Новая модель: Джордано Бруно

На смену геоцентрической птолемеевой системе пришла гелиоцентрическая система Коперника. Не стоит забывать, что она также была не совсем правильной, поскольку предполагала, что Солнце – это центр Вселенной. Кеплер усовершенствовал модель, но продолжал придерживаться исходного предположения, противоречащего современной науке. Однако смещение Земли с ее центрального места было шагом в верном направлении, и в результате следующих шагов Солнце также утратило привилегированное место во Вселенной. Об этом говорил еще Николай Кузанский. Итальянец Джордано Бруно, современник Кузанского, Кеплера и Галилея, защищал более современную космологическую систему: он говорил о том, что Солнце не является центром, а многие так называемые неподвижные звезды могут быть такими же светилами, как наше Солнце, и удерживать в своих системах такие планеты, как Земля. В концепции Бруно Солнечная система была одной из многих планетарных систем. Мы и сами сегодня утверждаем, что, помимо нашего мира, может существовать бесконечное количество других обитаемых миров. Однако шаги в этом направлении сделал Бруно в XVI веке. Речь шла не только о выборе между геоцентризмом или гелиоцентризмом. Существовала и третья, более интересная возможность: центром не являются ни Земля, ни Солнце. За свои воззрения Бруно в 1600 году был сожжен заживо на костре инквизиции.

 

Бронзовый барельеф работы итальянского скульптора Этторе Феррари, который изобразил Джордано Бруно перед судом инквизиции. Составляет часть статуи, воздвигнутой на площади Кампо деи Фиори в Риме, на том месте, где Бруно был сожжен.

 

Эти таблицы будут позднее названы Рудольфовыми. Браге и Кеплер отправились на прием к императору, который с воодушевлением встретил ученых. Кеплеру было назначено жалованье от империи, и начался самый интересный с научной точки зрения период жизни прославленного математика.

Семья Кеплера все еще оставалась в Граце. Кеплер и сам отправился туда для решения вопросов о наследстве умершего тестя. Приняли ученого в городе очень хорошо, однако само дело с наследством ничем не закончилось, и путешествие в этом смысле оказалось бесполезным. Кеплер вернулся в Прагу с женой Барбарой и Региной, ее дочерью от предыдущего брака, к которой ученый испытывал искреннюю отеческую любовь. Были у него с собой также расчеты размера Марса.

Кеплер должен был полностью подчиняться Тихо Браге, очень требовательному во всем, что касалось его главного сокровища – данных наблюдений. Кеплер мог изучать их, работать с ними, но не перекладывать и тем более копировать либо использовать с какой-нибудь другой целью, помимо подтверждения теории Браге об устройстве Вселенной. Эта теория занимала промежуточное положение между птолемеевой и коперниканской, и сам Кеплер в нее не верил.

24 октября 1601 года Тихо Браге умер от поражения мочевого пузыря. Кеплер глубоко переживал смерть коллеги. К тому же после того как тело Браге было отправлено на родину, в Данию, над математиком вновь нависла угроза оказаться на улице. К счастью, этого не произошло. Император назначил его на освободившийся пост придворного математика и оставил в распоряжении Кеплера все инструменты и данные его предшественника и уважаемого друга. Единственным условием было составление Рудольфовых таблиц.

Таким образом Кеплер стал единственным владельцем сокровища, которым он страстно желал обладать. Его жалованье составило 500 флоринов в год – сумму, гораздо меньшую, чем получал Браге, но гораздо большую, чем когда-либо зарабатывал сам ученый. Впрочем, бывало, что эти выплаты довольно сильно запаздывали.

Без всякого сомнения, это был самый продуктивный период в жизни Кеплера как астронома и астрофизика.

