Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2018-01-28 | 232 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Энергию колебаний и теплоемкость решетки будем рассчитывать для единичного объема кристалла, т. е. положим нормировочный объем равным единице: V = L 3 = 1.
Чтобы вычислить среднюю энергию колебаний кристаллической решетки, нужно просуммировать среднюю энергию всех типов колебаний (всех состояний фононов):
(44) |
Проще всего это сделать при высоких температурах, когда для частот всех колебаний выполняется неравенство ħ ωjk << kBT (классический предел). Тогда средняя энергия, приходящаяся на каждое колебание, равна kBT, всего колебаний 3 lN = 3 lN, для полной энергии E получаем:
(45) |
Т. к. N — число примитивных ячеек кристалла в единице объема, то N = 1/ v 0, где v 0 — объем примитивной ячейки.
Теплоемкость решетки при высоких температурах постоянна (закон Дюлонга и Пти):
CV = 3 lNkB | (46) |
При невысоких температурах все сложнее. Чтобы точно вычислить энергию решетки, т. е. сосчитать сумму (44), необходимо знать дисперсионные зависимости для всех ветвей колебаний. И даже при условии, что зависимости эти известны, аналитическое выражение для энергии получить практически невозможно.
Поэтому для нахождения энергии и теплоемкости решетки применяют различные приближения.
Модель Эйнштейна
В модели Эйнштейна предполагается, что частоты всех фононов одинаковы, ωjk = ω 1. Тогда для энергии получаем:
(47) |
При высоких температурах, kBT >>ħ ω 1, эта зависимость приводит к выражению (45) для энергии и закону Дюлонга и Пти (46) для теплоемкости.
При низких температурах, kBT <<ħ ω 1, энергия колебаний и теплоемкость экспоненциально уменьшаются:
(48) |
(49) |
Модель Эйнштейна хорошо описывает вклад в энергию и теплоемкость оптических ветвей фононов, у которых частота слабо зависит от волнового вектора и ее можно считать постоянной. Чтобы учесть только оптические ветви, частоту которых мы полагаем равной ω 1, нужно вместо 3 l писать число этих ветвей. В общем случае, частоты разных оптических ветвей могут сильно отличаться друг от друга и их вклад в энергию и теплоемкость нужно учитывать отдельно.
|
Модель Дебая
Опыт показывает, что теплоемкость действительно падает с уменьшением температуры, но не экспоненциально, а пропорционально T 3. Дело в том, что при любых, сколь угодно низких температурах в кристалле найдутся колебания, энергия фонона которых меньше kBT. Это — длинноволновые акустические колебания. Именно такие колебания, точнее те из них, частота которых меньше kBT /ħ, вносят основной вклад в энергию при низких температурах. Колебания с б\'ольшими частотами (оптические и более коротковолновые акустические) ''заморожены'': фононов этих колебаний экспоненциально мало.
Сделаем простую оценку. Вклад в энергию вносят фононы, энергия которых меньше kT. Пусть скорость звука j -й акустической ветви равна sj и не зависит от направления волнового вектора: ω = sj | k |. Тогда вклад в энергию дают колебания с волновыми векторами, меньшими kmax = kBT /(ħ sj). Плотность разрешенных значений волновых векторов в k -пространстве кристалла равна V /(2 π)3, поэтому внутри сферы радиуса kmax содержится
разрешенных значений волновых векторов. Это число колебаний одной акустической ветви, вносящих существенный вклад в энергию. На каждое такое колебание приходится энергия порядка kBT. Для энергии колебаний одной акустической ветви получаем:
(50) |
Т. к. мы вычисляем энергию и теплоемкость единицы объема кристалла, то в (50) мы положили V = 1.
Таким образом, вклад одной акустической ветви в теплоемкость пропорционален T 3:
(51) |
Чтобы получить полную энергию и теплоемкость, надо сложить вклады от трех акустических ветвей:
(52) |
где через sj обозначена скорости звука j -й акустической ветви.
|
Мы сделали достаточно грубую оценку, поэтому к численным коэффициентам в последних двух выражениях не стоит относиться серьезно. Тем не менее, эта оценка дает правильную зависимость энергии и теплоемкости от температуры и скорости звука.
Посчитаем теперь энергию решетки при низких температурах более аккуратно.
