему из значений t_B и t_H: t_noA = min(t_B, t_H), где величины t_H и t_B определяются из уравнений

x₀ + 5 = m_x(t_B) + Ax(t_B);

x₀-6 = m_x(t_H)-Ax(t_H).

Наладку станка следует выполнять таким образом, чтобы время £_Под было как можно большим, т. е. чтобы реже осуществлять подналадку технологического процесса.

m_x(t)-

Рассмотрим случай, когда смещение уровня настройки описывается степенной функцией, а мгновенное рассеяние размеров остается постоянным (рис. 12):

₎ + vt^l,n; A_x(t) = А₀ = const. (60)

Так как в данном случае центр рассеяния смещается к верхней границе поля допуска, то время работы станка без подналадки г_подопределяется из уравнения

. (61)

Рис. 12. График для определения периодичности

подналадки t_n

технологического процесса при из

менении уровня настроики по степенному закону и постоянном мгновенном рассеянии: х_в (t) = m_Q +

+ vt^i/n + Д₀; x_H(r) = то + vt¹

-До

х₀ + 5 = m₀ + vt\JSjy + Д₀»

откуда

-(х₀ + 5-т₀- А₀)

оптимальному начальному положению уровня настройки, при котором величина t будет наибольшей. По определению m₀₁ < т₀ ^ т₀₂, где

т₀₁ = х₀ - 5 + Д₀; т₀₂ = х₀ + 6 - Д₀. (62)

(63)

-t(m₍

Непрерывная функция принимает наибольшее значение или в точках экстремума, или на концах интервала. Функция t(m₀) в (61) может иметь экстремум только в точке т₀ = т₀₂ и равняется в этой точке нулю. Значит она принимает наибольшее значение на другом конце промежутка, в точке т% = т_ох.

(5-Д₀

Аналогичным образом можно показать, что (63) будет справедливой и в случае, если уровень настройки смещается к нижней границе поля допуска.

Глава

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...

Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...

Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...