Неосвобождаемое твердое тело

Основные понятия статики

Основные понятия статики За материальную точку принимают такое тело, размеры которого малы по сравнению со смежными телами. Например, искусственный спутник Земли принимают за материальную точку, так как его размеры малы по сравнению с нашей планетой. Трактор, движущийся по полю также можно принять
за материальную точку, когда длина гона значительно больше его размеров.
Абсолютно твердым телом в теоретической механике называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным при любых силовых воздействиях, то есть тело не
деформируется. Считая тела абсолютно твердыми, мы значительно упрощаем исследование действующих на тело сил и условий, при которых оно находится в равновесии. Дальнейшим, важнейшим понятием является сила. Силой называется физическая величина, появляющаяся при взаимодействии тел или физических полей и определяется по появлению деформаций или ускорений. Сила характеризуется: точкой приложения, направлением и величиной. Прямая по которой направлена сила, называется линией действия этой силы. Сила – величина векторная.
В системе СИ сила измеряется в Н (Ньютон), в некоторых случаях силу измеряют в кг. 1Н = 0,102 Н, 1кг = 9,81Н. Силы делятся на активные и пассивные. Активные силы создают или способны создать
движение, а пассивные препятствуют или уничтожают движение.
Совокупность сил, действующих на какое-либо тело, называется системой сил. Если тело, находящееся под действием системы сил остается в покое, или движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то такая система называется уравновешивающейся системой. Если одну систему сил, приложенную к абсолютно твердому телу, можно заменить другой системой, не нарушая при этом его покоя, то такие две системы сил называются эквивалентными. Несколько сил (F1, F2), приложенных к одной точке, могут быть заменены одной силой (R), называемой равнодействующей силой, и наоборот, одна сила может быть разложена на насколько сил, приложенных к той же точке.

Аксиомы статики

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в началь­ный момент находилось в покое, то состояние покоя тела сохранится.

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, дей­ствующих по одной прямой и направленных в противополож­ные стороны.

Аксиома 3. Не меняя cостояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно за­менить одной равнодействующей силой, приложен­ной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противополож­ные стороны.

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.

Главный вектор

– векторная сумма всех сил, приложенных к телу.

Главный момент относительно центра

– векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

 

14) Теорема Шаля:

Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Этот центр на неподвижной плоскости, совпадает см.ц.с. и называется мгновенным центром вращений (ось вращений). При движении плоской фигуры м.ц.с. непрерывно изменяет свое положение. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на плоскости фигуры, называется подвижной центроидой (колесо катится по прямой: неподвижная центроида – прямая, подвижная – окружность). При движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).

 

Теорема Вариньона

– если плоская система сил приводится к равнодействующей, то ее момент относительно какой-либо точки равен алгебраической (т.е. с учетом знака) сумме моментов всех сил относительно той же точки.

16-17) Условия равновесия пространственной системы сил:

или .

18) Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.

19)

Необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил эти условия получают вид F_o=åF_k=0, М_Оz=åМ_oz(F_k)=0, (5.15), где О– произвольная точка в плоскости действия сил. Получим: F_ox=åF_kx=F_1x+F_2x+…+F_nx=0, P_ox=åF_ky=F_1y+F_2y+…+F_ny=0, М_Оz=åM_Oz(F_k)=M_oz(F₁)+M_oz(F₂)+…+M_oz(F_n)=0, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю. Второй формой уравнения равновесия является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой;

20) Системы, внутренние силы в которых от заданной нагрузки можно определить из уравнений их равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми системами.

Система статически н е о п р е д е л и м а, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы.

Разность числа неизвестных сил и числа независимых уравнений равновесия называют с т е п е н ь ю с т а т и ч е с к о й н е о п р е д е л и м о с т и системы.

Уравнения равновесия дополняют уравнениями перемещений. Их составляют, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая соотношения между перемещениями ее сечений или узлов.

21)

Для записи условия равновесия системы, состоящей из твёрдых тел, систему разделяют на отдельные части, и записывают уравнения равновесия как для всей системы, так и для её частей^[1]. При этом возможны несколько эквивалентных вариантов записи условий равновесия в зависимости от выбора частей системы, для которых записываются уравнения.

22) Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
xc = (∑ Gixi) / ∑ Gi;
(1) yc = (∑ Giyi) / ∑ Gi;
zc = (∑ Gizi) / ∑ Gi.