 

СМЕРТЬ ТИХО БРАГЕ

Смерть Тихо Браге окружена тайной. Чаще всего утверждается, что он умер от задержки мочи, спровоцированной тем, что ученый вовремя не воспользовался туалетом во время королевского приема. Болезненная агония продолжалась 11 дней. В последнее время появилась гипотеза, что Браге умер от отравления, потому что в его волосах было обнаружена высокая концентрация ртути. Когда начали искать причастных к убийству, подозрение пало на Кеплера. Некоторые даже утверждают, что он отравил своего коллегу, чтобы завладеть всеми данными наблюдений. Однако, зная характер Кеплера, эту нелепую гипотезу невозможно принять.

 

 

 

Благодарность

Кеплер был честным и порядочным человеком. Хотя его разногласия с Тихо Браге были довольно серьезными, особенно в его первый приезд в Прагу, позднее Кеплер испытывал глубокую благодарность к соратнику – единственному, кто помог ему после изгнания из Граца и кто всегда отдавал должное трудам Кеплера и его добросердечности. Большую часть своей жизни он посвятил завершению работы великого и экстравагантного исследователя и организовал публикацию Рудольфовых таблиц. Эту задачу Кеплеру поручил сам император Рудольф II. Он передал в распоряжение ученого все данные наблюдений Браге и самые совершенные в то время измерительные инструменты – предшественники телескопов. Кеплер завершил составление таблиц, считая эту миссию священной для сохранения памяти о своем почитаемом коллеге.

 

 

ТРИ ЗАКОНА КЕПЛЕРА

Приведем современную формулировку этих законов, а потом вспомним, как они появились. Итак, три знаменитых закона Кеплера:

– первый: каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;

– второй: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади;

– третий: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

 

Площади Солнце-A-В, Солнце-С-D и Солнце-E-F, проходимые за одинаковые промежутки времени, равны.

 

Главная ось – это линия апсид, которая проходит от перигелия (самая близкая к Солнцу точка орбиты) к афелию (самая дальняя точка).

Первые два закона иллюстрирует рисунок. Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов эллипса) постоянна. Это определение было предложено самим Кеплером, и согласно ему Джеймс Клерк Максвелл предложил для построения эллипса метод садовника. Для этого в точки фокусов эллипса втыкаются две булавки, к ним привязываются концы нити, затем с помощью третьей булавки нить между иголками оттягивается в сторону. Булавка, оттягивающая нить, скользит, описывая эллипс. В фильме «Агора» режиссер Алехандро Аменабар рассказывает легенду о том, что этот метод изобрела женщина-астроном Гипатия.

Максимальное расстояние от центра эллипса до его границы называется большой полуосью (обозначим ее как а). Минимальное расстояние от центра до его границы называется малой полуосью (b). Эксцентриситет орбиты, е, определяется с помощью формулы:

b=a(1-e2)½

Когда эксцентриситет е равен нулю, b = а, эллипс является окружностью, а его фокусы совпадают в центре окружности. Когда е приближается к 1, эллипс становится все более вытянутым, приближаясь к отрезку при е = 1.

Второй закон подразумевает, что чем ближе планета к перигелию, тем больше ее скорость по сравнению со скоростью в афелии. Перигелий – это самая близкая к Солнцу точка орбиты, афелий – самая дальняя. При круговой орбите нет ни афелия, ни перигелия, и в этом случае скорость движения планеты постоянна.

Рассмотрим третий закон Кеплера для круговой орбиты с нулевым эксцентриситетом. В этом случае сила гравитационного притяжения, действующая на планету, равна ее массе под действием центробежной силы (V²/d):

 

где G является константой всемирного притяжения, М – массой Солнца, d – расстоянием планеты до Солнца и V – ее скоростью. G и М постоянны независимо от рассматриваемой планеты:

V²d= константа. [1]

Принимая во внимание формулу, которая соотносит линейную скорость V с угловой скоростью Ω,

V = Ωd, [2]

и что период обращения Т связан с угловой скоростью:

Ω=2π/T

подставив [3] в [2] и затем [2] в [1], получаем:

d³/T² = константа. [4]

То есть куб средних расстояний между планетами пропорционален квадрату периода обращения.

