Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2018-01-04 | 403 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В настоящем параграфе метод Фурье применим к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (2.31) теплопроводности в тонком стержне.
7 .1. Случай однородного уравнения. Рассмотрим задачу: найти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению
, (7.1)
граничным условиям
(7.2)
и начальному условию
(7.3)
где - заданная функция, имеющая непрерывную производную и
Ищем решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условиям (7.2), в виде
(7.4)
Подставляя (7.4) в уравнение (7.1) и разделяя переменные, получаем
или
(7.5)
(7.6)
Кроме того, из граничных условий (7.2) следует, что
(7.7)
Итак, для определения функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (7.6), (7.7). Эта задача изучена нами в пункте 6.1 §6. Ее решение имеет вид:
(7.8)
Подставляя значения из (7.8) в уравнение (7.5), получаем
которое представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение дается формулой
(7.9)
где произвольные постоянные.
Теперь, если (7.8), (7.9) подставить в (7.4), то получим частные решения уравнения (7.1), удовлетворяющие граничным условиям (7.2), следующего вида
Чтобы удовлетворить начальному условию (7.3), составим ряд из этих частных решений:
(7.10)
Подставляя (7.10) в условие (7.3), будем иметь:
(7.11)
(7.11) есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §6, приходим к тому, что соотношение (7.11) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (7.11) определены по формулам
(7.12)
Подставляя (7.12) в (7.10), получаем решение задачи (7.1)- (7.3).
По поводу обоснования полученного решения в виде (7.10) необходимо сказать то же самое, что и в §6: ряд (7.10) и ряды, получаемые формальным почленным дифференцированием этого ряда дважды по , один раз по , сходятся равномерно в области . Можно показать, что при условиях, наложенных выше на функцию , эти условия выполняются.
|
7 .2. Случай неоднородного уравнения. Требуетсянайти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению
, (7.13)
граничным условиям
(7.14)
и начальному условию
(7.15)
где - заданная функция, имеющая непрерывную производную и
Решение задачи (7.13)- (7.15) будем искать в виде
(7.16)
где есть решение задачи
(7.17)
(7.18)
(7.19)
а есть решение задачи
(7.20)
(7.21)
(7.22)
Задача (7.17)- (7.19) для функции рассмотрена нами в пункте 7.1; ее решение дается рядом (7.10). Решение задачи (7.20)- (7.22) будем искать в виде
(7.23)
где неизвестные функции.
Пусть ряд (7.23) равномерно сходится в области и допускает почленное дифференцирование дважды по и один раз по . Тогда, подставляя (7.23) в (7.20), получаем
откуда
(7.24)
где
(7.25)
С учетом (7.23) из условий (7.22) получим
(7.26)
Следовательно, для определения функций имеем задачу (7.24), (7.26), представляющую задачу Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка (7.24) с начальным условием (7.26). Ее решение дается формулой
(7.27)
Подставляя в (7.27) вместо выражение (7.25), а затем полученный результат в (7.23), получаем решение задачи (7.20)- (7.22). Решение исходной задачи (7.13)- (7.15) найдем по формуле (7.16).
Решение задачи для уравнения теплопроводности (7.13) в случае неоднородных граничных условий совершенно аналогично соответствующему случаю для уравнения колебаний струны (см. пункт 6.3).
В заключение параграфа отметим, что для уравнения теплопроводности может быть поставлена задача Коши: найти функцию , непрерывную при , удовлетворяющую уравнению
и начальному условию
где непрерывная и ограниченная функция.
Решение этой задачи Коши дается формулой Пуассона
где
Функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.
Пример 7.1. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности:
Решение. Решение этой задачи дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае
|
Внося эти данные в (7.12), получаем
Вычислим интегралы:
если
при
Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение задачи в следующем виде
Второй способ нахождения коэффициентов Функцию заданную соотношением (7.10), подставим в начальное условие:
Правая часть этого равенства представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых , будем иметь: остальные равны нулю.
Пример 7.2. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
Решение. В соответствии с изложенным в разделе 7.2 §7 решение этой задачи ищется в виде
(7.28)
где есть решение задачи
а есть решение задачи
Сначала решаем задачу относительно функции решение которой дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае Внося эти данные в (7.12), получаем
Вычислим эти интегралы с помощью двукратного интегрирования по частям:
Отсюда видно, что коэффициенты с четными номерами равны нулю. Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение первой задачи относительно в следующем виде
(7.29)
Перейдем к решению задачи относительно функции Ее ищем в виде (7.23), где и функции определяются формулой (7.27), которая в нашем случае примет вид:
, (7.30)
где для в силу (7.25) с учетом получаем интеграл
который вычисляется по частям:
Внося это выражение в (7.30), для получаем
Теперь, если это значение подставить в (7.23), то получим решение второй задачи , которое вместе с (7.29) по формуле (7.28) дает решение исходной задачи.
Задачи
Методом Фурье найти решения следующих начально-краевых задач для уравнения теплопроводности:
7.1. 7.2.
7.3. 7.4.
7.5. 7.6.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!