 

23)Кинематика изучает движение тел, без учета причин, которыми обусловлено это движение.
Основными задачами кинематики являются:
1. Описание с помощью формул, таблиц и графиков совершаемых телом движений.
2. Определение кинематических величин, характеризующих это движение.
Для описания движений в кинематике вводится ряд специальных понятий (материальная точка, абсолютно твердое тело, система отсчета, траектория и т.д.) и величин (путь, перемещение, скорость, ускорение и т.д.)
Механическим движением называют изменение положения тела относительно других тел в пространстве с течением времени.
Тело, относительно которого рассматривается движение других тел, называется телом отсчета.
Систему координат и прибор для отсчета времени, связанные с телом отсчета, называют системой отсчета.
Тело, деформациями которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют абсолютно твердым телом.
Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой.
Линию, описываемую материальной точкой при своем движении, называют траекторией.
Любое движение твердого тела можно разделить на два вида движения: поступательное и вращательное.
Поступательным называют такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.
Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. (Ось вращения может находиться и вне тела).

 

24) 3. Векторный способ.

Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторо­го начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания дви­жения необходимо задать:

а) начало отсчета радиус-вектора r;

б) начало отсчета времени t;

в) закон движения точки r (t).

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от век­торного способа легко перейти к коорди­натному. Если ввести единичные векторы i, j, k (i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r (t) = x(t) i +y(t) j +z(t) k. (1)

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

Координатный способ.

Это наиболее универсальный и ис­черпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;

б) начало отсчета времени t;

в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).

Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.

26)Естественный способ.

Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокуп­ность точек пространства, через которые проходит движущаяся мате­риальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При есте­ст­венном способе необходимо задать (рис. 1):

а) траекторию движения (отно­си­тель­но какой-либо системы коор­динат);

б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

в) положительное направление от­счета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);

г) начало отсчета времени t;

д) функцию S(t), которая называется законом движения**) точки.

27) Скоростью точки в данный момент времени называется вектор v, равный первой производной от ее радиуса-вектора r по времени:

v = d r /dt = ;
(Производную по времени принято в механике обозначать точкой над дифференцируемой величиной).

Вектор скорости, характеризующий изменение с течением времени модуля и направления радиуса-вектора точки, направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

При прямолинейном движении вектор скорости v все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по величине; при криволинейном движении кроме модуля все время изменяется и направление вектора скорости точки.

В качестве единиц измерения скорости применяют обычно м/с или км/ч.

Ускорением точки в данный момент времени называется вектор a, равный первой производной от вектора скорости v или второй производной от ее радиуса-вектора r по времени:

a = d v /dt = d r ²/dt²;или a = = .

Ускорение точки, как векторная величина, характеризует изменение с течением времени модуля и направления вектора скорости точки.

Рассмотрим, как располагается вектор a по отношению к траектории точки.
При прямолинейном движении вектор a направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией является пространственная кривая, то вектор a направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в соприкасающейся плоскости. Так называют плоскость, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении d r = v dt движущейся точки (подробнее это понятие изложено при задании движения точки естественным способом). Для пространственной кривой в каждой ее точке будет, вообще говоря, своя соприкасающаяся плоскость. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех ее точек.

В качестве единицы измерения ускорения применяется обычно м/с².

 

28) Определение скорости точки

Проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:

v_x = dx / dt; v_y = dy / dt; v_z = dz / dt;

или

v_x = ; v_y = ; v_z = ,

где точка над координатой означает символ дифференцирования по времени.

Модуль и направляющие косинусы (косинусы углов, которые образует вектор v с координатными осями Ox, Oy, Oz) вектора v выражаются через его проекции по следующим формулам:

v =(v_x² + v_y² + v_z²) ; cos(v,Ox) = v_x / v; cos(v,Oy) = v_y / v; cos(v,Oz) = v_z / v.

Определение ускорения точки

Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:

a_x = dv_x / dt = d²x / dt²; a_y = dv_y / dt = d²y / dt²; a_z = dv_z / dt = d²z / dt²;

или

a_x = _x= ; a_y = _y= ; a_z = _z= ;

Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения a выражаются через его проекции по следующим формулам:

a =(v_a² + a_y² + a_z²) ; cos(a,Ox) = a_x / a; cos(a,Oy) = a_y / a; cos(a,Oz) = a_z / a.

29) Вектор ускорения a точки лежит в соприкасающейся плоскости P n и определяется двумя проекциями и a_n (a_b = 0):

проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от алгебраической скорости или второй производной от криволинейной координаты точки по времени:

= d / dt = d²s /dt²или = = .

проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой:

a_n = v² / .

Величины и a_n соответственно называют касательным и нормальным ускорениями точки.

 

 

30. определение скорости и ускорения точки при координатном задания её движения.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:

, ,

или

, , ,

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

;

, , ,

где , , - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки , учитывая, что , , , найдем:

, , .