Как видите, чтобы сделать такой вывод, нам хватило половины страницы. Почему же Кеплеру не хватило целой книги? Стоит учитывать, что для выведения третьего закона Кеплера мы использовали закон тяготения Ньютона, в то время еще неизвестный. Более того, на самом деле все было с точностью до наоборот: это Ньютон, изучив законы Кеплера, сформулировал закон всемирного тяготения таким образом, чтобы эти законы исполнялись. Приведенные рассуждения, справедливые только при круговой орбите, – лишь способ запомнить третий закон Кеплера.

Приведем таблицу расстояний планет до Солнца. В первой колонке указаны названия планет, во второй – расстояния от них до Солнца в миллионах километров, в третьей – те же расстояния, но с использованием астрономической единицы, которая равна расстоянию от Земли до Солнца. В четвертой эти величины округлены, чтобы их легче было запомнить, и, наконец, в пятом столбце указано время, необходимое лучу света для преодоления этих расстояний.

ПланетаВ миллионах километровВ астрономических единицахВ астрономических единицах округленноВремя, необходимое лучу света для преодоления расстоянияМеркурий580,3871/33 минВенера1080,7233/46 минЗемля150118 минМарс2281,5243/213 минЮпитер7785,203545 минСатурн14279,539101час 20 минУран287019,18202 часа 40 минНептун449730,06304 часаВ примере [4] описан третий закон Кеплера: куб расстояний пропорционален квадрату периодов, коэффициент пропорциональности зависит от G и массы Солнца. Однако представим, что нам неизвестны эти константы и мы хотим использовать третий закон Кеплера для того, чтобы узнать периоды планет на основе приблизительных расстояний из таблицы. Все окажется очень простым, если измерять расстояние в астрономических единицах (а.е.). Мы можем преобразовать в этих единицах предыдущую формулу: Т = d3/2 то есть если мы хотим узнать период обращения (сидерический период) планеты, нам нужно возвести расстояние в куб и извлечь квадратный корень.

Рассмотрим в качестве примера Венеру. При расстоянии до Солнца, равном 3/4 а.е., ее период составит 0,65 земного года. Для Марса при расстоянии 3/2 а.е. после использования приведенной формулы получим 1,8 земного года. Для Юпитера при d = 5 а.е. получим, что один год на Юпитере равен приблизительно 11 земным. Естественно, точность расчетов можно повысить, использовав неокругленные значения.

 

 

«НОВАЯ АСТРОНОМИЯ» (astronomia nova)

Можно считать, что этот труд Кеплера – первая современная книга по астрономии. В ней приведены два из трех законов великого ученого, причем любопытно, что второй закон идет перед первым. Третий закон, как мы писали, появился только в Harmonices mundi, следующей книге. Astronomia nova была написана в 1605 году и опубликована в 1609-м. Ее полное название звучит так: Astronomia nova seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis («Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в комментариях о движениях звезды Марс»).

Хотя в названии говорится о планете Марс, законы Кеплера справедливы для всех планет. Марс оказался в названии потому, что Браге поручил Кеплеру вычислить орбиту именно Марса. Возможно, датчанин таким образом хотел просто проверить способности своего коллеги, ведь наблюдения за четвертой планетой Солнечной системы сложнее всего поддаются интерпретации. Можно считать большой удачей, что перед Кеплером была поставлена именно эта задача, потому что Марс с его большим эксцентриситетом наилучшим образом подходил для проверки догадок ученого.

Чтобы сформулировать первые два закона, Кеплеру пришлось прибегнуть к математически сложным методам, предвосхищающим дифференциальный анализ. Формируя оригинальные гипотезы, он часто использовал как религиозные соображения, так и результаты наблюдений, однако в этом случае победило уважение Кеплера к научным данным. Эта книга – образец строгого и объективного исследования, результат упорства и точности. Конечно, читать ее довольно сложно – как и многие другие работы ученого, – поскольку Кеплер тщательно развивает как свои ошибочные посылки, предшествующие решению, так и правильные итоговые умозаключения.

 

Иоганн Кеплер, портрет 1610 года, автор неизвестен.