Формула (44) имеет вид суммы по различным колебаниям (различным состояниям фононов) определенной величины, которая зависит только от энергии фонона:
(53) |
Такие суммы встречаются довольно часто. Т. к. f зависит только от энергии фонона, то от суммы по состояниям можно перейти к интегралу по энергии:
(54) |
Здесь — плотность состояний фононов. Напомним, что — это число состояний квазичастиц (фононов) в единице объема с энергиями от до , т. е. число различных колебаний с такими энергиями.
Суммарная плотность состояний складывается из плотности состояний разных ветвей: ; плотность состояний ветви определяется ее законом дисперсии . Аналитически получить законы дисперсии и плотности состояний фононов реальных кристаллов практически невозможно.
Однако при низких температурах энергия и теплоемкость определяются длинноволновыми акустическими фононами. Плотность состояний акустических фононов нам известна, мы получили ее в качестве примера, когда вводили само понятие плотности состояний (). Если для j -й акустической ветви ω = sj | k |, то
(55) |
Плотность состояний длинноволновых колебаний всех акустических ветвей получается суммированием по трем акустическим ветвям:
(56) |
где s — ''усредненная'' скорость звука:
(57) |
Линейный закон дисперсии ω = s | k | и соответствующая плотность состояний верны только для малых k. При б\'ольших значениях волнового вектора закон дисперсии и плотность состояний имеют более сложный вид.
Однако при низких температурах вклад в энергию и теплоемкость вносят как раз только длинноволновые фононы, а при высоких температурах вид плотности состояний не важен, т. к. в этом случае на каждое колебание приходится энергия kT. Чтобы получить выражение, которое давало бы правильные предельные зависимости при низких и высоких температурах, Дебай предложил считать, что закон дисперсии ω = s | k | выполняется и при больших k. Максимальное значение волнового вектора kD при этом выбирается так, чтобы в шаре радиуса kD содержалось столько разрешенных значений волновых векторов, сколько их содержится в зоне Бриллюэна, N = 1/ v 0. Иными словами, объем этого шара должен быть равен объему зоны Бриллюэна (2 π)3/ v 0, откуда
|
(58) |
Таким образом, сохраняя число акустических колебаний, мы заменяем первую зону Бриллюэна сферой, а реальный закон дисперсии — линейным. Фонон с волновым вектором kD имеет энергию . Соответствующая температура,
(59) |
называется температурой Дебая.
В таком приближении мы можем вычислить вклад акустических ветвей в энергию и теплоемкость решетки:
(60) |
При низких температурах, T << θ, верхний предел интеграла много больше единицы. Благодаря экспоненте в знаменателе интеграл сходится очень быстро, что позволяет положить верхний предел равным бесконечности. Значение такого интеграла известно:
(61) |
Для энергии акустических колебаний при низких температурах получаем:
(62) |
откуда следует, что теплоемкость решетки при низких температурах пропорциональна T 3:
(63) |
При высоких температурах, T >> θ, верхний предел интегрирования мал, поэтому можно считать, что exp(x)–1≈ x, таким образом:
(64) |
E = 3 NkT | (65) |
CV = 3 Nk | (66) |
Это закон Дюлонга и Пти, только вместо полного числа колебаний 3 lN стоит число колебаний акустических ветвей 3 N. (При высоких температурах на каждое колебание приходится средняя энергия kBT, полное число акустических колебаний равно 3 N, поэтому вклад акустических ветвей в энергию равен 3 NkT).
В пределе низких и высоких температур модель Дебая дает точные значения для вклада акустических ветвей в энергию и теплоемкость. В области же промежуточных температур, T ~ θ, эта модель лишь аппроксимирует реальную зависимость энергии и теплоемкости от температуры.
Температура Дебая разделяет две температурные области. В области низких температур на энергию и теплоемкость решетки сильное влияние оказывают квантовые эффекты (''вымерзание'' высокочастотных колебаний). В области высоких температур эти эффекты не существенны, и теплоемкость может быть вычислена в классическом приближении. Для большинства кристаллов температура Дебая лежит в интервале от 100 до 300 K.
|
Чтобы получить полную энергию и теплоемкость кристаллической решетки, надо к вкладу акустических колебаний прибавить вклад оптических ветвей, для которого хорошим приближением является модель Эйнштейна. Этот вклад пренебрежимо мал при низких температурах. При высоких температурах вклады всех ветвей в энергию и теплоемкость равны.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!