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы , , , которые вектор образует с координатными осями) по формулам

;

, , .

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

 

 

31.Равномерное и равнопеременное движения точки.

Равноме́рное движе́ние — механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит равные перемещения. Равномерное движение материальной точки — это движение, при котором скорость точки остаётся неизменной. Перемещение, пройденное точкой за время , задаётся в этом случае формулой .

Прямолинейное равномерное движение — это движение, при котором тело (точка) за любые равные и бесконечно малые промежутки времени проходит одинаковые перемещения. Вектор скорости точки остаётся неизменным, а её перемещение есть произведение вектора скорости на время:

.

Если направить координатную ось вдоль прямой, по которой движется точка, то зависимость координаты точки от времени является линейной:

,

где — начальная координата точки, — проекция вектора скорости на координатную ось.

Точка, рассматриваемая в инерциальной системе отсчёта, находится в состоянии равномерного прямолинейного движения, если векторная сумма всех сил, приложенных к точке, равна нулю.

Если вектор a_t=const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то a_n=0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным.

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
a_t = dv/dt = f'(t) = const,
то a_n≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным.

При |a_t|>0 движение точки называется равноускоренным, а при |a_t|<0 – равнозамедленным.

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1)s = s₀ + v₀t + a_tt² / 2.

Здесь s₀ – расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v₀ – начальная скорость и a_t – касательное ускорение – величины численно постоянные, a s и t – переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2)v = v₀ + a_tt.

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s₀, v₀, a_t и три переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны a_t и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения a_t из (1) и (2)
(3)s = s₀ + (v + v₀)t / 2;

после исключения t из (1) и (2)
(4)s = s₀ + (v² - v₀²) / (2a_t).

В частном случае, когда начальные величины s₀=0 и v₀=0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5)s = a_tt² / 2;
(6)v = a_tt;
(7)s = vt / 2;
(8)s = v² / (2a_t).

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) – вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы формулы (5)–(8), причем
a_t = g = 9,81 м/сек² ≈ 9,8 м/сек².

32. Поступательное движение твердого тела.

Поступательное движение — РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ точки - движение, при к-ром касат. ускорение w_тточки (в случае прямолинейного движения полное ускорение w)постоянно. Закон Р. д. точки и закон изменения её скорости u при этом движении даются равенствами:

где s - измеренное вдоль дуги траектории расстояние точки от выбранного на траектории начала отсчёта, t - время, s₀ - значение s в нач. момент времени t = = 0. - нач. скорость точки. Когда знаки u и w одинаковы, Р. д. является ускоренным, а когда разные - замедленным.

При поступат. Р. д. твёрдого тела всё сказанное относится к каждой точке тела; при равномерном вращении вокруг неподвижной оси угл. ускорение e тела постоянно, а закон вращения и закон изменения угл. скорости w тела даются равенствами

где f - угол поворота тела, f₀ - значение f в нач. момент времени t = 0, w₀ - нач. угл. скорость тела. Когда знаки w и e совпадают, вращение является ускоренным, а когда не совпадают - замедленным.

33.Вращательное движение твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела.

Рис.13

Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е.

.

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем, что

или .

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, >0, а когда по ходу часовой стрелки, то <0.

Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с^-1), так как радиан - величина безразмер­ная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.14). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.14

 

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени угловая скорость тела изменяется на величину , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем,

или .

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T² (1/время²); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с² или, что то же, 1/с² (с-²).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно при замедленном вращении (рис.14,б).

 

34. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.13). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время проис­ходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению к , т.е

или .

Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

 

Рис.15 Рис. 16

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами , .

В нашем случае . Подставляя значение в выражения и , получим:

или окончательно:

, .

Касательная составляющая ускорения направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.16). Полное ускорение точки М будет или .

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле . Подставляя сюда зна­чения и , получаем .

Так как и имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.18.

 

Рис.17 Рис.18

 

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов и , проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 17). Тогда и по формуле

или .

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­сти их одинаковы. Следовательно, - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

 

.35. авномерное и равнопеременное вращения

Если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной ( =const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем .

Отсюда, считая, что в начальный момент времени t =0 угол , и беря интегралы слева от до , а справа от 0 до t, получим окончательно

.

Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда

и .

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и 1/с. При одном обороте тело повернется на угол , а при n оборотах на ; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что

.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным , то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t =0 угол , а угловая скорость ( -начальная угловая скорость).

Из формулы имеем . Интегрируя левую часть в пределах от до , а правую - в пределах от 0 до t, найдем ,

или