 

Страница из Astronomia nova (1609) на которой изображена работа Кеплера по расчету орбиты Марса. Этот рисунок иллюстрирует два его первых закона.

 

Страница из Harmonices mundi (1618) с музыкой, которую Кеплер считал свойственной звездам.

 

Итак, идеи Коперника и данные Тихо Браге наконец-то соединились. Казалось, теперь задача поддастся, однако это было не так. Погрешности при расчетах составили около 8' и хотя этот результат устроил бы любого другого астронома, Кеплер, используя данные Тихо Браге с погрешностью менее 2' требовал от себя такой же точности.

Открытие двух первых законов далось Кеплеру довольно трудно. Их сложность очевидна даже сегодня, даже если опираться на ньютоновские законы небесной механики и знать, каким должен быть результат. Кеплер использовал все более и более точные измерения, и наконец ему пришла в голову идея, что орбиты могут иметь овальную форму.

Задолго до этого западноарабский астроном Аз-Заркали (1029-1087) предположил, что орбита Меркурия имеет эллиптическую форму. Вероятно, его работу видел и Кеплер, ведь он добросовестно изучал труды астрономов других эпох, а работы Аз-Заркали цитировали в то время довольно часто. Однако точных данных об этом нет, а сам Кеплер об Аз-Заркали не упоминает.

Также Кеплер считал, что Солнце вряд ли находится в центре всех орбит (и действительно, это довольно сложно себе представить). Идея ученого была близка древнему понятию экванта – точки, не совпадающей с геометрическим центром траектории планеты, из которой ее движение выглядит равномерным. И действительно, если Солнце не занимает центр круговой орбиты, то при равномерной скорости движения по ней мы бы наблюдали с Земли переменную скорость светила.

Другая идея ученого состояла в том, что Земля должна вести себя так же, как и другие планеты, а центр ее орбиты также смещен по отношению к Солнцу.

Для каждой планеты, включая Землю, существует линия апсид, соединяющая афелий и перигелий. Получалось, что соотношение скоростей в афелии и перигелии обратно соотношению расстояний от этих точек до Солнца. Кеплер ошибочно предположил, что это свойство справедливо для всех точек орбиты, то есть что скорость планеты обратно пропорциональна расстоянию до Солнца.

 

КОНИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Эллипс с нулевым эксцентриситетом и его частный случай, окружность, являются кривыми и видом конических сечений, то есть сечений конуса плоскостью. В зависимости от взаимного расположения плоскости и конуса мы получаем эллипс, гиперболу и параболу. Эти названия были предложены Аполлонием Пергским (262-190 до н.э.), первым известным автором, изучавшим конические сечения.

Орбиты планет являются эллипсами, однако при гравитационном искривлении они могут иметь вид и других конических сечений. Когда объект приближается с большого расстояния на большой скорости, из-за воздействия гравитации его траектория искривляется. В большинстве случаев объект продолжает свое движение и удаляется в бесконечность, следуя по гиперболической траектории. Кометы длинного периода имеют такой большой эксцентриситет, что их траектория практически параболическая, то есть занимает промежуточное место между эллиптической и гиперболической. При открытых гиперболических траекториях объект и точечная масса не формируют бинарную (двойную) систему в точном значении этого слова. Звезды в галактике настолько малы по сравнению с обычным межзвездным расстоянием (7 х 108 метров по сравнению с 1017 метров), что гравитационные взаимодействия между ними крайне низки. Столкновения происходят настолько редко или они так слабы, что две сливающиеся галактики могут сохранять свои уникальные характеристики в течение значительных периодов времени. Малое количество столкновений звезда-звезда ослабило теорию о том, что Солнечная система возникла в результате столкновения двух звезд (гипотеза о катаклизме). Сегодня считается, что Солнце и планеты являются ровесниками, рожденными независимо друг от друга от одной протосолнечной туманности. Изучая гравитационное взаимодействие между двумя звездами, следует учитывать, что речь идет о траекториях, соответствующих коническим сечениям, в то время как двойные звезды двигаются по эллиптическим орбитам.

 

Конические сечения, полученные при сечении конуса плоскостью.

 

Также Кеплеру пришло в голову мысленно переместиться на Марс и, соответствующим образом трансформировав данные, получить детальное описание движения Земли.

В конце концов ученый увидел, что самая подходящая орбита – это эллипс, и сформулировал первый из своих законов: «Орбита планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце». Этот закон подверг испытанию математический талант Иоганна Кеплера, однако результат достоин всякого восхищения.

Следующая удачная идея, которая привела к появлению второго закона, рассказана самим Кеплером:

 

«Таким образом, существует бесконечное количество точек на орбите и, соответственно, бесконечное количество расстояний, и тогда мне пришла в голову мысль, что сумма этих расстояний заключена в площади орбиты. Я вспомнил, что Архимед разделил таким же образом площадь круга на бесконечное количество треугольников».

 

Мы видим здесь идею, предшествующую дифференциальному анализу. Второй закон, о линейных скоростях, также сложно вывести даже сегодня. Его формулировка очень витиевата, однако не лишена изящества и, что самое главное, точности: «площади, которые могут быть пройдены за одинаковые промежутки времени, одинаковы» независимо от положения орбиты, на которой находится планета. Этот закон позволяет определить, как планета ускоряется от афелия к перигелию и замедляется от перигелия к афелию. Его практическое применение довольно сложно, и для того чтобы узнать положение планеты на орбите в каждый момент времени, сегодня применяется принцип сохранения кинетического момента.

 

 

ПЕРИОДЫ И РАССТОЯНИЯ

Harmonices mundi, произведение, в котором Кеплер сформулировал третий закон планетарного движения, имеет более средневековый характер, чем Astronomia nova. Этот труд вдохновлен важной мистико-религиозной концепцией, согласно которой Солнце, представляющее Отца, вращается вокруг себя самого. Позже, благодаря движению солнечных пятен, Кеплер убедился, что это действительно так. Сила вращения исходит от Солнца, но ослабляется по мере отдаления от него, поэтому планеты, более близкие к светилу, перемещаются по своей орбите быстрее. Следовательно, должна существовать связь между отдаленностью планеты от Солнца и периодом ее обращения.

Надо сказать, что совершенно все равно, каким путем Кеплер пришел к своей идее, которая предвосхитила ньютоновскую теорию тяготения. С другой стороны, пылающий ум Кеплера сохранял все уважение к данным наблюдений. Бог создал человека по своему образу и подобию для того, чтобы тот мог оценить божественную геометрию. Ученый мог и должен был найти связь между отдаленностью планеты от Солнца и периодом ее обращения, но не придумать ее. И найдя эту связь, Кеплер достиг своих высот, предложив простую и идеально точную формулировку: «Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит».

На рисунке 1 расстояние представлено абсциссами, а периоды – ординатами. Посмотрим на четыре первые точки, соответствующие внутренним планетам (Меркурий, Венера, Земля и Марс). Рисунок 2 изображает искомую связь: на нем представлен логарифм периода в зависимости от логарифма расстояния. Угол наклона равен 3/2: период пропорционален степени 3/2 расстояния. Точки представляют планеты, за исключением Плутона. Чтобы получить период, надо умножить коэффициент пропорциональности на квадратный корень куба расстояния.

Можно подумать, что в те времена были неизвестны построения с абсциссами и ординатами, а тем более логарифмы, но это не так. Такие изображения уже более ста лет как были известны, хотя абсциссы называли субъектом, а ординаты – качеством. При помощи этого графика Доминго де Сото (1494-1570) открыл закон о свободном падении тел. Были известны логарифмы, введенные Джоном Непером (1550-1617). Кеплер не только знал труды последнего, но и посвятил ему одну из своих книг, а также ввел свои собственные логарифмы, кеплеровы. Как бы там ни было, ученый нашел важную формулу, которая управляет движением планет и обеспечивает недостижимую для многих физических формул точность.

 

РИС.1

 

РИС. 2